淺談Matlab數值計算在傅里葉光學課程教學中的應用

楊慧哲 梁永輝 劉進 萬晶

［摘? ? ? ? ? ?要］? 將Matlab數值計算融入傅里葉光學課程教學中，以光的衍射、透鏡成像和傳遞函數為示例，展現其對教師理論講授和學生能力培養的助力。

［關? ? 鍵? ?詞］? 傅里葉光學；數值計算；Matlab

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］? 2096-0603（2023）27-0109-04

*通訊作者：楊慧哲（1988—），女，漢族，內蒙古呼和浩特人，博士，講師，研究方向：自適應光學與圖像處理。

傅里葉光學是光學領域中的一個重要分支，主要研究光的傳播、成像等現象，以及傅里葉光學方法在這些現象中的應用。傅里葉光學作為光電類專業人才培養計劃中的核心課程之一，承接應用光學和物理光學兩門光學基礎課程，作用是利用物理光學所建立的電磁波理論對應用光學所描述的光學系統與儀器進行定量計算和評估。光學系統的精確建模與定量評估是現代光學系統設計與應用的必備手段，也是光學工程專業必須具備的核心能力之一。傅里葉光學本應成為這一核心能力構建的關鍵課程，但目前該課程普遍存在教學模式單一、理論推導過多、聯系實際不足的問題，導致出現學生能力素質培養較弱的局面。在教學中增加基于Matlab編程語言的數值計算，一方面可以增強復雜理論推導的直觀性，便于學生理解。另一方面可以培養學生對光學系統建模的興趣，通過實際案例的數值仿真建模提高應用理論知識解決實際問題的能力。本文以光在自由空間的衍射（或傳輸）、光學系統成像和傳遞函數計算三個示例，淺談如何將Matlab數值計算應用到傅里葉光學課程教學中。

一、光在自由空間的衍射

光的衍射（傳輸）是傅里葉光學（波動光學）中的一個重要概念，它在光學中起著至關重要的作用。衍射現象的研究幫助我們理解光的波動性質，以及光的傳播和干涉行為。在光線通過物體或孔徑時，光波會在邊緣或物體表面發生彎曲和散射，從而產生衍射現象。衍射圖樣的特征取決于多個因素，其中最重要的是光的波長和衍射孔徑或物體的尺寸。當衍射孔徑或物體的尺寸與光的波長相當或大于波長時，衍射現象更為顯著。在這種情況下，衍射圖樣可能包括中央亮斑（中央最亮的區域）和一系列暗紋或衍射環（輻射出的環狀模式）。衍射現象在許多實際應用中發揮著重要作用，例如衍射光柵，通過將入射光分解為不同的波長來實現分光效果。此外，激光衍射、光學信息處理和干涉測量等領域也利用了衍射現象的原理和方法。了解和研究光的衍射不僅對光學科學家和研究人員而言至關重要，對工程師和設計師來說也是必要的。通過理解衍射現象，我們可以更好地設計光學元件和系統，優化其性能并滿足特定需求。

利用Matlab數值仿真來模擬光的衍射，在傅里葉光學課程教學中具有重要的作用。通過數值仿真，我們可以研究和預測不同光場下不同孔徑的衍射圖樣。例如，當光波通過一個狹縫或圓孔時，可以模擬衍射圖樣的形成，包括中央亮斑和衍射環的分布。同時，通過調整光波的波長、孔徑尺寸、入射角度等參數，可以觀察到不同衍射圖樣的變化規律。光的衍射數值仿真還可以用于設計和優化光學器件，例如，在光學顯微鏡中，通過數值仿真可以預測和優化系統的分辨率和圖像質量。在衍射光柵設計中，通過數值仿真可以確定最佳的衍射光柵參數，以實現所需的光譜分散效果。此外，光的衍射數值仿真也有助于理論與實驗的比較和驗證。通過將仿真結果與實際測量數據進行對比，可以驗證和修正理論模型，進一步增強衍射理論的準確性和適用性。

傅里葉光學課程的理論基石是基于波動光學的標量衍射方程，在此基礎上通過對傳輸距離r01的近似，得到兩種最常見的衍射形式：菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射。其中，夫瑯禾費衍射可以看作是菲涅爾衍射在遠距離傳輸條件下的特殊形式，其本質仍可以用菲涅爾衍射方程描述。由此，可以利用菲涅爾衍射公式來描述全部自由空間的光的衍射問題。圖1給出了利用菲涅爾衍射公式計算不同孔徑、不同距離下衍射圖樣的仿真GUI界面。該界面可以設置基本參數，如光瞳大小D、采樣像素數N等，通過給定起始距離d1和終止距離d2可以動態顯示在傳輸距離范圍內（d1到d2之間）衍射光斑的形態變化。該程序支持對不同類型孔徑的仿真，包括常規的圓孔或方孔，也可以自定義選擇任意復雜孔徑。在“顯示”選項中，可以選擇二維顯示或顯示x軸截面圖，同時支持對觀察屏尺寸的選擇，如選擇auto scale則代表觀察平面滿足？駐L=λd/L的完全采樣條件。該程序可以配合教材中的理論推導來演示方孔、圓孔、正弦振幅光柵和正弦相位光柵的菲涅爾和夫瑯禾費衍射，同時將更為復雜的孔徑形態（如多邊形、望遠鏡中心遮擋結構等）的衍射作為擴展內容，展現數值計算的強大能力和應用價值。

