多醫(yī)生場景下面向不守時患者的預(yù)約分配與調(diào)度優(yōu)化

姜博文,孫鑫源

(大連海事大學(xué) 航運經(jīng)濟與管理學(xué)院,遼寧 大連 116026)

我國醫(yī)院門診患者需求量大,患者掛號排隊時間長、候診時間長、就診時間短等現(xiàn)象仍然突出[1]。候診區(qū)域的“峰堵”和長期的等待容易增加患者焦急情緒,加劇醫(yī)患雙方矛盾,尤其在當(dāng)前醫(yī)院的嚴(yán)格防控背景下,長時間聚集意味著疾病傳播風(fēng)險的增加[2]。更為合理的預(yù)約時間和準(zhǔn)確的服務(wù)順序能夠使患者合理安排交通出行規(guī)劃,減少患者在醫(yī)院門診的候診時間和患者間的聚集風(fēng)險。

然而,患者往往無法嚴(yán)格地按照預(yù)約時間準(zhǔn)時到達,可能早于或晚于預(yù)約時間到達門診。患者實際到達時間與預(yù)約時間的偏差會造成排隊序列順序的改變,與原有的預(yù)約順序不再一致,產(chǎn)生亂序問題,干擾假設(shè)患者準(zhǔn)時到達情況下醫(yī)院決策的預(yù)約順序和服務(wù)計劃。如果醫(yī)生嚴(yán)格按照預(yù)約順序服務(wù),可能會出現(xiàn)后序患者已提早到達進入隊列等待,而醫(yī)生處于空閑狀態(tài)下仍等待前序遲到患者的情形,造成醫(yī)生工作效率下降和患者等待時間增長;如果醫(yī)生按照患者的實際到達順序服務(wù),那么,預(yù)約系統(tǒng)會失去原有意義,患者越早到達越可能被優(yōu)先服務(wù),造成患者在候診區(qū)域的不必要聚集。這些問題在涉及多服務(wù)臺、多隊列的多醫(yī)生場景下更為突出。面向不守時患者,原有的預(yù)約調(diào)度方案不能達到最優(yōu)性能,因此,有必要在決策時預(yù)先考慮不守時因素對排隊服務(wù)規(guī)則的影響,優(yōu)化患者面向多醫(yī)生的分配和預(yù)約調(diào)度方案。

本文以不守時因素作為主要研究對象,同時考慮門診預(yù)約系統(tǒng)的取消預(yù)約、服務(wù)時間不確定等隨機因素。對于取消預(yù)約患者和超時患者,門診都不會為他們提供診療服務(wù),但不同之處在于,對于取消預(yù)約患者,門診在開診前即知曉信息,門診可以直接假定該患者的到達時間為正無窮,患者不進入等待隊列。而對于超時患者,門診則需要等到患者被允許的最晚遲到時刻,在這之前還需要考慮其潛在的到達可能,判斷是否交換其與相鄰患者的服務(wù)順序。取消預(yù)約患者和超時患者在患者間服務(wù)順序規(guī)則和系統(tǒng)性能遞推建模上存在較大差異。

關(guān)于不守時到達因素的研究可以分為兩個方面:①患者不守時行為特征的刻畫。Srinivas[3]對4種訓(xùn)練機制不同的機器學(xué)習(xí)算法(Logistic回歸、隨機森林、梯度推進機和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))進行比較分析,據(jù)此預(yù)測門診中心患者的不守時行為。②針對不守時因素進行優(yōu)化。Shehadeh等[4]研究考慮患者不守時的單服務(wù)臺預(yù)約調(diào)度問題,分別建立不依賴和依賴場景的兩階段模型并給出問題的上下界。Wu等[5]將該模型推廣至多服務(wù)臺環(huán)境,并提出了有效的求解方法。Jiang等[6]通過隨機規(guī)劃方法優(yōu)化面向不守時患者的門診預(yù)約系統(tǒng),建立了相鄰患者在不守時時間窗內(nèi)到達的統(tǒng)一遞推模型。本文研究屬于第2個方面,與已有文獻相比,本文綜合考慮多醫(yī)生和取消預(yù)約等多種因素,側(cè)重研究不守時因素對排隊序列的影響以及基于情景根據(jù)排隊服務(wù)規(guī)則如何優(yōu)化門診預(yù)約時間。

在多醫(yī)生和取消預(yù)約等方面已有學(xué)者分別開展研究。Zhang等[7]研究多手術(shù)室排程問題,提出一種基于無偏梯度估計的隨機近似算法,并證明了該算法的全局收斂性,研究發(fā)現(xiàn),多手術(shù)室下預(yù)約時間表為“Z”形,即最佳預(yù)約間隔交替地向下和向上變化,與單手術(shù)室的穹頂形特征不同。Harris等[8]研究取消預(yù)約因素對出診醫(yī)生數(shù)量的影響,給出了醫(yī)生數(shù)量基于取消預(yù)約率的調(diào)整轉(zhuǎn)換點公式并進行了數(shù)值評估。

