立足整體建構　凸顯數學本質

王蜜　卜驥

［摘 要］數學概念是數學知識的基礎。概念教學前，教師不僅要圍繞舊知建構概念，還要順應學情教學。以“小數的意義”教學為例，利用概念本質設計學案讓學生練習，讓學生在已有知識經驗上自主探索，弄清知識之間的聯系，慢慢接近概念本質。

［關鍵詞］整體建構；概念教學；小數的意義

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0075-03

數學教師要上好數學課，就要“吃透”教材，用“高位”的視角理解教材，知道所教知識的“前情”和“后續”，具有整體眼光、邏輯體系和結構思維，才能了解所教知識的“數學本質”。小學生正處于認知結構發展的初期，需要直觀顯性的學習內容來增加學生的感性認識。因此，教師要在整體把握教材的基礎上巧設學習情境和問題，讓學生有更多的機會去經歷和感受，著力體現知識的關聯性，使學生在充分的探究活動中感悟概念本質，主動獲取數學知識。下面以蘇教版教材五年級上冊“小數的意義”一課的教學為例，結合課堂教學談一談筆者的思考和主張。

一、溯源遷移——基于元認知設計概念生長基點

在設計這節課前，筆者將小學階段“數的認識”內容進行了整理（如圖1）。學生在前期的學習中已經理解了整數、分數的意義，初步認識了小數，在生活中也經常用小數來表示一些數，但對小數的意義還沒有深刻的理解，要讓學生深刻理解小數的價值及意義，概念的建構過程尤為重要。教師需要借助學生已有的知識經驗，緊抓小數與整數、分數之間的關系，從數的本源性出發，讓學生在學習過程中感悟數的統一性。顯然，將小數置于生活化的情境中有助于激發學生探究的興趣。筆者以學生身邊的跳高比賽創設情境。

【教學片段1】巧設情境，激發興趣

師：同學們喜歡運動嗎？喜歡什么項目？（出示跳高圖片）這是跳高比賽，跳得越高說明成績越好。我們來看看某次比賽的成績。

師（出示比賽第一名和第三名的跳高成績）：認識這兩個數嗎？這是我們三年級學習的小數，讀一讀。

生1：一點四，一點三。

師：李珊是第二名，猜一猜，她的成績是多少？

（學生猜1.35米、1.36米等）

師（出示李珊成績：1.38米）：這個小數和之前的兩個小數有什么不同？

生2：之前的兩個小數的小數點后面有一個數字，這個小數的小數點后面有兩個數字。

師：像這樣，小數部分有兩位的小數叫兩位小數，你會讀這個兩位小數嗎？一起讀一讀。

生（齊）：一點三八。

師：是的，整數部分按照整數的讀法，小數部分要一位一位地讀出來。小數部分有一位的小數叫什么？

生3：一位小數。

師：既然有一位小數、兩位小數，還會有什么？

生4：三位小數、四位小數……

師（出示1.030）：你會讀這個小數嗎？

……

師：所有的小數都是整數部分按整數的讀法，小數部分要一位一位地讀。會讀小數了，那它表示什么意義呢？我們今天這節課就來研究小數的意義。

從現實情境引入概念有兩個目的。第一是將數學問題置于生活情境中，讓學生在熟悉的情境中產生探究小數意義的需求。第二是基于這個情境的特殊性讓學生感受到小數產生的必要性。因為用整數來表示生活里的一些數量時，往往不能滿足現實需求，所以產生了小數，而當一位小數也不足以解決問題時，便要用兩位小數。情境中，第二名的成績介于1.3米和1.4米之間，再根據跳高測量數據一般可能會是一個兩位小數的現實性，這樣從實際生活入手，有助于學生發現問題，激發學生探索動力。

二、順學而教——設計學案引導學生觸摸概念表象

小學教材的編排有著循序漸進、由易到難的特點。從數的組成來看，小數和整數一樣，都是基于計數單位建構的，是十進制的反向延伸。因此教師在建構小數的意義概念時，應抓住它和整數、分數的關系，基于學生已有的知識經驗，讓學生在“數學化”的活動中建構概念。

【教學片段2】類比遷移，感知本質

師：以前學習了1米、10米和100米之間的關系，那你知道1米和1分米有什么關系嗎？可以借助米尺和同學交流。請拿出練習紙，根據學案一的要求自主探索。

學案一：

（1）分一分。拿出米尺，試著將1米平均分成10份，找到1分米。

（2）想一想。1米和1分米有什么關系？你是怎么想的？

（3）說一說。和同學說一說你的想法。

生1：1米里有10個1分米，也就是把10個1分米加在一起，滿十進1，進1后是1米。0.1米的“0”在個位上，表示 0米，“1”在比個位低的那一位上，為了區分，用小數點隔開，因此1分米就是0.1米。

師：你聯想到了學過的十進制計數法的進位原理，找到了一個新的數位。

師：確實如大家所說，1米=10分米，把 1米平均

生2：3分米是0.3米，8分米是0.8米，道理是一樣的。

師：請根據學案二的要求自主探究。

學案二：

（1）你還想將1米平均分成多少份？

（2）1米和1厘米、1毫米有什么關系？

（3）12厘米是多少米？

生3：將1米平均分成100份，此時已經不滿0.1米了，所以“1”要再往下寫一個數位，每一份就是0.01米，也就是1厘米。

師：剛才我們把1米平均分成了10份、100份，還能再分嗎？

生4：可以，把1米平均分成1000份。

……

本課的教學重點是讓學生理解小數的意義。引出新知之前，筆者首先利用學案指導學生自主探究1米和1分米的關系。通過思考與交流，學生初步感悟了十分之幾的分數與一位小數之間的聯系；接著讓學生探討1米與1厘米、1米與1毫米關系，學生通過將舊知類比遷移，主動思考、合作交流，開始研究性學習：將1米不斷地細分，依次得到了兩位小數、三位小數。在這過程中，學生能深刻體會到小數表示數量的合理性，也不難發現小數和整數一樣，都有著“十進制”關系，從整體上感知用小數表示數與用整數、分數表示數方法上的一致性。