二、光學系統成像

透鏡成像是傅里葉光學的核心內容，其利用波動光學成像原理來解釋光的傳播和成像過程的原理。在波動光學中，光的傳播和成像不再被簡化為幾何光學中的直線傳播，而是考慮光的波動性質和衍射效應。傅里葉光學課程利用波動光學理論對成像系統進行定量描述，提供了對光學系統的定量分析和優化方法。通過波動光學的理論和數學模型，可以對成像系統的光學參數、光源特性、傳感器設計等進行優化，這有助于改善成像系統的性能，提高圖像的質量和分辨率。

通過基于波動光學的理論推導，可以得到成像系統的卷積模型：即像場等于理想像與系統點擴散函數（point spread function， PSF）的卷積，其中理想像是幾何光學預測的像分布（其實質是坐標縮放的物）。具體而言，基于波動光學成像卷積模型的數字模擬可以分為以下幾個步驟。

（1）光波的表示：使用光的場振幅（通常是復數形式）來表示物體上的光波場，其中包含光的振幅和相位信息。（2）點擴散函數計算：PSF描述了光在傳播過程中經過光學系統時的影響，對于無像差系統可以表示為光學系統出射光瞳函數的夫瑯禾費衍射圖樣。（3）成像過程：通過卷積運算得到像平面的波場（或強度）分布。

除了采用上述卷積模型，對光學成像系統的定量描述還可以使用衍射追跡方法。衍射追跡（Diffraction Ray Tracing）是一種光學計算方法，用于模擬光在衍射效應下的傳播和成像過程。相比于傳統的幾何光學追跡方法，衍射追跡考慮了光的波動性質，能夠更準確地描述光的傳播和衍射效應。衍射追跡的基本原理是基于標量衍射方程（一般采用菲涅爾近似），使用數值計算方法，將光場分割為小的區域或像素，并在每個區域內計算光的傳播和衍射效應。衍射追跡方法可以定量給出各個平面上的光場分布，而不僅僅局限于卷積模型對應的像平面。

利用數值仿真來模擬傅里葉光學系統成像過程具有重要的理論和實際意義，例如：（1）光學系統設計：數值仿真為光學系統的設計提供了有力的工具。通過調整系統的光學參數、元件布局和配置，可以在仿真中評估不同設計方案的成像性能，這有助于加速設計過程，減少實驗和制造成本。（2）性能預測和優化：傅里葉光學成像系統中的衍射效應對成像質量有重要影響，數值仿真可以用于分析和評估不同衍射效應對系統的影響。例如，可以研究衍射對分辨率、光學畸變、點擴散函數等的影響，并探索如何通過系統設計和優化來減小衍射引起的不良影響。（3）成像算法開發：數值仿真為新成像算法的開發提供了平臺。通過模擬光場傳播和成像過程，可以測試和驗證新的算法，如超分辨成像算法、相位恢復算法等，這有助于推動成像技術的進步和創新。

在教學中采用成像系統數值仿真GUI，通過模擬光的傳播和成像過程，學生可以直觀地觀察和理解光學現象，如衍射、干涉、成像畸變等，這有助于加深對光學原理的理解，使學生更好地掌握光學的基本概念和原理。同時傅里葉光學成像系統的數值仿真涉及光學、數值計算和編程等多個學科領域的知識，通過在教學中引入數值仿真，可以促進不同學科之間的交叉應用和綜合學習。學生可以學習和應用光學原理、數值計算方法和編程技巧，提升他們的綜合能力。

圖2給出了透鏡成像仿真界面。圖示為單透鏡的成像系統，實際上多透鏡組成的一般成像系統可以等效為一個黑匣子，兩個端面分別為入瞳和出瞳，系統的衍射效應由出瞳的尺寸限制引起，因此該程序對任意成像系統都是成立的。首先程序導入物體的圖片，并對物體進行參數設置，包括其尺寸L，采用像素數N。光學系統的參數設置包括光瞳大小D、物距d1、像距d2、焦距f和照明波長。在模擬方法上，該程序采用了兩種方法，一種是基于菲涅爾衍射方程的衍射追跡法，通過面到面的傳播給出不同觀察面的光場分布。另一種是基于頻域傳遞函數的方法，根據空間相干和非相干卷積模型，計算兩種情況下滿足幾何光學物像關系的像面上的光強分布。在課堂中可以給學生展示采用不同模擬方法給出的光強分布是一致的。該仿真同時支持對空間濾波和像差影響的模擬。

