基于二次分解和自適應鯨魚優化算法的碳價格混合預測研究

孫 薇，楊眾志

（華北電力大學 經濟管理系，河北 保定 071003）

0 引言

溫室氣體的大量排放對全球氣候已經造成了顯著的負面影響。二氧化碳是溫室氣體的重要組成成分。對二氧化碳排放量進行控制的研究已經受到了世界各國的重視。為了達到二氧化碳的減排目標，歐盟在2005 年提出了排放交易體系，通過市場機制調節碳排放量，以達到溫室氣體的減排目的。精準的碳價格預測有助于市場參與者對碳交易價格波動規律的掌握和理解，有助于相關政策的有效實施和市場的穩定運行，同時對于市場參與者規避風險有著關鍵性作用。綜合而言，進行精確的碳價格預測具有重要意義。

目前，對碳價格進行的預測方法可分為計量模型和人工神經網絡2 種。

計量模型中，馬爾可夫鏈[1]、自回歸移動平均模型[2]和自回歸綜合移動平均模型[3]被廣泛應用于碳交易價格預測。文獻[4]根據碳價格歷史數據分別建立計量時間序列、制度轉換和多元向量自回歸模型。傳統計量統計模型雖然在時間序列預測領域的應用已經較為成熟，但傳統計量統計模型并不能很好地處理非線性問題。碳價格時間序列有著高非線性和復雜性的數據特征，因此傳統計量統計模型在碳價格預測方面的應用受到了限制。

神經網絡模型具有較強的非線性映射能力，在處理非線性問題方面有著獨特的優勢。相較于傳統的神經算法，極限學習機（Extreme learning machine，ELM）擁有更快的收斂速度，受到外界干擾的程度更小，并且可以大大緩解梯度下降問題[5]。ELM神經網絡經常被用于非線性問題的預測[6,7]，將其用于短期碳價格預測時表現出了較小的預測誤差。

ELM 作為人工智能神經網絡模型，其相關參數的選取會極大地影響預測性能。利用參數優化算法，通過學習迭代對預測模型進行參數尋優，可以獲得最優參數進而提高后續模型的預測性能。鯨魚優化算法是一種并行隨機搜索最優化方法。文獻[8]將鯨魚優化算法優化的反向傳播神經網絡用于鋰離子電池狀態預測，并將預測結果與BP（Back propagation）神經網絡進行了比較。結果表明，WOA（Whale optimization algorithm）能夠提高BP 神經網絡的預測精度。文獻[9]提出利用WOA 算法避免ELM 神經網絡提前收斂，所得優化后模型的預測效果比優化前更令人滿意。文獻[10]評估了混合神經網絡算法在機械故障預測中的性能，認為對于高度非線性、隨機性的時間序列而言，鯨魚優化算法通過尋找神經網絡的最佳組合為預測此類數據提供了可能。

由于碳價格的高度復雜性和非線性，有學者提出通過單分解方法分解原始數據以提高預測精度。文獻[11]證明了使用EMD 作為分解方法可以很好地捕獲具有不同特征的幾個組件。實踐證明EMD 能夠降低非線性時間序列預測的難度，但是其分解出的IMF1 可能是限制模型預測精度提高的因素之一。文獻[12]發現不包含IMF1 的預測結果的預測精度可以稍微提高。文獻[13]認為IMF1的不規律性影響了模型精度。

在實踐中，二次分解被提出解決上述問題。文獻[14]將二次分解應用于PM2.5 濃度預測的預處理。該模型提出了結合小波包分解和變分模態分解的二次分解方法，并證明其有效提高了模型預測結果。文獻[15]采用二次分解算法來減少原風速序列的間歇性從而降低風速預測難度。文獻[16]指出EMD 分解得到的IMF1 是否規則與原始時間序列的非線性存在一定的關系，這將導致預測難度顯著增加。根據現有資料，二次分解方法尚未在碳價格預測中得應用。

為了進一步提高WOA 的全局尋優能力，本文采用自適應權重來改進WOA，以下稱為AWOA（Weighted whale optimization algorithm）。將采AWOA 優化后的ELM 神經網絡用于預測，以提高模型的預測性能。為了更好地預測碳價格，本文提出一種混合預測模型。本文主要的貢獻如下：