本文在多醫(yī)生場景下,面向不守時患者建立靜態(tài)混合0-1隨機規(guī)劃模型。在模型方面,本文綜合考慮患者到達不確定性中的不守時和取消預(yù)約因素,基于抽樣情景對兩種不確定性因素進行建模,提出允許相鄰預(yù)約序列兩位患者根據(jù)實際到達時間交換順序的服務(wù)規(guī)則,決策患者預(yù)約時間和患者對應(yīng)多醫(yī)生的分配方案。在算法方面,基于模型和服務(wù)規(guī)則特征,在Castaing等[9]提出的Fix-Unfix算法基礎(chǔ)上進行推廣,將原模型分解為兩個子問題,在第1個子問題中假設(shè)預(yù)約時間已知,基于情景和服務(wù)規(guī)則決策分配問題;將得到的患者分配方案作為第2個子問題的輸入,求解線性規(guī)劃模型,決策最優(yōu)預(yù)約時間,再返回作為下一迭代中第1個子問題的輸入,不斷迭代直至到達終止條件。

1 面向不守時患者的隨機規(guī)劃模型建立

1.1 假設(shè)與符號說明

針對醫(yī)院門診某科室標(biāo)準(zhǔn)半日(上午或下午)工作周期T,醫(yī)院門診開放科室內(nèi)m位出診醫(yī)生的全部號源,開診周期內(nèi)能夠預(yù)約的總患者數(shù)量n已知,由于我國門診需求量較高,且預(yù)約提前期一般為半個月左右,相對較為充分,可以認(rèn)為全部號源均能夠約滿。假設(shè)所有預(yù)約患者均為獨立同分布,不守時時間在假設(shè)1中描述,服務(wù)時間和取消預(yù)約在假設(shè)2中描述。門診面向不守時患者,考慮診療過程中上述不確定因素,決策n位患者對m位醫(yī)生的分配方案xik和患者的預(yù)約時間Ai。其中:xik為0-1變量,若患者i被分配給醫(yī)生k,則取值為1,否則為0;Ai為連續(xù)變量。ρ表示患者在候診隊列的優(yōu)先度標(biāo)記,如假設(shè)3所示,醫(yī)生會從隊列中選擇當(dāng)前ρ標(biāo)記值更小的患者進行診療服務(wù)。

假設(shè)1每位患者到達時間與預(yù)約時間之差定義為患者不守時的時長(u),每位患者不守時時長的概率密度函數(shù)符合獨立同分布,u>0表示患者遲到,u<0表示患者早到,u=0表示患者準(zhǔn)時到達,u≤U,其中U表示醫(yī)院規(guī)定的患者遲到容忍限度。

假設(shè)2每位患者的服務(wù)時長的概率密度函數(shù)符合獨立同分布;每位患者的取消預(yù)約率相同,記為d。

假設(shè)3患者排隊順序策略按照ρ進行,ρ小的患者在排序時優(yōu)先度高。

關(guān)于排隊順序ρ的制定,在靜態(tài)系統(tǒng)中,一方面需要盡量維持預(yù)約調(diào)度系統(tǒng)的穩(wěn)定,此時首選“先預(yù)約先服務(wù)”策略(AO);另一方面,希望盡量實現(xiàn)醫(yī)生連續(xù)工作以減少加班,此時首選“先到達先服務(wù)”策略(FCFS)。Deceuninck 等[10]研究發(fā)現(xiàn),最優(yōu)的患者服務(wù)策略范圍在AO 與AOWC 策略之間,其中AOWC 策略是指“選擇等候的患者中預(yù)約時間最小的患者開始服務(wù)”,這意味著當(dāng)前序患者遲到時,允許部分患者的服務(wù)順序早于其預(yù)約順序。在此基礎(chǔ)上,本文提出了介于AO 與AOWC 策略之間的患者排隊服務(wù)規(guī)則,以“先預(yù)約先服務(wù)”策略為基礎(chǔ),僅允許相鄰預(yù)約時間的患者服務(wù)順序更改,兼顧易操作性和醫(yī)生工作的連續(xù)性。

1.2 基于SAA的混合0-1規(guī)劃模型

對于門診預(yù)約系統(tǒng)而言,患者的不守時到達時間、接受服務(wù)時間和是否取消預(yù)約都是隨機因素,可以服從任意的一般分布。SAA 方法可以有效基于情景對上述隨機變量進行建模,并進一步建立預(yù)約系統(tǒng)中醫(yī)生和患者各性能指標(biāo)的遞推模型與服務(wù)隊列的混合0-1規(guī)劃模型。本文以最小化系統(tǒng)總成本為目標(biāo),其中:總成本為加權(quán)的患者平均等待時間和醫(yī)生加班時間;決策變量為患者預(yù)約時間Ai,需要在不確定性因素基于情景抽樣實現(xiàn)之前對其進行優(yōu)化;患者和醫(yī)生之間的分配方案xik,基于情景抽樣和服務(wù)規(guī)則進行決策。建立多醫(yī)生場景下考慮患者不守時到達的混合0-1規(guī)劃模型(UP),即:

模型中:Ω為情景集合;ω表示情景索引,分別為在情景ω下患者i的等待成本系數(shù)、服務(wù)時長、不守時時長、服務(wù)開始時間、等待時間和醫(yī)生k的加班時間;α為醫(yī)生加班成本系數(shù)。式(2)是為保證在每個情景中每位患者只分配給一名醫(yī)生,且所有患者都有其分配的醫(yī)生,對于取消預(yù)約和超時的患者也進行分配。式(3)、(4)是為了確定患者服務(wù)開始時間。約束式(3)是在每個情景中患者開始接受服務(wù)的時間大于或等于患者到達的時間。當(dāng)患者到達時,有醫(yī)生處于空閑狀態(tài),且此患者的前序患者已經(jīng)分配完畢,出現(xiàn)約束兩邊相等的情況。當(dāng)患者到達時,沒有醫(yī)生空閑或即使空閑但此患者前序患者也并未分配醫(yī)生,出現(xiàn)服務(wù)開始時間大于到達時間的情況。式(4)中引入大M和二元變量將if-then邏輯轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃,從而可能利用標(biāo)準(zhǔn)求解器求解。由于∈{0,1},當(dāng)患者i、j分配給同一名醫(yī)生k時,原約束可寫為

