思政元素融入高等數學課程的研究

崔靜靜 黃政閣

［摘? ? ? ? ? ?要］? 實現立德樹人這一根本任務的主要舉措是課程思政的建設。高等數學是一門非常重要且是理工科必修的公共基礎課程，是后續專業課程的數學根本。通過深入分析和挖掘高等數學教學中的思政元素，建立了高等數學課堂挖掘和融入思政元素的方式，并闡述了作為教師能較好地開展高等數學思政教育的對策和要求，使學生的世界觀、人生觀、價值觀在專業課程傳授過程中潛滋暗長，實現優質的教育效果。分析了高等數學目前面臨的問題及擬采取的措施。

［關? ? 鍵? ?詞］? 高等數學；課程思政；數學知識；數學之美

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］? 2096-0603（2023）27-0129-04

作者簡介：崔靜靜（1989—），女，漢族，河南焦作人，博士，講師，研究方向：數值代數。

黃政閣（1989—），男，壯族，廣西南寧人，博士，副教授，研究方向：數值代數。

一、引言

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“做好高校思政工作，就是要用好課堂教學這個主渠道，各門課都守好一段渠，種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應。”[1]這說明在課程教學時對學生進行相應的思政教育的重要性。從德育入手，引導學生做學問先做人，并培養學生的理想、抱負、意志和堅定性等，使學生成為德才兼備、全面發展的人才。

廣西民族大學位于廣西壯族自治區南寧市，其人才培養對全國的經濟社會發展起到較好的促進作用，其中一部分已成為各領域的佼佼者。自然科學的發展離不開數學的發展，因此，廣西民族大學的理工科專業均開設公共數學課：高等數學。高等數學既是一門重要的基礎課程，又是理工科專業大一新生的數學公共課程。大一新生在步入大學之前遇到的很多事情均有父母的陪伴和開導，但步入大學之后，父母不在身邊，遇到問題時可以尋求教師的幫助，因此在學時長、人數多、開設范圍廣的高等數學課程中教師傳授知識的同時擔任著培養學生分析、解決問題能力和思想教育的重任[2]。但由于高等數學內容多、比較抽象復雜且時間緊等特點，使學生感到枯燥無味，且教師把大部分精力投入概念、定理的理解和大量習題運算中，這種傳統的高等數學課堂無法使學生產生濃厚的學習興趣，因此，通過在高等數學中融入思政元素，讓學生感受數學之美，在數學學科中樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，激發學生學習的積極性。此外，由于高等數學開設范圍廣，涉及人數多，在課程中科學、合理地融入思政教育可以使學校在大范圍內提高學生的思想覺悟。

思政教育不能以枯燥、單調、生硬的方式展示給學生，而是在專業課程傳授過程中使學生的世界觀、人生觀、價值觀潛滋暗長，實現優質的教育效果。本文分析和挖掘高等數學知識點的思政元素，討論如何將思政課程有效融入教學之中。

二、思政元素融入高等數學課程的途徑

（一）融入我國數學發展史培養學生的愛國情懷

中國數學在世界數學發展中占有重要的地位，中國數學對世界數學的發展做出很大的貢獻。在講授高等數學課程時引入我國數學家的成就，不僅可以拓展學生的知識面，提升學生的學習興趣，還可以激發學生的愛國情懷，潛移默化地培養學生的科學精神。如在講授極限思想時，可以向學生介紹我國數學家劉徽的割圓術思想：當邊數無限增多時，圓內接正多邊形的面積就無限接近于圓的面積。這里告訴學生，雖然劉徽的割圓術思想比古希臘人晚了幾百年，但它在割圓術思想基礎上取得的成績超過了和他同代的數學家。比如劉徽用圓內接三千零七十二邊形的面積估計出的圓周率的近似值更為精確[3]；在引入級數概念時向學生解釋古代這句話“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的意思，告訴學生，在很久之前我們的祖先就意識到了級數。并且介紹我國數學家生活的時代背景，揭示即使在不富裕的年代，我國數學家也沒有計較物資是否充足，是否有回報，而是忍著饑餓一頭扎入研究中，我們應該以他們為榜樣，學習他們不怕吃苦的精神。由此可見，在講授課程內容時，向學生介紹中國數學史，理解數學家生活背景，讓學生深深地被科學家的精神所震撼，培養學生的愛國情操。并且科學家敢于創新的精神告訴學生不要拘于一格，要大膽去想、大膽去實施，這種精神影響學生遇到數學問題敢于去想解題方法，不會怯而止步，而是在以后生活中遇到任何問題都可以冷靜對待，想辦法解決。

