問題引領(lǐng)探索
——核心素養(yǎng)觀理念下《間隔排列》再教學(xué)

文 |朱榮武

【課前再思考】

《間隔排列》是一節(jié)探索規(guī)律專題課，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，掌握發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基本方法，發(fā)展推理意識，提升思維水平。多年來，本課一直是一節(jié)“熱點(diǎn)課”，研究者眾多，但由于立場視角等不同，觀點(diǎn)相左者甚多，其中也不乏對教材的質(zhì)疑批評之聲。如今在核心素養(yǎng)觀理念下，在尊重、參悟教材的基礎(chǔ)上，筆者有如下再思考。

一、精準(zhǔn)對標(biāo)，培育“三會”核心素養(yǎng)

對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，核心素養(yǎng)本質(zhì)上是學(xué)生對數(shù)學(xué)“四基”的學(xué)習(xí)感悟而內(nèi)化為心理特征的結(jié)果，有意義的數(shù)學(xué)活動是形成和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本途徑。本課中學(xué)生通過對間隔排列現(xiàn)象的觀察，發(fā)現(xiàn)并抽象表達(dá)其中穩(wěn)定的數(shù)量關(guān)系，接著發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，有利于其發(fā)展“數(shù)學(xué)眼光”；學(xué)生用一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想解釋現(xiàn)象背后的原理，對數(shù)量關(guān)系做出解釋，并以一一對應(yīng)思想將不同規(guī)律類型編織為有意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就是“數(shù)學(xué)思維”的運(yùn)作過程；在理解的基礎(chǔ)上經(jīng)歷操作性表征、表象性表征和符號性表征等過程，準(zhǔn)確表達(dá)規(guī)律、建立“模型”，基于模型來解釋和解決現(xiàn)實(shí)問題，錘煉的是“數(shù)學(xué)語言”。

二、分解探索過程，發(fā)展“規(guī)律思維”

規(guī)律是事物發(fā)展的本質(zhì)聯(lián)系和必然趨勢的反映，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律和理解應(yīng)用規(guī)律不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，也是人們改造現(xiàn)實(shí)世界的行動方式，小學(xué)生“規(guī)律思維”的發(fā)展離不開探索規(guī)律的思維活動。教學(xué)中采用“小步長程”的方式，引導(dǎo)學(xué)生沿著“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、描述規(guī)律、質(zhì)疑規(guī)律、驗(yàn)證（解釋）規(guī)律、表征規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律、反思規(guī)律”的思維路徑行走，不僅有利于學(xué)生認(rèn)識和體會探索規(guī)律的來龍去脈，還能在積累相關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)完善探索規(guī)律的思維結(jié)構(gòu)。

三、踐行“問學(xué)”，改善學(xué)習(xí)方式

“問學(xué)”語出《禮記·中庸》——“故君子尊德性而道問學(xué)”。“問”代表主動地探索，“學(xué)”代表獲取知識、經(jīng)驗(yàn)和方法。教學(xué)視域下“問學(xué)”即是一種以問題引領(lǐng)的主動的學(xué)科實(shí)踐方式與過程。本課中引導(dǎo)學(xué)生基于規(guī)律現(xiàn)象的特征不斷發(fā)現(xiàn)、提出問題，并利用數(shù)學(xué)思維方法分析和解決問題，有利于其體會“問”與“學(xué)”的關(guān)系和價(jià)值，在提升學(xué)習(xí)方法水平的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展“自我引領(lǐng)”的學(xué)習(xí)能力，切實(shí)改善學(xué)習(xí)方式。

【教學(xué)再實(shí)踐】

一、提出問題，理清線索

教師板書課題：間隔排列中的規(guī)律

師：看到這個(gè)課題，有什么問題要問嗎？

生：什么是間隔排列？間隔排列中有什么規(guī)律？

生：這個(gè)規(guī)律有什么用？

教師在課題恰當(dāng)位置板書“？”并引導(dǎo)：你覺得我們的研究順序應(yīng)是什么呢？

生：我覺得應(yīng)該先研究什么是間隔排列，因?yàn)橹挥兄懒碎g隔排列的樣子才能研究它有什么規(guī)律，才能知道這個(gè)規(guī)律的用途。

【設(shè)計(jì)意圖：“問”是探索真理、認(rèn)識世界的方式。課始之問盡管略顯膚淺，但有利于學(xué)生明確和聚焦任務(wù)，形成價(jià)值認(rèn)同，在理性分析的基礎(chǔ)上確定研究的線索，切實(shí)營造“問題引領(lǐng)探索”的氛圍。】