即分配給同一名醫(yī)生的任意兩位患者,ρ大的患者服務(wù)開始時間大于或等于ρ小的患者服務(wù)完成時間。當(dāng)兩名患者在此醫(yī)生服務(wù)的患者隊列中是相鄰的,且前序患者服務(wù)完成之后后序患者已經(jīng)到達時,則式(9)兩邊相等。當(dāng)兩名患者雖由同一名醫(yī)生服務(wù)但兩者之間有其他患者,或在前序患者服務(wù)完成之后后序患者并未到達時,導(dǎo)致此醫(yī)生陷入空閑狀態(tài),則會出現(xiàn)式(9)患者j開始服務(wù)時間大于患者i服務(wù)結(jié)束時間的情況。

當(dāng)患者i、j未分配給同一名醫(yī)生時,原約束可寫為

即未分配給同一名醫(yī)生的兩位患者服務(wù)開始時間由于大M的存在可能被松弛。

式(5)保證除前m名患者外,患者i在患者i-1之后開始服務(wù)。在式(4)中未分配給同一名醫(yī)生的兩位患者服務(wù)開始時間是松弛的,式(5)是對患者服務(wù)順序的補充約束。對任意兩位患者,ρ較大的患者服務(wù)開始時間應(yīng)當(dāng)晚于ρ較小患者的服務(wù)開始時間,只需要對ρ大小相鄰的兩位患者服務(wù)開始時間進行約束。多醫(yī)生場景下,前m位患者只要到達便有空閑的醫(yī)生對其服務(wù)。

式(6)中,(x)+在x>0時返回x,在x<0時返回0。1(x)在x>0時返回1,在x<0時返回0。根據(jù)已有研究[11],對于早到患者在預(yù)約時間之前的等待時間,由于與預(yù)約系統(tǒng)決策無關(guān),這部分的等待時間不應(yīng)計入。對于遲到患者,等待時間從其到達之后計入。

式(7)表示在多醫(yī)生條件下,每名醫(yī)生的工作時間可定義為此醫(yī)生服務(wù)的最后一位患者的服務(wù)完成時間,加班時長為服務(wù)完成時間與標(biāo)準(zhǔn)工作時長之間的差值。由于患者分配方案是決策變量,所以醫(yī)生工作時間大于等于其服務(wù)的任意一位患者的服務(wù)完成時間。

對于取消預(yù)約的建模,在情景中取消預(yù)約患者的服務(wù)時間為0,到達時間為相應(yīng)的預(yù)約時間,等待成本系數(shù)為0。

2 優(yōu)化算法設(shè)計

2.1 UP-FU 算法流程

針對UP的0-1和連續(xù)決策變量的求解特征,本文提出面向UP混合0-1規(guī)劃模型優(yōu)化求解的UPFU 算法。UP-FU 算法將模型分解為兩個子問題進行迭代求解。在第1個子問題(記為FCA 子問題)中,患者預(yù)約時間已知,可以針對情景獨立求解,基于服務(wù)交換規(guī)則在已知患者預(yù)約時間的情況下將患者分配給醫(yī)生。在第2個子問題(記為LP子問題)中,患者的分配情況由FCA 子問題求解得到,作為已知輸入,因此,原模型簡化為簡單的線性規(guī)劃問題[9]。UP模型是混合0-1規(guī)劃模型,且基于情景抽樣后模型規(guī)模擴大,不易求解模型的最優(yōu)解。UP-FU 算法的優(yōu)勢在于分解后的兩個子問題都比較容易求解,算法運行速度快,同時也可以兼顧解的質(zhì)量。

FCA 子問題,依賴給定的患者預(yù)約時間序列,輸出在情景抽樣下的最優(yōu)分配方案。分配原則是:以患者預(yù)約時間順序分配,每次分配給最早空閑的醫(yī)生,允許相鄰患者服務(wù)順序交換。子問題的輸入是患者預(yù)約時間Ai,輸出是患者到醫(yī)生分配情況。

LP子問題,在UP 模型中患者-醫(yī)生的分配情況并非變量而是已知的。子問題的輸入是患者到醫(yī)生的分配情況,輸出是患者預(yù)約時間Ai。

UP-FU 算法流程如圖1所示。

圖1 UP-FU 算法流程Fig.1 UP-FU algorithm process

在初始化部分,首先將所有患者的預(yù)約時間A0設(shè)置為0,即患者都在一天開始時到達,上標(biāo)t表示當(dāng)前的迭代次數(shù),得到第1個預(yù)約時間后,通過求解第1個子問題FCA(A0)來構(gòu)造第1個可用的患者到醫(yī)生的分配矩陣X0。