（二）挖掘高等數學知識蘊含的哲理，引領學生健康成長

不僅思政課有辯證法，數學學科的知識點也體現了辯證法。教師應在充分理解知識點的基礎上，挖掘其所蘊含的辯證法，使學生看到事物的兩面性[4]。從這些思想方法中挖掘隱含的思政元素，方便學生更好地理解數學知識，掌握數學思想，也可以潤物細無聲地幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀[5]。例如：

1.我國古代數學家劉徽利用圓內接多邊形來近似計算圓的面積，經過大量的研究，隨著邊數的增加，正多邊形的面積對圓的面積就有一個更好的逼近。也就是說，隨著內接多邊形的邊數趨于無窮時，用其面積逼近圓面積的誤差可以任意小，可以小于給定的任意小的正數。在此就可以引入思政元素是量變引起質變：學生學習必須扎扎實實地進行積累，每天進步一點點，做好自己的一點一滴，日積月累，最終離我們的目標夢想越來越近。反之，如果一個人花在學習上的時間較少，平時不注意日積月累，怎么可能在該收獲的時候拿出成績，取得成功呢？

2.又如從數列極限的定義“ε-δ ”可知，一個數列是否無限接近于一個有限數，是從某一項以后開始，數列與這個有限數的距離是否可以任意小。也就是說，數列的斂散性取決于數列的后無窮多項，與前有限項無關。通過數列的定義告訴學生：一個人最終是否能成功和前面走過的路和遇到的挫折沒有直接的影響，人生有很多坎要邁，很多路口可選擇，不要因為自己一次失誤就放棄自己，就斷言自己不會成功，自暴自棄，我們一定要重拾信心，繼續努力學習工作和生活，要堅信一切都會過去，絢麗的彩虹總是在風雨后。

3.學習一階微分形式的不變形：u不管是中間變量還是自變量，函數y=f（u）的一階微分形式是相同的。其反映了對立統一的思想。借此告訴學生，在我們生活中，既有美麗的風景，又有不盡如人意的事情，我們不能單單看到它好的或者不好的一面。對于的確無法改變將要發生的事情，能做的是把壞的一面盡量向好的一面轉化，做好對立中找統一，在統一中看到對立。

4.計算曲邊梯形面積的方法“分割，以直代曲，近似求和，取極限”來引入定積分的概念時告訴學生：當我們在人生道路中遇到困難或者想到達某個目標時，可以將困難或者目標劃分成若干個小階段，在每個小階段以正確、有效的方法克服困難和達成小目標，經過時間的積累，也就是對應定積分概念中的“取極限”，讓我們離目標越來越近，無限趨近目標，最終克服困難和達到我們想要的結果。此外，學習利用等價無窮小計算函數極限時，通過例題展示給學生利用等價無窮小可以簡單地計算一些函數的極限，但是有前提條件的。通過這個數學知識告訴學生，在生活中遇到困難時，父母和朋友可以幫助我們快速地解決問題，但是他們幫忙是有條件限制的，不是什么都可以幫忙，也不是隨叫隨到，并且在力所能及的范圍內幫助我們時，我們要感恩。

5.在講授反常積分概念并如何計算反常積分后，有一個重要的課程設計就是教學生如何判斷給定的積分是常義積分還是反常積分以及計算時兩者的區別時，用一個例子=0是否正確？答案是不對的，計算上述反常積分時不能想當然用“偶倍積零”的性質得出結果為0，原因是這個反常積分是發散的。通過這個例子告訴學生：反常積分使用“偶倍積零”這一性質的前提是反常積分必須收斂。借此可以教育學生學習和做學問不能抱著想當然的態度，要有嚴謹的學習態度，并在生活中遇到問題時要有自己的見解，不能人與亦云，不要輕易下結論，要有事實依據，不然很容易與機遇失之交臂，也容易引起不必要的麻煩。

（三）揭示數學之美，激發學生學習的興趣和積極性

高等數學課程往往是每屆學生最怕的一門課，因為高等數學邏輯性強、內容多，且與其他課程相比，它是比較枯燥的，學生往往提不起興趣或者知難而退。這時教師應該起到指路人的作用，帶領學生體會到數學學科獨特的美，讓他們感嘆數學學科的神奇，由此衷心喜歡上這門課，這樣他們才會自主地投入學習。體現數學美的知識點有很多，下面介紹以下幾個。

1.和諧美：隱函數求導是多元函數微分很重要的內容，在講隱函數求導之前先學習了多元函數的偏導數。給定一個方程或方程組，學生自然而然想把隱函數顯化，從方程中解出這個函數，然后再對函數求偏導。這種方法在很多情況下是比較困難的，因為隱函數的顯化有時并不能實施，由此引出隱函數求導。函數F（ｘ，ｙ，ｚ）＝０滿足隱函數存在定理的條件下，有