三、聚焦本質——在抽象比較中深化概念建構

在蘇教版教材體系中，小數的認識在分數的認識之后，因此學習此課前，學生對于分數的意義已經有所了解。對此，教學小數的意義本質時，可以讓分數作為學生理解小數意義的橋梁。

【教學片段3】抽象概括，觸及本質

師（出示不帶單位的分數和小數）：比較這些分數與小數，你有什么發現？

生1：有的分母是10，有的分母是100、1000。小數也是，有的是一位小數，有的是兩位小數，還有的是三位小數。

師：這些分數和小數之間有什么聯系嗎？

生2：分母是10的分數，可以寫成一位小數；分母是100的分數，可以寫成兩位小數；分母是1000的分數，可以寫成三位小數。

師：說得很好，這些分數都可以寫成小數。那一位小數表示什么？

生3：表示十分之幾。

師：兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾，四位小數、五位小數呢？

……

從具體到抽象，是通向數學本質的必經之路。從情境中得到的一個個具有實際意義的分數和小數，分離它們量的屬性，它們就成了一個個的數。學生先在觀察、比較、發現的過程中，發現這些分數都是十分之幾、百分之幾、千分之幾，而這些小數都是一位小數、兩位小數、三位小數；再通過比較一位小數和十分之幾的分數的關系，就能歸納出一位小數的意義。學生在概括中逐步剔除了小數的非本質屬性，感受到其“十進制數”的本質，在此基礎上，繼續遷移、類比發現兩位、三位小數表示的是百分之幾、千分之幾，甚至四位、五位小數……表示的是萬分之幾、十萬分之幾……順利地從直觀思維過渡到抽象思維。

四、練習固學——再度利用研探內化概念本質

建構數學模型是學習數學的重要方法，更是一種思想。而多式、變化、有趣的練習形式，既能激活學生所學知識，又能助力學生建構基本的數學模型。

【教學片段4】變式練習，回歸本質

師（出示數軸）：如果把數軸上“0～1”這一段平均分成10份，每一份是多少？

生1：0.1。

師：你能在數軸上找到零點幾的小數嗎？想一想，如果把1～2這一段也平均分成10份，在數軸上又可以找到幾點幾的小數？

生2：1.1～1.9。

師：看來，一點幾的小數都在1～2之間。你們找到的怎么都是一位小數？

生3：因為都是把“1”平均分成了10份。

師：只要把“1”平均分成10份，其中的幾份表示十分之幾，都可以寫成一位小數。

師：如果把0～0.1這一段繼續分成10份，每一份又是多少？為什么？

生4：0.01，相當于把“1”平均分成100份。

師：只要把“1”平均分成100份，其中的幾份表示百分之幾，都可以寫成兩位小數。

師：想一想，如果把0～0.01這一段繼續分成10份，每一份又是多少？

生5：0.001。

師：把“1”平均分成1000份，其中的幾份表示千分之幾，都可以寫成三位小數。

師（出示3個小數：0.9、0.09、0.009）：讀一讀這3個小數，并在數軸上找到它們對應的位置。它們分別表示幾分之幾呢？為什么都有“9”，但表示的分數和小數都不同？

生6：分數和小數的意義不同。

師：是的，將“1”平均分的份數不同，表示的小數的意義是不同的。

在學生不斷感受細分數軸的過程中，數軸充分發揮“模型圖”的作用，幫助學生建立數學模型，使學生看到0.1、0.01、0.001馬上能想到其對應的模型圖。

五、順逆互動——通過逆向思維助力學生建構

針對所學知識進行歸納和反思，適時“回頭望”，多逆向思考，多反思學習過程，是提升學習品質的一種好辦法。在課后總結回顧時，教師可以先從“1”出發，通過均分產生的0.1、0.01、0.001等，幫助學生建立小數部分相應的數概念體系；然后從“0.001”出發，10 個0.001是0.01，10個0.01是0.1，10個0.1是1，10個1是 10，10 個 10 是 100……學生進一步感知“不管是整數部分，還是小數部分，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十”，從整數數系擴充至有理數數系，為后續進一步探究小數積累認知經驗。

概念的學習，其最終目的不是為了記住定義，而是要理解概念的本質。不同的認知過程會形成不同的理解水平，若是單純教學定義，其認知過程主要是模仿、記憶、強化，只能達成“工具性理解”；若突出數學知識之間的本質聯系，其認知過程則重在經歷、感知、體驗，就會形成“關系性理解”。小數產生于實際生產和生活的度量，當量不足或有盈余時，用整數就無法表示了，原來的整數模型就成了束縛思維的“牢籠”，新方案應需而生，因此衍生出了小數。對此，教師要引導學生在認識、理解小數的意義后，把獲得的經驗、知識、方法應用于本質相同的數學問題中，這樣便可以簡化思考過程，提高解決問題的效率，提升思維的深刻性、敏捷性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 梅婭.整體意義關聯的教學理解與設計：以“小數的意義”的教學為例[J].教學月刊小學版（數學），2022（6）：43-47.

[2] 張優幼.指向認知結構生長的大單元教學[J].教學與管理，2019（26）：31-33.

[3] 萬兆榮.結構關聯 意義融通：“小數的意義”教學實踐與反思[J].小學數學教育，2020（18）：48-50.