算法的終止條件為:當(dāng)前迭代中得到的分配情況與前一次迭代中的分配情況相同。滿足上述條件可以終止算法并返回當(dāng)前狀態(tài)(Ak,Xk),因為只存在有限數(shù)量的分配情況,所以算法總是終止的。

性質(zhì)總成本目標(biāo)函數(shù)在迭代過程中只會減少或保持不變。

證明考慮在迭代t時,在LP子問題中優(yōu)化預(yù)約時間,使得狀態(tài)(At+1,Xt)的目標(biāo)值總是小于或等于狀態(tài)(At,Xt)的目標(biāo)值。在迭代t+1下的FCA子問題中,得到關(guān)于預(yù)約時間At+1的最優(yōu)患者-醫(yī)生分配情況Xt+1,故狀態(tài)(At+1,Xt+1)具有比狀態(tài)(At+1,Xt)更低(或相等)的目標(biāo)值。因此,根據(jù)傳遞性,狀態(tài)(At+1,Xt+1)小于等于狀態(tài)(At,Xt)。

2.2 UP-FU 算法子問題的設(shè)計與實現(xiàn)

2.2.1 FCA 子問題 對情景集中的每一個情景,初始化患者-醫(yī)生分配矩陣Xt。具體方法為:首先針對患者隊列,按預(yù)約時間順序?qū)颊咧鸫畏峙?尋找最早空閑的醫(yī)生,即在患者Pi的預(yù)約時刻Ai下服務(wù)結(jié)束時間最小的醫(yī)生。然后檢查Pi是否到達,若患者Pi已經(jīng)到達,則將此醫(yī)生的服務(wù)結(jié)束時間更新為分配前醫(yī)生的服務(wù)結(jié)束時間加Pi的服務(wù)時長;若患者Pi未到達,則按預(yù)約序列檢查下一位患者Pi+1。若Pi+1已經(jīng)到達,則將此醫(yī)生的工作時間更新為分配前醫(yī)生的工作時長加Pi+1的服務(wù)時長;若Pi+1未到達,則醫(yī)生陷入等待直至Pi到達。

下面舉例說明,假設(shè)有4位患者,2名醫(yī)生,其預(yù)約時間順序為A1

(1) 若4 位患者均提早到達,且R1

圖2 按預(yù)約時間排序的服務(wù)路線示例Fig.2 Example of service routes sorted by appointment time

(2) 若患者3 遲到、其余患者早到,且R1

圖3 相鄰患者服務(wù)順序互換的服務(wù)路線示例Fig.3 Example of service routes for adjacent patient service sequence exchange

在上述服務(wù)規(guī)則下,醫(yī)生并非嚴(yán)格按照患者預(yù)約順序進行服務(wù),在一定條件下允許預(yù)約時間相鄰患者的服務(wù)順序交換。相鄰患者服務(wù)順序進行交換能夠增大醫(yī)生連續(xù)工作的可能,從而減少醫(yī)生加班。但該規(guī)則只允許相鄰患者間的服務(wù)順序交換,而并非允許任意預(yù)約序列下患者的服務(wù)順序交換,否則服務(wù)策略會變?yōu)椤跋鹊较确?wù)”策略(FCFS),助長患者任意不守時到達。

2.2.2 LP子問題 以FCA 子問題得到的患者-醫(yī)生分配矩陣作為輸入,UP模型的0-1變量作為已知常量被相應(yīng)化簡,UP模型由混合0-1規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型,可以使用標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化求解器進行優(yōu)化決策,輸出患者預(yù)約時間向量。需要注意的是,在FCA 子問題中可能執(zhí)行了順序相鄰患者的服務(wù)順序交換,在LP 子問題的模型求解中需要將模型中索引從預(yù)約順序更新為服務(wù)順序。

對于算法的時間復(fù)雜度,可分為單位計算復(fù)雜度和迭代次數(shù)復(fù)雜度進行考慮。單位計算復(fù)雜度包括FCA 子問題和LP子問題兩項:FCA 子問題是在每個情景中對每名患者逐一分配,若記ω為情景數(shù)量,m為患者數(shù)量,n為醫(yī)生數(shù)量,則循環(huán)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度為O(ωm),最小化成本目標(biāo)的復(fù)雜度為O(n)。按照設(shè)計的策略,算法中存在著患者順序的更改情況,FCA 子問題有兩個分支,總時間復(fù)雜度為O(ωm(m+n))。LP子問題是僅包含連續(xù)變量的線性規(guī)劃問題,可以在多項式時間內(nèi)完成決策。對于迭代次數(shù)復(fù)雜度,模型的可行域內(nèi)只存在有限數(shù)量的醫(yī)生-患者分配方案。

對于空間復(fù)雜度,每增加1個情景,算例占用內(nèi)存以O(shè)(m+n)的數(shù)量級增長。在FCA 子問題中空間復(fù)雜度為O(1),LP 子問題中每增加1 個情景,約束數(shù)量和決策變量數(shù)量按照患者與醫(yī)生數(shù)量線性增加。而在算法迭代過程中只保存當(dāng)前算例狀態(tài)和上次計算后的狀態(tài),空間復(fù)雜度和算例本身占用的內(nèi)存量級相當(dāng),也為O(m+n)。