這種“負交叉”的形式和諧美便于形成記憶規律，加深學生的掌握。

2.嚴謹美：數學學科的基本特點是嚴謹美。在講授高等數學的定義、定理或推導證明過程時帶領學生體會其嚴謹美，讓學生從心里被數學學科所折服。如在學習平面點集的相關概念——內點、外點、邊界點時，對于圖1，按照內點、外點、邊界點的定義可知，在集合Ｅ內部的點（陰影部分）就是內點，集合Ｅ外部的點就是外點，集合Ｅ的邊界的點就是邊界點。此時有學生提出疑問，剛才的描述通俗易懂，為什么還要用書上這么復雜的概念去定義內點、外點和邊界點呢？再看一個例子，集合Ｆ＝Ｅ∪Ｐ，如圖2，僅根據剛才的理解，P點是外面的點，所以是外點，這個結論是不對的。實際上P點是外界點。所以在數學中有時直觀性理解不能代替精確定義，讓學生感受數學的嚴謹美，激發學生對數學知識的崇敬感。

3.簡潔美：如求定積分x2dx，即使被積函數是簡單的冪函數，但直接按定義來計算已是不容易的，更何況被積函數是其他復雜函數f（x），其難度更大。在引入變限積分之后，帶領學生推導“微積分基本定理”，隨后向學生解釋原來復雜的定積分或者不規則平面圖像的面積竟然可以用原函數在區間上的增量來計算

其中F（x）為f（x）的原函數。牛頓——萊布尼茲公式形式簡單且方便計算定積分，反映了數學的簡潔美。

4.對稱美：對稱是高等數學中常見的現象。比如，在講授雙曲線、星形線等對稱的幾何圖形時，告訴學生正是因為這些曲線既是中心對稱又是軸對稱，所以才會有這個漂亮的圖案，世界才會五彩斑斕。此外，利用對稱性可以幫助我們簡化高等數學中一些問題的計算，比如在計算定積分、重積分、曲線積分和曲面積分時，若能合理利用對稱性，將能簡化這些問題的計算。高等數學中還有很多對稱現象，如有限與無限、無窮小與無窮大、連續與間斷、原函數與反函數等前后呼應、成對出現，這些都反映了對稱美。

5.對立與統一美：定積分、重積分、曲線積分及面積分是屬于不同類型的積分，但其均具有線性、積分區域可加性的共同性質，其體現了數學的統一美。但由于第二類曲線積分和第二類曲面積分是向量函數定義在有向曲線和有向曲面上的，其與前面提到的積分有本質的區別，因此當積分曲線（積分曲面）的方向改變時，第二類曲線（曲面）積分前面就會多出來一個符號。這是前面幾種積分不具備的性質，體現了數學的對立、統一美。

6.奇異美：數學的奇異美是數學學科奇特的地方之一，學生會從中體會到和常規認知相悖的地方，但卻又是正確的。如在學習周期函數時，人們往往認為每個周期函數都有最小正周期的，而周期函數Dirichlet函數

D（x）0，x為無理數1，x為有理數

的確沒有最小正周期。這和我們的常規認知是不一樣的，讓學生感受數學中的奇異美，給學生以“出乎意外”和“令人震驚”的體驗。

根據以上例子，讓學生體會到高等數學不僅僅是冷冰冰的數字、公式、圖表和算法，還蘊含著數學之美——和諧美、嚴謹美、簡潔美、對稱美、奇異美等。讓學生感到學習數學的過程是愉悅的，可提高學生學習的興趣和動力。

（四）展示高等數學的應用激發學生敢于創新，提高學習積極性

高等數學是一門重要的基礎課程，之所以重要是因為高等數學不僅能培養學生的邏輯思維，還能培養學生解決問題的能力，因此，在講授數學知識時要和實際問題相結合。比如，通過計算曲邊梯形面積來引入定積分的概念時，首先拋出問題，如果高是不變的，則其面積=底×高，但是曲邊梯形的高是變化的，上述公式不能用，那么怎么解決曲邊梯形面積呢？然后引導學生如何處理曲邊梯形可以將其高看成是近乎不變的。然后是解決問題，將曲邊梯形的底分割足夠小，此時大曲邊梯形就被分割成了若干個小曲邊梯形，而小曲邊梯形的高可以看成是近乎不變，其面積=底×高。每個小曲邊梯形的面積都按上述方法計算出來后加起來就近似是大曲邊梯形的面積。當劃分得越來越細，小曲邊梯形的面積之和無限接近大曲邊梯形面積，從而引出定積分的概念“分割、以直代曲、近似求和、取極限”。 此外，在講授課程知識的同時，要與數學建模有效融合，引導學生運用數學知識去解決問題。比如，在講微分方程時，我們在教學中采取數學建模的思想，對傳染病的傳播過程，通過假設建立微分方程模型，可預測SI 模型傳染高潮的到來時間；可分析SIS 模型怎樣有效地控制傳染病的傳播；通過SIR模型的建立和應用可以有效估計被傳染比例，制定相應的群體免疫和預防措施。又比如，我們到山腳下，按什么路徑上山最快呢？我們可用高等數學中的知識來計算該點處的梯度方向，沿著那個方向走，上山速度最快。