二、研究問題，探索規(guī)律

1.認(rèn)識一一間隔排列現(xiàn)象

（1）觀察場景，描述特征

播放兔子樂園的動畫。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么有意思的現(xiàn)象？

生：每兩只兔子中間隔著一個(gè)蘑菇，每兩只夾子中間隔著一塊手帕，每兩根木樁中間隔著一塊籬笆。

生：除了兩頭的兔子外，每兩個(gè)蘑菇之間也夾著一只兔子。另外兩組也是這樣。

師：了不起！大家一看就發(fā)現(xiàn)了有意思的排列。

（2）韻律表達(dá)，體會對應(yīng)

教師借助課件按順序有節(jié)奏地呈現(xiàn)每組中的兩種物體，學(xué)生邊看邊小聲說，體會排列的特點(diǎn)。

（3）突出本質(zhì)，建立概念

在描述和體會的基礎(chǔ)上，借助直觀告訴學(xué)生：像這樣兩種物體一個(gè)隔著一個(gè)排列，就是一種一一間隔排列，并劃去表示“什么是間隔排列”的問號。

【設(shè)計(jì)意圖：“兩種物體一個(gè)隔著一個(gè)排列”是最簡單的間隔排列，在觀察描述的基礎(chǔ)上再用聲音展開韻律表達(dá)，有利于其不斷深化對“一個(gè)隔著一個(gè)排列”的認(rèn)識，逐步形成對一一間隔排列概念的內(nèi)涵建構(gòu)。】

2.探索兩端相同的一一間隔排列中的規(guī)律

（1）觀察比較，發(fā)現(xiàn)描述規(guī)律

師：下面我們該來研究“有什么規(guī)律”這個(gè)問題了。研究事物數(shù)量之間的關(guān)系可以幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在這三組排列中，兩種事物的數(shù)量有什么關(guān)系？

學(xué)生借助《學(xué)習(xí)單》分別研究數(shù)量關(guān)系。

生：我發(fā)現(xiàn)兔子比蘑菇多1，蘑菇比兔子少1。夾子比手帕多1，手帕比夾子少1。木樁比籬笆多1，籬笆比木樁少1。

師：三組的數(shù)量關(guān)系有什么相同點(diǎn)？

生：都有多1或少1的關(guān)系。

生：都相差1。

師：看來在這些一一間隔排列中，兩種物體的數(shù)量都是相差1的。

（2）質(zhì)疑規(guī)律，提出關(guān)鍵問題

師：學(xué)習(xí)要善于問個(gè)究竟，對這個(gè)發(fā)現(xiàn)你有什么問題要問嗎？

生：為什么會相差1？

生：為什么不是相差2？為什么不是相等？

師：是啊！為什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖：同一數(shù)量關(guān)系不斷重復(fù)出現(xiàn)則極有可能是規(guī)律，在學(xué)生初步體會并描述規(guī)律的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生質(zhì)疑并自主醞釀提出問題，既是探索規(guī)律的理性之舉，也是培養(yǎng)質(zhì)疑意識和批判性思維之需，同時(shí)也在滲透培養(yǎng)審慎和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。】

（3）一一對應(yīng)，體會規(guī)律的必然性

師：這個(gè)答案會不會就藏在這些排列里面呢？兔子比蘑菇多1是一定的，還是巧合呢？你能想辦法讓人一看就知道嗎？

生：我是把一只兔子和一個(gè)蘑菇圈在一起，最后剩下一只兔子沒有蘑菇和它組成一組，所以兔子一定比蘑菇多1。

生：我是用連一連的方法，一只兔子連著一個(gè)蘑菇，就這樣連下去，這時(shí)兔子和蘑菇一樣多，但最后還剩下一只兔子。所以一定是兔子多1。

師：這真是個(gè)好辦法。把兔子和蘑菇一對一地圈圈連連，就能發(fā)現(xiàn)這里兔子和蘑菇必然相差1。另外兩組，你能像這樣圈圈連連并說一說嗎？

（4）對應(yīng)推理，體會規(guī)律的穩(wěn)定性

呈現(xiàn)小猴和西瓜的一一間隔排列。

師：西瓜有20個(gè)，小猴有幾只？如果小猴有100只，西瓜有多少個(gè)？

生：小猴有21只。因?yàn)榘岩恢恍『锖鸵粋€(gè)西瓜對應(yīng)，一共有20組，還剩下一只小猴。

生：西瓜有99個(gè)。一只小猴和一個(gè)西瓜為一組，不夠100組只能圈出99組，因?yàn)榈?00只小猴沒有西瓜和它對應(yīng)。

【設(shè)計(jì)意圖：以一一對應(yīng)的思想為指導(dǎo)，不數(shù)而圈圈連連就能比較物體數(shù)量多少的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生是具備的，只是在現(xiàn)場學(xué)生較難自覺激活，所以教師以問題引導(dǎo)學(xué)生尋找不數(shù)就能看出必然多1的方法，實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)突破。學(xué)生在動作思維的基礎(chǔ)上借助直觀說理，理解在這種排列里“相差1”是一種必然的現(xiàn)象。進(jìn)而，增加事物的數(shù)量，讓學(xué)生借助直觀想象和演繹推理去表達(dá)，在深度思考中體會規(guī)律的穩(wěn)定性。】

