圖解與雙曲線有關的區域問題*

江蘇省張家港市外國語學校 (215600) 何 威 魏 丹

一、問題提出

圓是完美的圖形,學生容易理解圓的有關區域問題,如圓分整個平面為三個部分:圓上、圓內、圓外;再如從平面內一點P做圓的切線的情況:當P在圓內時,0條;當P在圓上時,1條;當P在圓外時,2條.這一結論可類比推理,在橢圓、拋物線中得到十分類似的結論.然而到了雙曲線,情況就復雜多了,這一部分是學生理解和識記的難點.相比于圓與橢圓,雙曲線的圖象一方面是由分開的左、右支構成的,另一方面雙曲線有漸近線,這些特性使得需要分類討論的情況更多.

為了幫助學生厘清與雙曲線有關的區域問題,筆者在教學中用圖解的方式,讓學生從形感知,從數推理,在知識之間構建整體的聯系,借助直觀化策略提升學生的推理與想象能力,加深對雙曲線區域問題的理解與記憶.

二、圖解區域問題

2.1 雙曲線分平面的不同區域

類比點與橢圓的位置關系,點與雙曲線的位置關系如何刻畫?

圖1

圖2

實際上,區域Ⅰ稱之為雙曲線的內部,區域Ⅱ稱之為雙曲線的外部.

2.2 雙曲線中點弦存在的區域

問題2 中點弦是圓錐曲線中的重要性質,雙曲線的中點弦什么時候存在?

二是用層級式的學習，用與優秀人員之間的差距，讓阿姨從急功近利式的節奏中慢下來，幫助她們認真充電，做好儲備。

結論2 (如圖3)①若點P在雙曲線上,或漸近線上,或在區域Ⅲ時,Δ≤0,此時中點弦不存在.

圖3

②若點P在雙曲線的區域Ⅰ與區域Ⅱ時,Δ>0,此時中點弦存在.

2.3 雙曲線的切線條數的區域

問題3 類比直線與橢圓中的研究方法,過一點可作幾條雙曲線的切線?

以下先來研究(*)式解的情況,同時注意結合斜率不存在時可能存在切線的情況,結論如下:

(1)當x0=±a,y0=0時,(*)式無解,此時還有一條平行于y軸的切線.

(2)當x0=±a,y0≠0且y0≠±b時,(*)式有唯一解,此時有兩條切線,其中一條平行于y軸.

綜上所述,由定點所確定的切線條數的區域如下.

結論3 (如圖3)①若P在原點O處,或在雙曲線內(區域Ⅰ),可作0條切線;②若P在漸近線上(除O外),或在雙曲線上,可作1條切線;③若P在雙曲線外且不在漸近線上(區域Ⅱ,Ⅲ),可作2條切線.

2.4 與雙曲線有唯一公共點的區域

問題4 過點P作與雙曲線有唯一公共點的直線有幾條?

注意到當直線與雙曲線只有一個公共點時,有兩種情況:相交(直線與漸近線平行時)或相切.在問題3中已經研究了切線條數的情況,只需研究與漸近線平行的相交直線的條數即可.

當點P在原點O處,有0條與漸近線平行的相交直線;當點P在漸近線上(除O外),可作1條與漸近線平行的相交直線;當點P在雙曲線上,或在區域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,可作2條與漸近線平行的相交直線.

此時再加上問題3中相切的條數,歸納得如下情況(如圖3):

結論4 ①若P同時在原點O處,可作0條;②若點P在雙曲線內(區域Ⅰ),或在漸近線上(除O外),可作2條;(在雙曲線內,此時兩條均相交;在漸近線上(除O外),一條相切一條相交).③若點P在雙曲線上,可作3條,一條相切,兩條相交.④若點P在雙曲線外的區域Ⅱ與區域Ⅲ,有4條,兩條相切,兩條相交.

三、教學反思

在中學數學的學習過程中,抽象思維的要求越來越高,教學時需尊重學生認知思維的發展規律,設置必要的思維梯度.整體看待單元知識,并對單元知識結構進行重組,呈現出環環相扣、層層遞進的邏輯鏈結構,培養由簡至繁的思維習慣.例如區域問題的4個層次,從最簡單的點與曲線的位置,到中點弦存在區域、再到切線條數區域和唯一公共點區域,情況逐漸復雜,邏輯依次遞進,加強了知識之間的內在聯系.

此外,借助直觀化的方法可適當減輕學生思維的抽象性負擔,破解學生的心理障礙.形象思維是人們發現、掌握事物本質的初始能力,數學知識本身就具有豐富的表象.而高中數學的抽象復雜是很多學生比較畏懼的,可借助多感官參與,給學生聯想、想象的空間,讓形象思維與抽象思維相得益彰.