3 數(shù)值實驗結(jié)果分析

本文的實驗設(shè)計分為兩大部分:首先設(shè)計基本實驗,通過數(shù)值結(jié)果分析不守時因素對門診預(yù)約系統(tǒng)的影響,面向不守時患者最優(yōu)預(yù)約時間和患者對于醫(yī)生分配的特征;接著,測試患者分配與預(yù)約調(diào)度方案在不同環(huán)境因素參數(shù)下的變化趨勢,其中環(huán)境因素包括患者不守時時間的均值、方差,取消預(yù)約概率和患者、醫(yī)生數(shù)量。通過分析上述實驗結(jié)果,本文歸納相應(yīng)的門診預(yù)約系統(tǒng)管理運作規(guī)律,總結(jié)并提出適應(yīng)實踐的管理建議與啟示。

3.1 基本實驗

考慮工作周期的取值T=8[13],某科室2名醫(yī)生出診、服務(wù)20位患者的工作場景,m=2,n=20。在SAA 方法下,取情景數(shù)量為500。對于不確定因素:假設(shè)患者不守時時間服從正態(tài)分布[6],不同患者的不守時行為可能具有較大差異,但總體上傾向于準(zhǔn)時到達,因為患者需要提前報到登記,所以取均值略早于預(yù)約時間來描述患者準(zhǔn)時進入候診隊列,取標(biāo)準(zhǔn)差σu=4,均值μu=-0.5;患者的服務(wù)時間往往具有長尾性,故假設(shè)患者服務(wù)時長服從對數(shù)正態(tài)分布[12],取標(biāo)準(zhǔn)差σs=0.5,均值μs=1。為了以不守時因素作為主要研究對象,避免其他不確定性對結(jié)果分析帶來的影響,在基本實驗中不考慮患者的取消預(yù)約行為,即取消預(yù)約率d=0。醫(yī)生加班成本相對患者等待成本的系數(shù)α=1.2。

表1 所示為優(yōu)化后的患者預(yù)約時間及分配方案。由表1可見,9位患者被分配給醫(yī)生1,11位患者被分配給醫(yī)生2,工作量相對平均。總體上看,患者按預(yù)約順序交錯分配在兩名醫(yī)生之間,在工作周期的中后段會出現(xiàn)預(yù)約順序相鄰的兩個患者分配給同一名醫(yī)生的情況,總體合理。

表1 患者預(yù)約時間表及分配情況Tab.1 Patient appointment schedule and allocation

在預(yù)約時間方面,為更加清晰地觀察預(yù)約時間的變化,本文繪制了預(yù)約時間的間隔變化情況,如圖4所示。其中,橫軸表示第i個間隔,縱軸表示間隔時長xi。在預(yù)約時間間隔圖中,圓形表示連續(xù)兩位患者被分配給相同醫(yī)生,叉形表示連續(xù)兩位患者被分配給不同醫(yī)生。

圖4 最優(yōu)預(yù)約時間間隔Fig.4 Optimal appointment time interval

由圖4可以看出,預(yù)約時間間隔仍遵循“兩端較小、中間平穩(wěn)”的穹頂形,這表示面向不守時到達患者,門診依然在開始和末尾階段對患者的調(diào)度更為集中,在中間階段調(diào)度較為分散。但預(yù)約時間間隔存在類似“Z”形的波動,即預(yù)約間隔交替增大或減小。Zhang等[7]研究兩個手術(shù)的調(diào)度問題,手術(shù)室的調(diào)度呈現(xiàn)“Z”形波動,且波動以手術(shù)室的數(shù)量為一個周期。Pan等[13]對于不守時患者的調(diào)度優(yōu)化方案出現(xiàn)了“Z”形波動,但初始區(qū)塊覆蓋范圍較大,初始區(qū)塊中預(yù)約間隔較小,即對較多的前序患者預(yù)約相對集中,初始區(qū)塊后預(yù)約間隔出現(xiàn)突升,且“Z”形波動幅度較小。而本文結(jié)果中,預(yù)約間隔逐步上升,且其后的波動幅度較大。這是因為FCA 算法在先預(yù)約先服務(wù)的基礎(chǔ)上允許相鄰患者交換服務(wù)順序,預(yù)約間隔波動較大更易于避免相鄰患者交錯順序到達的情況,發(fā)生服務(wù)順序交換的可能性更低,系統(tǒng)中不確定性的影響更小。

表2對比了本文提出的“相鄰患者服務(wù)順序互換”(記為NPSA)規(guī)則與AO 規(guī)則下的系統(tǒng)性能表現(xiàn),測試指標(biāo)包括預(yù)約系統(tǒng)總成本、患者總等待時間、第2位和末位患者等待時間以及每名醫(yī)生的加班時間。由表2 可見,在患者不守時到達場景下,允許交換相鄰患者服務(wù)順序規(guī)則可以有效降低門診的總成本。盡管對于AO 的“先到先服務(wù)”規(guī)則,開始階段患者的等待時間較短,但由于不守時行為造成不確定性的逐漸積累,在工作周期末段,最后一位患者的等待時間與NPSA 規(guī)則相比明顯地更長,門診基于相鄰患者預(yù)約和到達順序?qū)颊叻?wù)規(guī)則有序管理,可以較為顯著地減少患者的總等待時間,優(yōu)于完全按照到達順序的“先到先服務(wù)”規(guī)則,兩名醫(yī)生的加班時間也相應(yīng)減少,工作周期內(nèi)效率更高。