1）提出基于二次分解算法和神經網絡的碳價格混合預測模型。

2）提出用結合改進完全自適應噪聲集合經驗模態分解和變分模態分解的二次分解方法簡化數據，從而有效降低碳價格預測的難度。

1 計算模型的選取

1.1 改進的完全自適應噪聲集合經驗模態分解

完全自適應噪聲集合經驗模態分解算法是一種信號分解算法，其特點是通過引入高斯白噪音較好地解決了經驗模態分解等傳統分解方法存在的模態混疊現象。

雖然CEEMDAN（Complete ensemble EMD with adaptive noise）解決了模態混疊問題，但是所有模態分量依舊保留著白噪聲的影響，這會導致分解結果出現虛假模式，在實際意義上存在問題。

ICEEMDAN（Improved complete ensemble EMD with adaptive noise）信號處理方法由CEEMDAN發展而來。不同于CEEMDAN 在分解過程中直接添加高斯白噪聲，ICEEMDAN選取白噪聲被EMD分解后的第K個模態分量，從而使數據在不同尺度之間具有連續性，進而產生新的極值點。

1.2 變分模態分解

變分模態分解（Variational mode decomposition，VMD），是一種使用了Wiener 濾波和Hilbert 轉換的全新非遞歸分解方法。參數的設定過程如下。

1）使用Hilbert 變換分解輸出數據序列，計算每種模式的分析信號以獲得相關的單邊頻譜。

2）應用指數調諧算子計算出模態函數頻譜并將其與中心頻率進行混合。

3）應用解調信號梯度的H1 高斯平滑度（L2范數）來估計每種模式的帶寬。

此外，分解結果也必須滿足分量總和等于輸出數據序列的約束條件。

1.3 AWOA

鯨魚優化算法的尋優思想模擬了捕食中的鯨魚的3 種不同的行為（圍獵、環繞和隨機出擊），從而實現位置更新。

在生物啟發式算法中，權重的大小決定了搜索的精度。較大的權重有利于全局范圍的搜索，而較小的權重則更有助于細致的搜索。固定權重對鯨魚優化算法的搜索能力造成了一定局限。受粒子群優化算法的啟發，本文通過引入自適應權重來增強WOA 尋優能力，提出了一種自適應權重鯨魚優化算法。

1.4 ELM

極限學習機在解決非線性問題上表現出學習速度快、訓練誤差小、泛化能力強等優點。ELM的具體框架如圖1 所示。

圖1 ELM 模型結構Fig. 1 Model structure diagram of ELM

學習過程可以用下式表示：

1.5 自適應權重鯨魚優化極限學習機

為避免參數設立對極限學習機預測精度的影響，采用自適應權重鯨魚優化算法對極限學習機進行優化。將ELM 的隱含層節點數和閾值作為AWOA 的尋優對象，以獲取最優相關參數。AWOA-ELM 模型主要流程如下：

步驟1）將數據集劃分為訓練集與測試集2部分。以ELM 的隱含層節點數和閾值作為鯨魚個體坐標，將算法初始化。

步驟2）使用訓練集數據，將不同鯨魚個體坐標對應的模型均方根誤差作為個體適應度，并記錄最結果。

步驟3）在每次迭代中，對鯨魚個體即ELM模型的相關系數進行迭代，并且完成全局最優和當前最優的迭代，直到所有迭代次數結束或達到精度條件則迭代完成。

步驟4）輸出最優結果對應的各個參數，將輸出的超參數代入ELM 模型中，使用測試集進行預測和檢驗。

2 碳價格預測模型構建

本文提出的混合預測模型的總體思路是：將非線性的數據進行分解，得到原始數據的子序列；分別對子序列進行預測，將各子序列的預測結果求和，從而得到對原始數據的預測結果。圖2 是所提出模型的計算流程圖。

圖2 所示算法的具體流程如下：

步驟1）采用改進的完全自適應噪聲集合經驗模態分解將原始碳價數據序列分解為n-1 個本征模態函數（Intrinsic mode function，IMF）和1 個殘差分量R。