可以看出在高等數學教學過程中引入實際問題可以直觀地向學生展示高等數學這門課的重要性，也可以引發學生思考和自主學習，不僅如此，還可以培養學生分析問題和解決問題的能力。

三、思政元素融入高等數學對教師的要求

習近平總書記主持召開學校思想政治理論課教師座談會并發表重要講話，他強調“思想政治理論課是落實立德樹人根本任務的關鍵課程”“辦好思想政治理論課的關鍵在教師，發揮教師的積極性、主動性、創造性”。教師在授課過程中重視理論教學和計算技巧，而不重視思政教育，已不能滿足社會對大學生的要求。而教師在課堂中不僅要傳授專業知識，還要教會學生如何做人，做人是根本，先成人后成才。所以教師在掌握扎實的專業知識外，首先，教師要明白什么是課程思政，結合數學的學科特點，努力挖掘學科中所隱含的思政元素，做好指路人，引導學生成人成才，在專業課程傳授過程中使學生的世界觀、人生觀、價值觀潛滋暗長，實現優質的教育效果。其次，教師要嚴于律己，認真備課，精心設計教學環節，通俗易懂地讓學生掌握難而不好理解的知識點。讓學生體會到教師認真的態度，引導學生不管以后從事什么工作，只要選擇了這份工作，就要認真對待，要有嚴謹的生活態度和學習態度。最后，教師要有好的道德情操，教師的一言一行都影響著學生，學生一般以教師為榜樣，所以教師要嚴于律己，用高尚的人格渲染學生。

四、目前面臨的問題及擬采取的措施

1.高等數學是一門重要的基礎課程，也是理工科解決問題的工具，并且高等數學課程內容多且難，高等數學課程的課時并不是很多，這會導致教師把大部分課時都消耗在傳授知識上，很少有時間在課程中融入思政元素進行思政教育。和學院領導溝通，擬對培養方案中高等數學的課時進行合理的調整，保證課程學時充足，避免影響課程思政的實施。

2.高等數學在授課過程中過于重視理論教學和計算技巧。傳統的教學中，教師詳細教授高等數學中的概念、定理和相關的計算，雖然講授理論知識可以培養學生的邏輯思維能力。但高等數學的授課對象是應用型的本科生，這就導致學生失去學習的重要性，沒有培養學生分析問題和解決問題的能力。在高等數學教學中引入實際問題，優化原有的教學模式和改進傳統的教學方式，讓學生明白學習高等數學的重要性和為什么要學習高等數學，提高他們的好奇心，提升他們的應用能力。

3.由于高等數學課程內容多且難，部分教師還是把重點放在了傳授理論知識和解題技巧上，還未重視課程思政教育，這使他們挖掘的課程思政元素較少，積極性不高，不能有效推進課程思政。這就需要學校和學院領導大力支持課程思政教育開展，組織教師學習如何開展課程思政，讓教師感受到課程思政的必要性和重要性。此外，可以考慮制定相應的獎罰制度，提高教師參與課程思政的積極性。

五、結束語

高等數學是理工科的必修課程和應用工具課程，覆蓋范圍廣，因此有必要在高等數學課程中融入思政教育，在授課的同時對他們進行思政教育，引導他們學習和步入正確的人生軌道，同時提高學生學習的積極性。本文通過分析思政元素融入高等數學的途徑、對教師的要求和分析高等數學目前面臨的問題及擬采取的措施三個方面，使教師明白在高等數學課程中引入思政不是莫不可及，而是每位教師應具備的育人能力。教師要用堂堂正正的人格和高尚的人格感染學生，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。

參考文獻：

［1］習近平．把思想政治工作貫穿教學全過程，開創我國高等教育事業發展新局面［N］．人民日報，2016-12-09．

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［3］錢寶琮.中國數學史［M］．北京：商務印書館，2019.

［4］劉洋.傳統文化融入高等數學課程思政的研究：以茶為視角［J］.福建茶葉，2021，43（4）：142-143.

［5］黃政閣，崔靜靜.計算方法課程教學中融入思政教育的探索與思考［J］.科技風，2021（1）：44-47.

◎編輯 魯翠紅