表2 NPSA策略與AO策略下的性能Tab.2 Performance under NPSA and AO strategies

實驗結(jié)果的穩(wěn)定性和實驗的求解效率與抽取的情景數(shù)量直接相關(guān),因此,本文進一步測試了情景數(shù)量和運行時間、預(yù)約時間間隔方差值之間的關(guān)系。圖5所示為情景數(shù)量與運行時間的關(guān)系,建立了回歸模型并繪制回歸線,回歸模型顯示,情景數(shù)量與運行時間符合線性關(guān)系。結(jié)合數(shù)值實驗測試發(fā)現(xiàn),情景數(shù)量每增加50個,運行時間大致增長1 s。

圖5 情景數(shù)量與運行時間的關(guān)系Fig.5 The relationship between the number of scenarios and the running time

本文進一步繪制了預(yù)約時間間隔的方差與情景數(shù)量的關(guān)系圖,測試模型最優(yōu)解的穩(wěn)定性。圖6顯示,情景數(shù)量增加至100組時,最優(yōu)解的方差數(shù)值迅速下降,穩(wěn)定性快速提升。隨著樣本數(shù)量的增大,方差進一步減小,當(dāng)樣本數(shù)量到達500組后,最優(yōu)解的方差數(shù)值逐漸趨近于0,并且隨著樣本數(shù)量的增加也幾乎不再變化。但如圖5所示,運行時間則是隨情景數(shù)量線性增加,情景數(shù)量取值越大,越接近現(xiàn)實情況,結(jié)果更穩(wěn)定,但求解時間也在上升。因此,綜合考量計算結(jié)果的穩(wěn)定性和運算時間,選取情景數(shù)量為500。

圖6 預(yù)約時間間隔的方差與情景數(shù)量的關(guān)系Fig.6 The relationship between the variance of appointment time interval and the number of scenarios

3.2 環(huán)境因素變化對預(yù)約分配和調(diào)度方案的影響

本節(jié)數(shù)值實驗采用控制變量法,當(dāng)某一項環(huán)境因素參數(shù)變化時,其他環(huán)境因素參數(shù)設(shè)置保持與基本實驗中相同。

3.2.1 不守時時間的均值、標(biāo)準(zhǔn)差 患者不守時時間的均值反映患者不守時行為的總體習(xí)慣,標(biāo)準(zhǔn)差反映不同患者不守時到達時間的差異程度,由于患者不守時行為可能受季節(jié)或門診地點的影響而具有較大差異[6],所以有必要對不同不守時行為參數(shù)下的門診預(yù)約系統(tǒng)性能進行測試。對于患者不守時行為的總體習(xí)慣,在一般情況下,患者更趨向于早到[10]。實驗設(shè)計4 種場景,取不守時分布的均值μu=-4,-2,-0.5,3,分別表示患者總體習(xí)慣于特別早到、一般早到、準(zhǔn)時和遲到場景,患者預(yù)約分配和調(diào)度結(jié)果如圖7所示。其中,橫軸表示第i個預(yù)約間隔,縱軸表示間隔時長xi。

圖7 患者不守時均值對預(yù)約分配和調(diào)度的影響Fig.7 The impact of mean of patient unpunctuality on appointment allocation and scheduling

由圖7可以看出,預(yù)約時間間隔總體仍呈現(xiàn)穹頂形和“Z”形波動。4組場景相比較,最為明顯變化是隨著μu的增大,安排在起始預(yù)約的患者數(shù)量逐漸增多,患者的預(yù)約調(diào)度規(guī)則[14]從“單批量/可變間隔”變?yōu)椤捌鹗紩r段多批量/其他單批量/可變間隔”。這主要是因為當(dāng)患者傾向于晚到時,門診希望通過將預(yù)約時間盡量提前來減少醫(yī)生的不必要空閑,從而減少加班時間;而如果患者習(xí)慣于特別早到,在μu=-4時首個預(yù)約間隔約為0.3,門診延遲預(yù)約時間換取更少的患者等待時間。同時,隨著μu的增大,預(yù)約時間間隔整體在減小,即患者安排得更加集中,可以理解為患者的遲到不僅容易打亂服務(wù)順序,而且會造成更多的醫(yī)生空閑,為減少加班可能,對預(yù)約時間間隔進行收緊。對此,在日常管理實踐中,對于患者遲到傾向嚴(yán)重的科室或醫(yī)院門診,管理者應(yīng)該將預(yù)約時間在初始階段安排得更加緊密,也可進一步根據(jù)患者到達習(xí)慣劃分患者類別,對早到、遲到患者進行分類管理。

對于不守時時間標(biāo)準(zhǔn)差,本文設(shè)計4種場景,取不守時分布σu=1,3,4,6,分別表示患者不守時行為波動小、一般、高和強場景,患者預(yù)約分配和調(diào)度結(jié)果如圖8所示。其中,橫軸表示第i個預(yù)約間隔,縱軸表示間隔時長xi。

圖8 患者不守時標(biāo)準(zhǔn)差對預(yù)約分配和調(diào)度的影響Fig.8 The impact of standard deviation of patient unpunctuality on appointment allocation and scheduling

