畫圖中理解和發現 反思中感悟和提升
——“畫思路”教學實踐與思考

文 |陳昱（特級教師） 徐芝英

“畫思路”是最早成型也是最常見的“數學畫”課型，是指在問題解決教學中引導學生用畫圖的方式表征題意、思路，借助畫圖厘清數量關系，輔助分析和解決問題的教學。這種運用數形結合和幾何直觀來輔助解決問題的編排設計貫穿現行小學數學各版教材。下面以五年級一個具體的問題解決教學為例來談一談“畫思路”教學的實踐策略和方法。

一、從“畫題意”到“畫思路”

“畫思路”教學中，問題的呈現方式多種多樣：情境圖展現、文字敘述、圖文并茂、視頻展示、語音播報等；問題的提出方式也是多樣的：直接給出條件和問題、只給條件需要學生提出問題、給較復雜的情境或背景以及問題需要學生找條件、給較復雜的情境或背景需要學生提出問題尋找條件等。以上議題都很重要，但不在本文討論范圍，本文只探討在已知條件和問題的情況下如何借助畫圖表征、分析和解決問題。

“畫思路”教學流程（如圖1）是：讀題→畫題意→畫思路→解題→反思，從“畫圖”的視角可分為前后承接的兩個部分：畫題意和畫思路。在整個畫圖解決問題的過程中，貫穿始終的是兩個主題：理解與發現。畫題意更多指向理解，畫思路主要是不斷地發現。

圖1

（一）理解：畫題意的前提和旨歸

“畫題意”指畫圖表征條件和問題，其前提和旨歸是對整個問題的理解，與讀題、審題相聯系。比如面對“春節到了，爸爸買了2只鴨、1只雞，共33元。如果買2只鴨、3只雞要付51元，問一只雞和一只鴨各多少錢？”這個問題，先給予學生充分的讀題、審題時間，必要時還可以讓學生互相說一說題意，再把題意畫出來（如圖2）。

圖2

1.理解題意：條件和問題清晰化

文字或話語陳述的問題，需要用畫圖來梳理，使之清晰呈現，明白已知條件和問題。這一步很重要，只要學生能夠表征清楚，問題就解決了一大半。

上題中的條件比較簡單，有些問題條件相對復雜，需要畫圖輔助理解。比如“一座大橋2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需3分鐘，這列火車長多少米？”，通過畫圖表征“從車頭開上橋到車尾離開橋”能夠更好地理解“通過大橋”的意思，否則容易誤以為這列火車“通過大橋”的路程就是橋長2400米。所以，“理解題意”與“畫圖表征”之間的關系是相互的，前者是后者的基礎，沒有對題意的理解就無從畫圖表征；后者是前者的輔助，畫圖表征能夠促進理解，兩者相輔相成。

對題意的理解，還包括對問題的整體把握與思辨。上題在課堂上就受到學生的質疑：雞、鴨的價格也太便宜了吧？不符合市場實際。時值中秋前夕，學生們商議修改問題為（注：因此學生作品中既有“雞、鴨”也有“石榴、月餅”）：中秋節到了，爸爸買了3個石榴、1封月餅，共33元。如果買3個石榴、3封月餅要51元。問1個石榴和1封月餅各多少錢？學生的質疑表現十分珍貴，我們希望數學學習賦予學生這樣的審辯性思維和理性精神，并主動運用它們反過來審視數學學習和周圍世界。

2.畫圖表征：多樣化基礎上的簡潔化

“數學畫”教學歷來都是放手讓學生個性化表達，“畫思路”也不例外。個性化表達必然會呈現多樣化的畫圖，學生解決上述問題中出現了幾何圖形圖（如圖2）、實物圖（如圖3）、文字圖（如圖4）、線段圖（如圖5）等不同作品。

圖3

圖4

圖5

在展評環節，不同畫法的作品同時呈現，引導學生在對比中發現不同，達成共識：畫實物圖比較麻煩，幾何圖形圖和線段圖比較簡潔，從而逐漸簡化畫法。整體上，低年級學生偏愛色彩鮮艷的實物圖，喜歡創設豐富的故事情境，隨著年齡的增長、學習的推進，我們會有意識、有計劃地引導學生逐漸用簡潔的幾何圖形、符號等表征思維。一般年級越高，學生畫思路的作品會越簡潔、抽象。