（5）模式建構(gòu)，一一對應(yīng)表征規(guī)律本質(zhì)

師：像這樣的一一間隔排列，我們可以用兩種圖形來表示它們。（課件出示○和□，并逐步隱去實(shí)物圖）

師：這里的圖形還可以表示什么事物？

生：可以表示大樹和路燈、課桌和椅子、窗戶和墻等許多物體。

師：是的，把這兩種圖形一對一地連一連，總會剩下一個(gè)圖形沒有圖形與它對應(yīng)。因此，在這樣的間隔排列里，數(shù)量總是相差1。

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，在具象研究的基礎(chǔ)上，利用圖形抽象建立一般數(shù)學(xué)模型，抽象化的操作不僅有利于學(xué)生理解內(nèi)在的基本原理，把握本質(zhì)，還有利于其良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。同時(shí)，伴隨著數(shù)學(xué)思維水平的提升，學(xué)生探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)、能力等也得以發(fā)展。】

3.研究兩端不同的間隔排列，完善規(guī)律內(nèi)涵

（1）動手操作，發(fā)現(xiàn)新問題

師：保持10個(gè)方片不動，擺放圓片，使它們一一間隔排列。如果讓你來擺的話，你需要幾個(gè)圓片？先想一想再擺。

（學(xué)生擺并展示交流）

師：有沒有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：這里方片和圓片的數(shù)量不是相差1，是一樣多了。

（2）一一對應(yīng)，研究新問題

師：學(xué)習(xí)要善于問個(gè)究竟，這時(shí)你有什么問題要問嗎？

生：為什么會一樣多呢？

師：是啊，是必然一樣多還是巧合呢？

生：是必然一樣多。一一對應(yīng)連一連，這里正好連成了10組，沒有剩余。

生：我明白了。如果一一對應(yīng)正好連成幾組的話，數(shù)量就一樣多；如果一一對應(yīng)連出幾組后還有剩余的話，數(shù)量就相差1。

【設(shè)計(jì)意圖：在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，借助經(jīng)驗(yàn)、概念、思想等獲得新的發(fā)現(xiàn)，是人們探索未知世界的一般途徑。這里以動作思維和直觀觀察為基礎(chǔ)，學(xué)生又一次發(fā)現(xiàn)了新現(xiàn)象，教師再一次組織學(xué)生提出并探究新問題，實(shí)現(xiàn)了用一一對應(yīng)的思想統(tǒng)整理解一一間隔排列不同類型的目的，在同化和順應(yīng)中實(shí)現(xiàn)了從知識結(jié)構(gòu)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的升華。】

三、遷移運(yùn)用，解釋發(fā)現(xiàn)

1.一一對應(yīng)，解決問題

師：公雞、母雞分別和小雞一一間隔排成一行，隊(duì)伍中間被草叢擋住了。你能知道每支隊(duì)伍里誰多誰少嗎？

師：如果公雞、母雞各有57只，那么小雞有幾只？

（學(xué)生分別作答并解釋）

2.一一對應(yīng)，解釋發(fā)現(xiàn)

師：比較每串中兩種珠子的個(gè)數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每串中兩種珠子個(gè)數(shù)都相等。

生：我是先數(shù)再比較發(fā)現(xiàn)的。

生：我是一一對應(yīng)圈一圈，第一個(gè)圈6組，第二個(gè)圈9組。

生：我是想象著先剪開再拉直，兩頭肯定是不一樣的珠子，所以都可以一一對應(yīng)正好連成幾組。

【設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)問題情境都給學(xué)生應(yīng)用一一對應(yīng)的思想創(chuàng)造了機(jī)會，在解決問題的過程中學(xué)生深刻體會了一一對應(yīng)思想方法的價(jià)值，感受了其力量。同時(shí)基于一一對應(yīng)的結(jié)果，學(xué)生自然將閉環(huán)的一一間隔排列現(xiàn)象納入到剛剛建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，完成了必要的補(bǔ)充和更新。】

四、回顧反思，再聊“問題”

師：同學(xué)們，回顧一下這節(jié)課，我們提出和解決了哪些問題？你印象最深刻的是什么？現(xiàn)在你還有什么新問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：問題引領(lǐng)探索，要特別重視通過反思積累思維活動經(jīng)驗(yàn)。組織學(xué)生從發(fā)現(xiàn)提出問題的角度、分析和解決問題的策略、鮮活的體驗(yàn)、新問題的誕生等方面展開反思，能不斷提高問題引領(lǐng)探索的能力。】