圖8顯示,患者不守時標(biāo)準(zhǔn)差變化未影響預(yù)約時間間隔的穹頂形和“Z”形波動特征,預(yù)約調(diào)度規(guī)則“起始時段多批量/其他單批量/可變間隔”。總體而言,標(biāo)準(zhǔn)差越大,預(yù)約間隔的“Z”形波動越明顯,在患者不守時行為波動小的場景下(σu=1),相鄰患者間的預(yù)約時間間隔相對固定,且相鄰患者交替分配給不同醫(yī)生;而在患者不守時行為波動強的場景下(σu=6),預(yù)約間隔長度的變化劇烈,且多為將患者連續(xù)分配給同一名醫(yī)生。這主要是由于隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大,患者到達的分散程度提升,需要統(tǒng)一分配連續(xù)多個患者,通過實際排隊過程中相鄰患者服務(wù)順序互換來減少醫(yī)生空閑,降低到達不確定性的負面影響。隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大,患者被安排得相對更加集中,但預(yù)約時間的壓縮調(diào)整幅度未受不守時均值的影響明顯。也就是說,與患者不守時到達差異性程度變化相比,門診更應(yīng)該在面向患者不守時傾向性變化時,調(diào)整患者預(yù)約時間的緊密程度;而當(dāng)患者不守時到達行為差異性程度變化時,門診更應(yīng)該調(diào)整患者對于醫(yī)生的分配方案。

3.2.2 取消預(yù)約概率 在實際生活中,患者取消預(yù)約的情況受多種因素影響,如預(yù)約平臺、星期、提前期等,通常患者取消預(yù)約率約為27.78%[14]。本文假設(shè)取消預(yù)約概率在預(yù)約調(diào)度優(yōu)化前是已知的,可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。實驗測試取消預(yù)約率取值為0%、10%、50%和90%,數(shù)值結(jié)果如圖9所示。其中,橫軸表示第i個預(yù)約時間間隔,縱軸表示預(yù)約時間時長xi。

圖9 患者取消預(yù)約率對預(yù)約分配和調(diào)度的影響Fig.9 The impact of patient cancellation rate on appointment allocation and scheduling

由圖9可以看出,隨著取消預(yù)約率的上升,穹頂形預(yù)約時間特征變得愈加不明顯,但“Z”形波動的峰值數(shù)量在減少。取消預(yù)約率的升高帶來預(yù)約時間間隔整體的減小,安排在初始階段的患者數(shù)量增多。這是由于在初始化時,對取消預(yù)約患者的處理方式是將服務(wù)時間設(shè)為0,但考慮其參與服務(wù)分配,為減少醫(yī)生空閑,優(yōu)化調(diào)度方案會將后一位患者與取消預(yù)約的患者分配給同一名醫(yī)生,進而使得預(yù)約時間更加相近,多位患者連續(xù)分配給同一名醫(yī)生的情況也在增加。當(dāng)取消預(yù)約率超過50%,與不守時因素相比,取消預(yù)約因素已成為主要不確定因素。對此,管理者應(yīng)當(dāng)在運用實踐中及時檢測取消預(yù)約患者數(shù)量和概率變化趨勢,根據(jù)取消預(yù)約率的變化,適當(dāng)增減醫(yī)生數(shù)量。

3.2.3 工作周期長度 在現(xiàn)實中,由于門診級別、醫(yī)生資質(zhì)的不同,可能對應(yīng)著不同的出診時間和工作周期長度T。在模型中,T與醫(yī)生的空閑和加班時間直接相關(guān),也間接地影響了最優(yōu)預(yù)約時間間隔的決策,改變了不守時患者間服務(wù)順序的判斷,進而影響排隊順序ρ的制定。本文設(shè)計實驗測試T分別為6、8、10和12,表示門診的工作周期由短至長,由基本實驗中75%的開診時長變化至150%的開診時長。數(shù)值結(jié)果如圖10所示。其中,橫軸表示第i個預(yù)約時間間隔,縱軸表示預(yù)約時間時長xi。

圖10 工作周期長度對預(yù)約分配和調(diào)度的影響Fig.10 The impact of work session length on appointment allocation and scheduling

由圖10可見,T的變化對于預(yù)約時間間隔的形狀和分配并沒有明顯影響,預(yù)約時間間隔總體呈穹頂形和“Z”形波動。若患者交替分配給不同醫(yī)生,則預(yù)約間隔在0.8～1.5之間較為規(guī)律波動;若連續(xù)將患者分配給同一名醫(yī)生,則預(yù)約時間間隔相對更長,與基本實驗一致。預(yù)約時間間隔不隨T的變化呈明顯變化,這一結(jié)果說明,“相鄰患者服務(wù)順序互換”規(guī)則可以較好地處理患者不守時因素帶來的負面影響,具有一定的緩沖性,不需要較大幅度調(diào)節(jié)預(yù)約時間間隔便可以穩(wěn)定地應(yīng)對T的變化,很好地平衡了患者的等待時間,不會造成由于患者不守時行為而導(dǎo)致患者過于堆積、醫(yī)生過于空閑,使得醫(yī)生的工作強度較為平穩(wěn)。對于現(xiàn)實存在患者不守時行為的門診預(yù)約系統(tǒng),T的變化不會加重不守時因素對系統(tǒng)的負面影響,管理者可以較為從容地面對工作周期長度變化。

3.2.4 醫(yī)生、患者數(shù)量 實際生活中常見的是多醫(yī)生環(huán)境,多醫(yī)生之間共享一個患者隊列,如康復(fù)門診等,本文調(diào)節(jié)醫(yī)生數(shù)量m=1,3來觀察預(yù)約分配和調(diào)度方案的變化情況。為確保醫(yī)生-患者工作量之間的合理比較,患者數(shù)量相應(yīng)隨醫(yī)生數(shù)量取值而變化,比例為1名醫(yī)生對應(yīng)10位患者。

