利用函數的凹凸性探究切線問題

廣東省佛山市羅定邦中學 (528300) 代建云

對于一個函數而言,切線的本質是割線的極限形式.函數在某點處存在切線的前提是在此處可導,因為導數的唯一性,所以函數在任意一點處的切線也具有唯一性.而在平面內過一點作函數的切線,在一般情況下卻不止一條.2021年新課標1卷第7題就考察了指數函數的切線條數,在此之后,在各地的模擬試題中涌現出了一系列關于切線條數的問題.

一、試題及分析

例1 (2021年新課標Ⅰ卷第7題)若過點(a,b)可以做曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

C.0

例2 (2022年順德區青年教師解題比賽第8題)過點P(1,m)(m∈R)有n條直線與函數f(x)=x·ex圖象相切,當n取最大值時,m的取值范圍為( ).

例3 (自編)已知函數f(x)=x3-x+1,過點A(0,1)作函數y=f(x)的切線,可做( )條.

A.1 B.2 C.3 D.無數條

分析：這三道例題都在考察曲線切線的條數,區別在于對應的函數不同,所涉及的點與函數的位置也不相同.那么它們有沒有什么共性呢?經過筆者的不斷嘗試,發現切線的條數與函數的凹凸性與漸近線有關聯.本文將研究過程展示如下,以饗讀者.

二、函數凹凸性及相關性質

1.函數凹凸性的定義及判斷方法

圖1

圖2

函數凹凸性的判斷定理:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上連續,在(a,b)內具有一階和二階導,若在(a,b)內滿足:(1)若f″(x)>0,則函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數;(2)若f″(x)<0,則函數y=f(x)在區間[a,b]上為凸函數[1].

2.與切線相關的性質

引理2 函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,對任意x0∈(a,b),設函數y=f(x)在x0處的切線為lx0,設直線lx0與函數y=f(x)在b處的切線lb的交點為A(xA,yA),則有xA

引理3 函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,對任意x0∈(a,b),設函數y=f(x)在x0處的切線為lx0,設直線lx0與函數y=f(x)在b處的切線lb的交點為A(xA,yA),則xA的值隨x0的變化而變化.

證明：假設存在x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1

引理4 函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,對任意x0∈(a,b),設函數y=f(x)在x0處的切線為lx0,設直線lx0與函數y=f(x)在a處的切線la的交點為B(xB,yB),則有xB>a,且xB的值隨x0的變化而變化.

證明同上,此略.

現討論切線問題,如圖3,函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,函數y=f(x)在a,b處的切線la,lb以及函數y=f(x)本身將平面區域分成A,B,C,D,E.設函數y=f(x)在x0處的切線為lx0,顯然可知直線lx0不經過區域C和E.

圖3

引理5 函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,對任意x0∈(a,b),設函數y=f(x)在x0處的切線為lx0,設直線lx0與切線la,lb的交點為B(xB,yB),A(xA,yA),則線段AB?區域A中.

證明：設直線lx0與切線lb的交點為A(xA,yA),因為函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,所以lx0的斜率小于lb的斜率,所以線段AB位于曲線y=f(x)的下方且位于lb的上方;同理可知線段AB位于曲線y=f(x)的下方且位于la的上方,綜上即可得引理成立.

引理6 函數y=f(x)在區間[a,b]上為凹函數,對任意x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1

證明：結合上述引理2以及引理5即可得結論成立,過程略.

由此可得到關于切線條數的相關結論:

定理1 當點M∈區域C或區域E時,過點M作函數y=f(x)的切線有0條.

定理2 當點M∈區域B或區域D時,過點M作函數y=f(x)的切線有且僅有1條.

證明：假設在區域點M∈區域B或區域D時,過點M可作2條函數y=f(x)的切線.與上述引理6相矛盾.

定理3 當點M∈區域A時,過點M作函數y=f(x)的切線有且僅有2條.

證明：如圖4,因為函數y=f(x)的連續性,當點M∈區域A時,至少存在一條切線lx0(切點的橫坐標為x0).設該切線與la,lb的交點為P,Q.根據引理5可知PQ?區域A.

圖4

顯然函數y=f(x)在[x0,b]上也是凹函數,根據引理4,存在唯一x3∈(x0,b),使得函數y=f(x)在x3的切線經過點M.

綜上可知,過點M作函數y=f(x)的切線至少有2條,而在[a,x0)內,根據引理2,在任意一點的切線與lx0的交點的橫坐標都小于x0.綜上可知原命題成立.

當函數為凸函數時,可模仿上面的過程得到相關的結論,過程略.對于漸進性而言,可理解為無窮遠處的切線.

三、實例分析

對于例1,已知函數f(x)=ex為凹函數,y=0是該函數的漸近線,利用函數f(x)=ex與y=0可將原函數分成如圖5所示的三個區域.利用上述結論可知,當點(a,b)∈區域A,沒有切線;當點(a,b)∈區域B時,有2條切線;當點(a,b)∈區域C時,有1條切線.故選D.

圖5

圖6

對于例3,點A(0,1)恰好為函數y=f(x)的拐點,過該點僅有1條直線與原函數相切.故選A.