步驟2）用變分模態分解將IMF1 進行進一步分解，并且將分解結果與其余的本征模態函數和殘差分量進行排序。

步驟3）采用AWOA-ELM 作為預測模型預測所有分解分量。

步驟4）將每個分量的預測結果相加，得出最終的預測結果。

圖2 預測模型流程Fig. 2 Flowchart of the proposed prediction model

3 實驗及結果分析

3.1 誤差評估指標和模型參數

為了評估預測結果的有效性，使用以下誤差評估指標對實驗預測結果進行評估：決定系數（R2），平均絕對百分比誤差（Mean absolute percentage error，MAPE）和均方根誤差（Root mean squared error，RMSE）。

3.2 數據來源和描述

以湖北省碳交易試點市場的數據作為算例進行研究。數據來源為中國碳排放交易網。

數據的起始日期采用湖北區域試點交易市場的市場正式交易起始日，收集數據截止日期為2021 年3 月22 日。

表1顯示了湖北省數據集的描述性統計指標。JB 檢驗、ADF 檢驗和BDS 檢驗分別是常用的檢驗序列是否符合正態分布、數據是否穩定和數據是否存在線性關系的檢驗手段。由表1 可以發現，湖北碳交易價格序列的JB 檢驗顯著，ADF 檢驗不顯著，BDS 檢驗顯著（在0.05 水平下）。

綜上所述，碳交易價格序列符合正態分布并且存在顯著的不穩定性和非線性。

表1 湖北碳交易價格序列描述性指標Tab. 1 The descriptive indexes of carbon trading price series in Hubei

3.3 數據分解

3.3.1 第一次分解

使用ICEEMDAN 算法對原始碳價格序列進行分解，得到10 個分解分量。將各分量按低頻到高頻進行排序，如圖3 所示。

圖3 數據集的ICEEMDAN 分解結果Fig. 3 ICEEMDAN decomposition results of datasets

由圖3 可知，與原始碳價序列相比，分解后子序列波動更加規整。

對分解分量進行樣本熵計算，衡量序列復雜性，結果如圖4 所示。

圖4 分解子序列對應的熵Fig. 4 The entropy of the decomposed subsequence

圖4 結果表明，IMF1 是所有子序列中復雜性最高的。降低IMF1 的復雜性，可以進一步降低預測難度。

3.3.2 第二次分解

由ICEEMDAN 將原始的時間序列分解為9個模態分量和1 個殘差分量后，本文再通過VMD進一步分解IMF1。通過進一步分解IMF1，可以將非線性程度較高的IMF1 轉化為若干個規律性較強的分解分量。將第二次分解產生的分量與第一次分解的剩余分量按低頻到高頻進行排序。

數據集二次分解的最終結果見圖5。

圖5 碳價序列二次分解結果Fig. 5 The result of secondary decomposition of carbon price series

對分解得到的子序列進行預測的難度低于直接對原序列進行預測的難度，從而有利于進一步提高預測精度。這一點將通過實證分析進行驗證。

3.4 比較實驗設計

本文提出碳價格預測模型（ICEEMDANVMD-AWOA-ELM），將原始數據進行2 次分解后，利用自適應權重鯨魚優化算法優化的極限學習機對碳價格進行預測。

為了驗證該模型的有效性和二次分解算法在碳價格預測中的作用，選擇了LSSVM（Least squares support vector machines）模型和ELM 模型進行比較試驗。比較試驗共分為3 種情景：未改進、第一次改進、第二次改進。

在“未改進”情景下，使用LSSVM 模型對原始數據進行預測。

在“第一次改進”情景下，先通過ICEEMDAN將原始數據分解為10 個子序列，再用AWOA-ELM模型預測。此時，模型變為ICEEMDAN-AWOAELM。

“第二次改進”情景是在分別使用EEMD 和ICEEMDAN 基礎上，使用VMD 進一步將IMF1分解為多個子序列后，使用預測模型分別對所有子序列進行預測。該情境下使用的模型為EEMDVMD-AWOA-ELM、ICEEMDAN-VMD-SSA-ELM、ICEEMDAN-VMD-GWO-ELM 和ICEEMDAN-VMDWOA-ELM。

