基于數學建模思想的貝葉斯公式教學方法研討

馬德宜 柳福祥 崔盛

【摘要】《概率論與數理統計》是幾乎所有大學生都需要學的一門課程，貝葉斯公式是《概率論與數理統計》中的重要公式之一.文章由貝葉斯公式的實際應用題出發，首先，基于貝葉斯理論給出解答過程；其次，基于數學建模的思想，對題目進行拓展，分析貝葉斯公式與次品率之間的關系，得到該次品來自甲車間生產的可能性隨著甲車間的次品率的增大而增大的結論，分析貝葉斯公式與占有率之間的關系，得到當甲車間的產品占全廠的比例在區間[0.2，0. 5]時該次品來自丙車間生產的可能性最小的結論；最后，通過源碼和圖形仿真驗證結論.

【關鍵詞】貝葉斯公式；數學建模；仿真驗證

【基金項目】高等學校大學數學教學研究與發展中心2021年教學改革項目（CMC20210504）

國內外已有許多學者從不同角度對與貝葉斯公式相關的教學進行了研究，比如在線課程設計、課程思政、數學建模、后驗分布、統計推斷等.雖然貝葉斯的相關知識在教材上有許多例題，但是大部分都是以貝葉斯公式為基礎進行求解的.文章將以貝葉斯公式為基礎，對應用問題進行拓展，考慮各種極值情況，最后再用Matlab進行仿真，并以圖形可視化形式展現最后結果，讓貝葉斯公式更加通俗易懂.

一、貝葉斯公式

由此可見，該產品由甲車間生產的可能性最大.

三、貝葉斯公式與次品率之間的關系

對于上述例1，基于數學建模的思想進一步討論下面這個問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的次品率下降到多少時該次品來自甲車間生產的可能性不是最大？

以0.001為步長，將甲車間的次品率從0逐步遞增到0.5，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產的可能性與甲車間次品率之間的關系.

數學建模仿真結果和數學公式分析結果相一致，從兩種不同角度分析貝葉斯公式，讓學生更加清晰地認識貝葉斯公式.

四、貝葉斯公式與占有率之間的關系

（一）丙占有率為20%

對于例1，基于數學建模的思想進一步討論下面這個問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的產量占全廠多少時該次品來自甲車間生產的可能性不是最大？

以0.01為步長，固定丙車間的產量占比為20%，將甲車間的產量占比從0.05逐步遞增到0.75，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產的可能性與甲車間產品占比之間的關系.

可以發現，當甲車間的產品占全廠的比例大于0.267時該次品來自甲車間生產的可能性最大；當甲車間的產品占全廠的比例小于0.267時該次品來自乙車間生產的可能性最大；當甲車間的產品占全廠的比例在[0.25，0.30]之間時該次品來自丙車間生產的可能性最小.

數學建模仿真結果和數學公式分析結果相一致.數學建模給出了直觀圖形，數學公式給出了理論推理，讓學生從多角度思考貝葉斯公式.

（二）丙占有率為40%

對于例1，基于數學建模的思想進一步討論下面這個問題.在其他條件不變的情況下，甲車間的產量占全廠多少時該次品來自甲車間生產的可能性不是最大？

以0.01為步長，固定丙車間的產量占比為40%，將甲車間的產量占比從0.05逐步遞增到0.55，繪制該次品來自甲、乙和丙車間生產的可能性與甲車間產品占比之間的關系.

可以發現，當甲車間的產品占全廠的比例大于0.5時該次品來自甲車間生產的可能性最大；當甲車間的產品占全廠的比例小于0.2時該次品來自甲車間生產的可能性最小；當甲車間的產品占全廠的比例在[0.2，0.5]之間時該次品來自乙車間生產的可能性最小.

五、小 結

基于貝葉斯求解的應用題有許多，比如：

例2 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設男人和女人各占人數的一半）？

例3 按以往概率論考試結果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據調查，學生中有80%的人是努力學習的，問考試及格的學生是不努力學習的人的概率？

這種類似例題，都可以仿照本文方法進行拓展，然后進行仿真，讓學生更加生動形象地理解貝葉斯公式的含義.

【參考文獻】

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