【教后再思考】

在核心素養(yǎng)觀理念下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)處理好核心素養(yǎng)與“四基”“四能”及數(shù)學(xué)活動的關(guān)系。核心素養(yǎng)是學(xué)生在“雙基”學(xué)習(xí)過程中，逐步感悟數(shù)學(xué)基本思想、累積數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)而內(nèi)化為心理特征的結(jié)果。有意義的數(shù)學(xué)活動是形成和發(fā)展核心素養(yǎng)的基本途徑，其間“四能”是有效的思維載體。以整體的視角強(qiáng)化“問題引領(lǐng)探索”的教學(xué)活動，有利于實(shí)現(xiàn)“三會”素養(yǎng)與“四能”“四基”的有機(jī)融合，推動學(xué)習(xí)方式的變革。

一、在發(fā)現(xiàn)和提出問題中發(fā)展數(shù)學(xué)的眼光

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究”等是數(shù)學(xué)眼光的重要內(nèi)容。本節(jié)課一共五次組織學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。聚焦課題開展的主題性提問，涵蓋概念、內(nèi)涵、價(jià)值等方面，明確而具體，成為探索活動的驅(qū)動源。結(jié)合“都相差1”的發(fā)現(xiàn)提問，是對學(xué)生固有學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要撞擊。因?yàn)閷W(xué)生要么對已有發(fā)現(xiàn)熟視無睹而無從質(zhì)疑，要么深信已有發(fā)現(xiàn)而無意發(fā)問，此時(shí)教師有意安排的“提問”一方面逼著學(xué)生駐足反觀，另一方面也讓學(xué)生體會到其間真的有問題要問、有問題可問，問題意識和提問方法得以發(fā)展。結(jié)合“數(shù)量一樣多”的發(fā)現(xiàn)提問，是學(xué)生質(zhì)疑意識的一次強(qiáng)化，學(xué)生再次體會到面對新發(fā)現(xiàn)仍然要以審慎的態(tài)度和探究的精神去提出問題。對“閉環(huán)間隔排列”的研究，陳述式的表達(dá)實(shí)則是更高級的問題提出，借助“一一對應(yīng)”思想的主動探究，既促進(jìn)了其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，又感受了數(shù)學(xué)思想的力量。反思環(huán)節(jié)對新探究點(diǎn)的提問，不僅能引領(lǐng)學(xué)生的思維走向縱深，還能促進(jìn)其思維經(jīng)驗(yàn)的積累。無論是針對課題的提問，還是針對探索階段成果的提問抑或反思提問，都是基于真實(shí)情境對規(guī)律探索要點(diǎn)的發(fā)問，不僅有利于學(xué)生洞悉規(guī)律內(nèi)涵，也切實(shí)發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

二、在分析問題過程中發(fā)展數(shù)學(xué)的思維《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》認(rèn)為數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)思維的目的是理解和解釋現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式；數(shù)學(xué)思維的運(yùn)作離不開基本的數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)思維的基本形式是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算；小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理意識等。本課中的推理思維主要應(yīng)用在兩個(gè)方面：一是在分析比較各組排列的數(shù)量關(guān)系時(shí)，以合情推理提出新命題——在這些排列中兩種物體的數(shù)量相差1。二是在探究新命題的過程中，應(yīng)用一一對應(yīng)的思想方法展開了多輪演繹推理，先是用一一對應(yīng)去圈圈連連直觀理解“相差1”的必然性，再通過一一對應(yīng)去想象推理，體驗(yàn)規(guī)律的穩(wěn)定性，還有在具體情境中用一一對應(yīng)的思想去做數(shù)量關(guān)系推斷等。學(xué)生借助推理和一一對應(yīng)的思想方法去分析和理解客觀現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系，這一運(yùn)作過程就是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程。

三、在解決問題過程中發(fā)展數(shù)學(xué)的語言

數(shù)學(xué)語言為人們簡約、精確、概括地表達(dá)提供了可能，模型意識、應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)語言的重要表現(xiàn)。生活中的一一間隔排列類型豐富而又本質(zhì)相同。本節(jié)課在具象研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生多層次利用圖形抽象建立一一間隔排列的不同模型，初步經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過程，并在模式化思維中體會了數(shù)學(xué)模型對解決問題的價(jià)值，發(fā)展了主動構(gòu)建普適模型的意識。在解決問題的過程中，學(xué)生多次用一一對應(yīng)的思想去解釋規(guī)律的原委、體會規(guī)律的穩(wěn)定性，并在具體情境中應(yīng)用這一思想做出推斷，逐步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)語言在模型構(gòu)建和思維表達(dá)中得以發(fā)展。