（二）發現：畫思路的本質和關鍵

畫清題意為厘清數量關系、發現解決方法做好了鋪墊，這兩個過程是一氣呵成、融為一體的。在課堂教學中，“畫題意”“畫思路”“解題”往往也都在“畫圖解決問題”的大任務中，避免破壞學生思維的連貫、深入。

1.圖示發現：關系和方法明朗化

上例中，有了畫題意后學生能夠很容易“看出”51元里比33元里多出2只雞，不難推算1只雞的價錢，知道了雞的單價，根據兩個已知條件中的任意一個，都能算出鴨的單價（如圖6）。以上關鍵數量關系和解題方法的發現得益于圖示的直觀。當然，本問題條件比較簡單，部分學生可以在腦海中“想見”數量關系，直接列式解決。這種情況并不是“畫思路”重要教學價值的反例，恰恰說明了：一切問題解決的前提都是理解題意和洞見數量關系；簡單和復雜是相對的，理解了的內容自然簡單，所謂復雜只是暫時未被理解和掌握，其中存在個體差異；畫圖可以輔助數學理解、促進問題發現；“看見”的圖與“想見”的圖都是思維的痕跡，只是在熟練程度和心理認知水平上有差異。

在畫題意基礎上，圖6是比較常見的思路和方法，還有其他方法，比如圖7、圖8。這些多樣方法的出現又使后面“反思”環節的小結提升有了基礎和可能。

圖7

圖8

2.算式表達：由圖到式的數學化

畫圖表征題意之后，理清數量關系、發現解決問題的方法是很內隱的思維活動，其表現就是能夠列出算式、解答問題，即學生完成了由圖示到算式的過渡，這是一種數學化的過程。有的學生需要在圖示的直觀幫助下列式，有的學生在借助畫圖理解題意、厘清思路后可以脫離圖示獨立列式解答，還有的學生思維水平達到一定高度后則可以不畫圖直接列式解答。不論哪一種學生，當他們列式解答出現困難時，隨時可以重新畫圖或看圖來輔助思考。在這個意義上，“畫思路”是很明顯的一種從“數學畫”到“數學化”的數學學習過程。

二、從“反思過程”到“提升素養”

問題解決教學中“反思過程”是很重要的環節。“反思過程”是教學行為和手段，“提升素養”才是教學方向和目標。因為“畫思路”呈現了每位學生的思維痕跡，這讓“反思過程”更加有跡可循。

（一）讓“經歷”成為“經驗”

“反思過程”環節的教學首先指向對整個問題解決過程的回顧：我們是怎么一步步解決這個問題的？我們運用了哪些方法？引導學生在反思中有意識地將“讀題→畫題意→畫思路→解題→反思”的“經歷”變成“經驗”儲存起來，便于以后遇到問題加以運用。這種重新審視整個解題過程的“元認知”也有助于培養學生自覺回顧、主動反思的習慣。

不同作品的交流展評是“畫思路”教學中學生很重要的一種學習經歷，通過反思和比較，學生可以獲得的經驗主要有兩個方面：畫法從實物圖到線段圖不斷優化，思維由單一向多元越來越靈活，更重要的是學生思維的水平層次也在不斷進階。

不同圖示在抽象水平、不同解法在思維水平上往往存在差異，在充分尊重每位學生的個性化表達基礎上，“畫思路”教學著力通過作品展評來提升學生的畫圖和思維能力，自然引導學生讀懂同伴的圖示和方法，并多方對比、自我反思，給予他們改進的機會，最終實現“基于個性的表達”和“基于交流的發展”。

（二）由“解法”升級“策略”

如上所述，問題解決中出現不同解法，如果沒有反思，這些寶貴的多元方法只會停留在特殊的、個別的解法層面。經過扎實的“畫題意→畫思路”過程后回顧這些方法，學生才有機會跳出具體解法的窠臼，從更高的視角俯視它們，發現“通法”，有可能到達策略和思想的高度。