隨著患者和醫(yī)生數(shù)量的增加,程序的運行求解時間逐漸增長,但對于3 名醫(yī)生場景仍可以在1 min內(nèi)解出優(yōu)化方案。由圖11 可以看出,有3名醫(yī)生時,門診安排前3 位患者在初始時刻,恰好符合UP模型約束3,即在初始時刻為每個服務(wù)臺調(diào)度1位患者。3 名醫(yī)生場景下預(yù)約間隔仍呈現(xiàn)“Z”形波動特征,由于每名醫(yī)生的平均工作量沒有改變,每名醫(yī)生被分配的患者數(shù)目同樣大致相等,最優(yōu)預(yù)約時間間隔的平均值和基本實驗中20位患者、2 名醫(yī)生場景的數(shù)值基本一致。對于單醫(yī)生場景,預(yù)約間隔幾乎沒有“Z”形波動,只呈現(xiàn)穹頂形狀特征,由于允許不守時患者間進行服務(wù)順序交換,故在中間序列(第4 和第5 名患者)的預(yù)約間隔出現(xiàn)小幅下降,在服務(wù)周期中部通過服務(wù)順序交換規(guī)則,平衡前后兩部分工作量作為緩沖,以減少由于過長預(yù)約間隔出現(xiàn)的醫(yī)生空閑,即面向不守時患者考慮服務(wù)交換規(guī)則場景下,預(yù)約間隔呈“雙穹頂”形特征。

圖11 醫(yī)生患者數(shù)量對預(yù)約分配和調(diào)度的影響Fig.11 Thei mpact oft he number of doctors and patients on appointment allocation and scheduling

4 結(jié)語

本文以不守時因素作為研究對象,在多醫(yī)生場景下優(yōu)化患者的預(yù)約分配與調(diào)度方案。針對不守時患者實際到達順序與預(yù)約順序不一致造成的多服務(wù)臺候診隊列患者服務(wù)的亂序問題,為兼顧AO 策略的系統(tǒng)穩(wěn)定性和AOWC 策略的醫(yī)生工作連續(xù)性,提出了介于AO 與AOWC 策略之間的患者排隊服務(wù)規(guī)則,以“先預(yù)約先服務(wù)”策略為基礎(chǔ),允許相鄰預(yù)約時間的兩位患者服務(wù)順序互換的服務(wù)策略。本文建立了基于SAA 的混合0-1規(guī)劃模型UP,針對情景抽樣后模型規(guī)模擴大、不易求解的難點,設(shè)計了UP-FU 算法,將模型分解為FCA 和UP 兩個子問題進行迭代求解,有效提升了模型求解效率。對于FCA 子問題,在已知患者預(yù)約時間的情況下,基于情景和服務(wù)順序交換規(guī)則,決策患者-醫(yī)生分配方案。對于LP子問題,由FCA 子問題得到的患者分配方案作為已知輸入,原模型簡化為簡單的線性規(guī)劃問題,優(yōu)化患者預(yù)約調(diào)度時間。在此基礎(chǔ)上,本文證明了算法的收斂性和成本目標(biāo)在迭代過程中的遞減性。

本文設(shè)計了一系列實驗分析患者預(yù)約分配與調(diào)度方案受不同環(huán)境因素變化的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn),對于面向不守時患者的多醫(yī)生預(yù)約調(diào)度系統(tǒng),最優(yōu)預(yù)約時間間隔仍呈現(xiàn)穹頂形和“Z”形波動等特征,但預(yù)約間隔波動更大。隨著患者不守時均值(傾向于遲到)和標(biāo)準(zhǔn)差的增大(到達差異性增大)以及取消預(yù)約概率的增加,預(yù)約間隔的波動性更強、預(yù)約時間總體更緊密,門診將連續(xù)多位患者分配給同一名醫(yī)生而不是交替分配給不同醫(yī)生。當(dāng)患者整體傾向于遲到時,預(yù)約調(diào)度規(guī)則從“單批量/可變間隔”變?yōu)椤捌鹗紩r段多批量/其他單批量/可變間隔”。由于患者不守時出現(xiàn)的服務(wù)順序交換,對于單醫(yī)生預(yù)約系統(tǒng)的預(yù)約間隔呈現(xiàn)“雙穹頂”形特征。研究成果顯示,有必要在預(yù)約優(yōu)化時考慮患者的不守時因素,預(yù)約分配與調(diào)度方案在面向不同的患者不守時特征下,需要對預(yù)約規(guī)則和預(yù)約時間等方面有較大的針對性調(diào)整。在門診的管理實踐中,需要注意收集、統(tǒng)計并分析不同科室、患病類型及醫(yī)生團隊的患者不守時到達時間的均值、方差和概率分布等,基于不守時時間對患者進行相應(yīng)的分類管理,及時調(diào)整和優(yōu)化不守時患者的預(yù)約分配與調(diào)度方案。

本文為多醫(yī)生場景下面向不守時患者的預(yù)約分配與調(diào)度優(yōu)化提供了理論支撐,為門診管理者的日常運營實踐給出了決策建議,對于門診科學(xué)預(yù)約管理有一定的幫助效果。