在課堂教學中，上述仿真可以穿插在多個章節的講述中，如透鏡的傅里葉變換性質，該節通過波動光學分析給出透鏡的后焦面是輸入函數的傅里葉頻譜面這一重要結論。基于這一結論，可以通過對后焦面光強進行不同操作實現不同形式的濾波。該軟件采用衍射追跡模擬方法時，可以在透鏡后焦面施加濾波函數，從而實現對物的濾波操作。在學習像差對成像系統影響時，該程序支持添加不同種類的像差，可以讓學生直觀感受到像差對系統的降質作用（如文末圖3所示），也可配合教材中的聚焦誤差示例加深理解，體會復雜的理論運算可以用編程快速實現。結合仿真程序還可以進一步開展對像差的討論以及像差校正的應用拓展，如球面像差校正可以使用非球面透鏡或復合透鏡系統，使光線在透鏡表面上的彎曲程度與球面像差相互抵消，也可以使用多個透鏡元件組成的透鏡組來校正球面像差。對于更高階像差，如大氣等引起的波前畸變，需要采用高分辨率實時校正系統，如自適應光學系統（Adaptive Optics， AO）。自適應光學通過實時測量波前畸變并利用補償裝置對其進行校正，以實現高分辨率、清晰度和對比度的成像，廣泛應用于天文觀測、激光傳輸、生物成像等領域。通過在授課中引入自適應光學系統等前沿技術，可以開闊學生視野、提升學以致用的能力。

三、傳遞函數計算

傳遞函數的引入是傅里葉光學區別于其他光學課程的一個重要方面，因為本課采用的是傅里葉頻域分析的方法來研究光學系統的性能，而傳遞函數就是頻域一個最重要的表征函數，直接決定了系統的響應。在傅里葉光學中，傳遞函數是描述光學系統對點光源響應的頻域數學表示，對于相干光學系統稱為振幅傳遞函數，對于非相干光學系統稱為光學傳輸函數（Optical transfer function， OTF）。傳遞函數可以用于分析光線在光學系統中的傳播和成像過程，以及光學系統對輸入波前的影響，是光學系統設計、成像分析和圖像處理中的重要工具。它提供了一種從頻域角度理解光學系統的方法，有助于預測和優化成像質量，并為光學系統的設計和性能評估提供了數學框架。

傅里葉光學傳遞函數可以通過數值仿真進行計算和分析，具體包括：（1）建立模型：首先需要建立光學系統的數值模型，包括定義光源、物體、光學元件和探測器等組成光學系統的要素，并確定它們之間的位置、形狀和光學參數。（2）波前采樣：在出射光瞳位置上對波前進行采樣，采樣的目的是獲得波前的相位和振幅信息，用于計算傳遞函數。（3）計算傳遞函數：對采樣得到的波前進行傅里葉變換，得到系統的點擴散函數，對點擴散函數再求傅里葉變換將其從空域轉換到頻域，得到傳遞函數的頻域表示。在進行傅里葉光學成像系統傳遞函數的數值仿真時，需要注意選擇適當的數值方法和算法，確保仿真結果的準確性和穩定性。此外，還應考慮波長、采樣間距、光學系統的非線性特性等因素，以確保仿真結果與實際系統的行為相符。

圖4給出了傳遞函數仿真界面，該程序可以模擬不同出瞳函數對應的系統的振幅傳遞函數和光學傳遞函數（OTF），以及它們對應的點擴散函數（PSF）。OTF的計算一般來說比較復雜，尤其對于復雜的孔徑函數，但是利用數值計算方法可以快速得到任意形態光瞳函數的光學系統傳遞函數，一方面可以讓學生感受到數值計算的巨大應用價值，培養編程的興趣，另一方面可以大大擴展書本的內容，給出更符合實際系統的傳遞函數。在本成像中也添加了像差的設置，通過選擇不同形式的像差可以觀察其對傳遞函數和點擴散函數的影響（見圖4）。

四、結束語

針對傅里葉光學課程理論推導復雜、課程難度較大、學生能力培養不足的問題，將Matlab的數值計算融入課程教學中，以光的衍射、透鏡成像和傳遞函數三個仿真為例，一方面可以使枯燥的理論公式更加直觀，便于學生理解，另一方面展示出光學建模的重要作用，可以大大拓展教材中光學系統分析范圍，培養學生對數值計算和編程的興趣和能力。

參考文獻：

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