1.解法背后的策略意識

怎么才能實現從個別解法到一般策略的跨越呢？下面將以上述問題在不同班級的教學為例來具體談一談。

（1）學生未出現多樣解法：以策略化引出多樣化

在A班級的教學中，學生畫法雖然多樣，但解法比較趨同，只出現圖6這一類。以下是教學片斷：

師：讓我們回頭看看，一開始覺得這個問題怎么樣？困難在什么地方？

學生說一說，引出：此問題有兩個未知量，比較復雜。

師：通過分析我們還是順利解決了這個有兩個未知量的復雜問題，想一想解決問題的關鍵是什么？

學生議一議，引出：解決這個問題的關鍵是想辦法抵消掉一個未知量，使復雜問題變簡單。

追問：我們是怎么消掉一個未知量的？為什么這樣可以抵消？

學生結合解決過程說一說，得出：因為33元和51元里正好都包含2只鴨的價錢，我們通過兩數相減，剛好可以抵消掉鴨的價錢，只剩下雞的價錢。

師：我們已經會用直接相減的方法抵消一個未知量，那么能不能用其他方法呢？

先獨立思考，再小組討論，教師巡視輔導，點撥：只要想辦法抵消掉一個未知量即可，注意觀察已知數的特點，怎樣能抵消呢？

（展評不同方法與思路）

以上教學立足學生比較單一的解法，引導學生通過反思發現具體解法背后的“消元”本質，讓學生意識到：不論用什么方法，只要抵消掉一個未知量，問題就簡單了，從而順利引出多樣解法。

（2）學生出現多樣解法：以多樣化引導策略化

B班級的教學中，學生不僅出現多樣畫法，還自主涌現了多元解法。教學片斷如下：

師：回顧一下，比較圖6、7、8的不同解法，你有什么發現？先獨立思考，再小組內交流。

生1：我們發現三種不同方法有一個相同的過程，那就是畫圖，通過畫圖明白了數量關系，找到了解決方法。

生2：我們發現圖6的方法是把兩個已知條件相減，剛好抵消掉2只鴨子、1只雞，剩下2只雞的價錢，就能求出雞的單價，再求出鴨的單價；圖7的方法是把兩個已知條件相加，得到4只鴨和4只雞的價錢，就能求出1只鴨和1只雞的價錢，而第一個已知條件是2只鴨、1只雞，相減就能得到鴨的單價；圖8的解法也差不多，先把第一個已知條件乘3，求出6只鴨和3只雞的價錢，再減去第二個已知條件，3只雞抵消了，剩下4只鴨，得到了鴨的單價……

師：他提到了一個很重要的詞“抵消”，是什么意思？

生3：不論是哪一種解法，最后都是為了抵消掉一個，要么抵消掉雞，要么抵消掉鴨。

師：為什么要抵消掉一個呢？

生4：我們既要求雞的單價，又要求鴨的單價，不抵消掉一個不好算，如果抵消掉一個，只剩另外一個，就好算了。

師：原來不同解法里有著同樣的思想。誰再來說一說？

得出：當有兩個未知量時，可以用加減乘除的多種方法抵消掉一個未知量，把復雜問題變簡單。

以上教學是在解法多樣化基礎上進行的，通過比較引導學生發現不同解法中蘊含著相同的策略，那就是用消元的方法將含有兩個未知量的復雜問題轉化成只含一個未知量的簡單問題。如此，學生的學習就能夠超越一道題而打通一類題，獲得問題解決的通法，掌握更高層面的策略和數學思想方法。

2.解題背后的素養培育

和其他課型一樣，“畫思路”教學的最高目標絕不是畫圖，也不是解題，而是通過以畫圖輔助解題的學習過程來育人，即培育學生的數學核心素養。上例中蘊含著多方面的提升數學核心素養的努力，下面從中截取“推理意識”略加分析。

（1）從現象到結論

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，具有推理意識的學生能夠通過簡單的歸納或者類比，猜想或者發現一些初步的結論。A班學生通過對畫法不同但思路相似的解法、B班學生通過對多種不同解法的歸納類比，都發現了“消元”方法和“轉化”思想。

（2）從一般到特殊

具有推理意識的學生能通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程。A班學生運用消元策略，找到與已有解法不一樣的其他解法；交流展評環節，由同一種解法的相同數量關系，引出不同畫法的作品，如：同樣是“消元”，同樣的“51元里比33元里多出2只雞（2封月餅）”，圖9～11與圖6的畫法各不相同。課堂上，一般的操作是：先看圖6，讀懂其思路，明確其數量關系，學生再找出與之相同解法和數量關系的圖9～11等作品集中展示，簡單感悟從一般到特殊的推理。

圖9

圖10

圖11

（3）合理解釋自己和他人

具有推理意識的學生能對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。不同畫法、不同解法的學生會在小組內或全班交流自己的想法，也會在交流中讀懂別人的想法。

問題是數學的心臟，對數學問題的表征和探究是數學學習的重要領域，“畫思路”教學則是我們在這一領域的自覺實踐，引導學生在畫圖中理解和發現，在反思中感悟和提升。