3.5 實驗結果分析

對于二次分解得到的20 個分解分量，分別使用AWOA-ELM 預測模型進行預測，然后將分量的預測結果加總，得到最終預測結果。

算例碳市場的預測結果如圖6 所示。表2 展示了模型預測的誤差評價結果。

圖6 各個模型的預測結果Fig. 6 The predicted results of each model

表2 預測模型誤差指標Tab. 2 Predictive model error indexes

綜合考察圖6 和表2，可以得出以下結論：

1）本文提出的ICEEMDAN-VMD-AWOAELM 具有最高的模型預測性能。如表2 所示，在各模型對比中，ICEEMDAN-VMD-AWOA-ELM模型的預測結果最精確，模型的MAPE 值和RMSE 值是比較模型中最小的，同時提出模型R2的值最接近1。根據表2 展示的具體結果，以湖北市場的數據為樣本時，ICEEMDAN-VMD-AWOAELM 模型預測結果的MAPE 值為5.87%，R2值為0.964，RMSE 值為1.28。

根據上述結果，可以認為所提出的模型可以進行有效的碳價格預測。

2）ICEEMDAN 作為分解方法能夠有效地降低數據復雜性，提高模型預測精度。從表2 可以看出，模型結合了ICEEMDAN 算法后，其預測性能對比結合EEMD 算法的模型有了顯著提高。對比EEMD-VMD-AWOA-ELM 模型，ICEEMDANVMD-AWOA-ELM模型的MAPE 值降低了1.05個百分點，R2值提高了2.65%，而RMSE 值降低了13.51%。

碳價格的高度非線性、復雜性和混沌性很可能導致直接預測碳價格的誤差較大。因此，可以認為將分解算法應用于碳價格預測中是合理且有效的。

3）二次分解能夠再次提高預測模型的精度。在一次分解的基礎上，模型的3 個指標又分別有所改進。從該結果可以看出，在一次分解已經顯著提高模型性能的前提下，二次分解確實能夠再次改進模型性能。該實驗結果證明了對IMF1 進一步分解的方法可以降低預測誤差，表明了二次分解算法對的模型性能的提高程度高于一次分解算法。本文引入的二次分解方法是合理的，為未來的碳價格預測提供了思路。此外，本文提出的將ICEEMDAN 分解算法和VMD 進行結合的二次分解方法最優。

4）自適應鯨魚優化算法可以有效地優化ELM 神經網絡的模型性能。為了驗證集合模型在碳價格預測上的優越性，在對比實驗中，將自適應鯨魚優化極限學習機與 4 個混合預測模型（WOA-ELM、GWO-ELM、SSA-ELM 和SSALSSVM）進行性能對比。結果顯示，自適應鯨魚優化極限學習機的預測精度最高。實驗結果表明，利用自適應鯨魚優化算法對ELM 神經網絡模型進行優化是十分必要的。

4 結論

本文提出了一種新的碳價格預測混合模型。該模型結合了改進的完全自適應噪聲集合經驗模態分解、變分模式分解、自適應權重鯨魚優化算法和極限學習機。將ICEEMDAN 和VMD 結合的二次分解的方法引入碳價預測中以提高預測精度。利用AWOA 優化ELM 模型，縮短了收斂時間，提高了模型性能。在模型對比實驗中，利用湖北省碳市場的數據，通過比較預測結果，驗證了模型的有效性。綜上所述，根據實證結果，可以得出以下結論：

1）本文提出的ICEEMDAN-VMD-AWOAELM 碳價格預測模型是有效的。通過以湖北省市場為算例的模型對比實驗可以發現，對于具有非線性和混沌性的碳價格時間序列而言，一方面采用二次分解方法可以有效降低碳價格數據的高度非線性和復雜性，有效地提升模型的預測精度；另一方面，采用自適應鯨魚優化算法優化的極限學習機可以更好地捕捉碳價格數據的波動，可進行更加精確的碳價格預測。

2）二次分解能夠有效提高預測模型的精度。本文通過比較實驗驗證了二次分解算法可以顯著提升碳價格預測的精度。本文創新性地將ICEEMDAN分解算法和VMD 分解算法結合，將ICEEMDAN分解得到的IMF1，通過VMD 對序列進行進一步分解。結果表明，在一次分解已經顯著提高模型性能的前提下，二次分解能夠再次提高預測模型的精度，并且對模型性能的改進效果明顯。實驗結果證明，對IMF1 進一步分解的方法是可行且有效的。對于具有非線性和復雜性的碳價格而言，二次分解是一種提高預測精度的有效方法。