探究本質(zhì) 提煉方法
——以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合型不等式問(wèn)題為載體

王 波

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》明確指出,函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具,在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的混合型不等式問(wèn)題在試卷中常作為壓軸題出現(xiàn),難度比較大.在學(xué)習(xí)中,我們?nèi)绾瓮黄七@一關(guān)鍵難點(diǎn)顯得尤為重要.本文圍繞這一問(wèn)題通過(guò)實(shí)例介紹一些思路和方法.

1 局部研究,尋找突破路徑

例1已知函數(shù)f(x)＝ex－1,g(x)＝bx－blnx(a,b∈R),若f(x)≥xg(x)對(duì)x＞0恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

若1－b≥0,即b≤1,當(dāng)x＞1 時(shí),h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0＜x＜1時(shí),h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,所以h(x)≥h(1)＝1－b≥0,故b≤1.

若1－b＜0,即b＞1,h(1)＝1－b＜0與h(x)≥0矛盾.

綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－∞,1].

點(diǎn)評(píng)本題是典型的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合型不等式問(wèn)題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)與函數(shù)y＝x－lnx的導(dǎo)數(shù)中有相同的因式x－1,從而提取公因式,對(duì)其局部進(jìn)行研究,使問(wèn)題得以順利解決.

啟示我們要熟知此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式,并學(xué)會(huì)把函數(shù)變形成常見函數(shù),比如y＝xex,y＝x＋lnx,等,化生為熟.

點(diǎn)評(píng)本題原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中沒(méi)有可以提取的公因式,但可以通過(guò)分離參數(shù)使問(wèn)題只需研究函數(shù)h(x)的性質(zhì),從而得到原函數(shù)g(x)的單調(diào)性.運(yùn)用“隱零點(diǎn)”處理最小值,需要對(duì)其進(jìn)行變換,即對(duì)ex,lnx進(jìn)行變換處理,形成能夠求出定值或最值的形式.

啟示例1是直接構(gòu)造函數(shù)研究,通過(guò)提取公因式使問(wèn)題簡(jiǎn)化,例2是通過(guò)參變分離使問(wèn)題簡(jiǎn)化,兩者都是從局部入手尋找突破點(diǎn),分析函數(shù)的性質(zhì).這種思想方法常用于求解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合型問(wèn)題.

2 同構(gòu)變形,構(gòu)造常見函數(shù)

例3已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

令g(t)＝et＋t,則上式等價(jià)于g(lna＋x－1)≥g(lnx).易知g(t)為增函數(shù),所以lna＋x－1≥lnx在(0,＋∞)上恒成立,即lna≥(lnx－x＋1)max,令y＝lnx－x＋1,易知函數(shù)y′＝－1,所以y＝lnx－x＋1在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,故y＝lnx－x＋1的最大值為0,即lna≥0,則a≥1,故a的取值范圍是[1,＋∞).

點(diǎn)評(píng)以上同構(gòu)變形將混合型問(wèn)題變?yōu)閱我坏闹笖?shù)或?qū)?shù)形式問(wèn)題,化繁為簡(jiǎn).解題的關(guān)鍵在于觀察出函數(shù)之間的微妙關(guān)聯(lián),如能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)等之間的聯(lián)系,構(gòu)造出“母函數(shù)”f[g(x)]≥f[h(x)],利用函數(shù)的單調(diào)性得出“子函數(shù)”的大小關(guān)系.這樣的變形對(duì)問(wèn)題的形式有較大要求,近幾年全國(guó)卷中也常出現(xiàn)這樣的問(wèn)題,因此我們應(yīng)引起重視.

啟示對(duì)于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的混合型不等式問(wèn)題,解題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系,而同構(gòu)變形恰是找準(zhǔn)兩者結(jié)構(gòu)上的關(guān)聯(lián)性,構(gòu)建橋梁,將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合問(wèn)題轉(zhuǎn)變成單一的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)相關(guān)問(wèn)題.

3 端點(diǎn)探路,思索合理范圍

例4已知函數(shù)f(x)＝xex－elnx,若f(x)≥b(x－1)2＋e(lnx＋1)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

當(dāng)5e－2b≥0,即b≤e時(shí),m″(x)≥m″(1)≥0,所以m′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,又m′(1)＝0,所以當(dāng)0＜x＜1時(shí),m′(x)＜0,m(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞1時(shí),m′(x)＞0,m(x)單調(diào)遞增,故m(x)≥m(1)＝0,所以式①恒成立.

當(dāng)5e－2b＜0,即b＞e 時(shí),m″(1)＜0,又m″(ln2b)＞0,所以存在x0＞1使m″(x0)＝0,故當(dāng)1＜x＜x0時(shí),m″(x)＜0,m′(x)單調(diào)遞減,所以m′(x)＜m′(1)＝0,此時(shí)m(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)1＜x＜x0時(shí),m(x)＜m(1)＝0,所以式①不成立.

綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－∞,].

點(diǎn)評(píng)觀察發(fā)現(xiàn)m(1)＝0,結(jié)合問(wèn)題發(fā)現(xiàn)m(x)≥m(1)＝0,這為找準(zhǔn)問(wèn)題解決方向提供了關(guān)鍵參考.又m′(1)＝0,若有m′(x)≥m′(1)＝0,則m(x)≥m(1)＝0.而m″(x)≥m″(1)≥0 保證了m′(x)的單調(diào)性,又m?(1)＝0協(xié)助探究了m″(x)的單調(diào)性,所以本題循環(huán)利用端點(diǎn)值起到了很好的作用.

啟示在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)都會(huì)探究圖像過(guò)某點(diǎn),這為以后解決這類函數(shù)綜合問(wèn)題埋下伏筆.學(xué)會(huì)觀察函數(shù)解析式的代數(shù)特征、分析函數(shù)圖像趨勢(shì)、思索問(wèn)題突破點(diǎn)也是解決這類問(wèn)題的重要思路.

4 放縮化簡(jiǎn),巧用切線變形

例5證明:當(dāng)x＞0時(shí),有

解析首先容易證明兩個(gè)常見的不等式lnx≤x－1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí),等號(hào)成立)與ex≥x＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí),等號(hào)成立),其中ex≥x＋1可變形為ex－2≥x－1,所以

點(diǎn)評(píng)本題結(jié)構(gòu)復(fù)雜,直接構(gòu)造函數(shù)研究比較困難,所以考慮借助常用不等式lnx≤x－1與ex≥x＋1進(jìn)行放縮求解.

啟示常見不等式的主要作用就是把不同階的函數(shù)轉(zhuǎn)化為同階函數(shù),這樣有利于研究問(wèn)題,當(dāng)然也可以放縮后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行研究,進(jìn)而解決目標(biāo)問(wèn)題.

5 分而治之,探求最值大小

點(diǎn)評(píng)本題以常見函數(shù)為模型,采用“倒置”形式命題,即證明成立,利用不等式性質(zhì)將之變形為證明不等式的一種方法是構(gòu)造一個(gè)整體函數(shù),進(jìn)而通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)求出最值.本題采用不等式證明中的另一種方法,即構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),比較兩個(gè)函數(shù)的最小值與最大值,雖然不是常見方法,但也是求解該類問(wèn)題的一種方法.

啟示觀察函數(shù)lnx前的系數(shù)是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵之處,若該系數(shù)是常數(shù),可以通過(guò)求導(dǎo)消除lnx,將問(wèn)題變?yōu)閱我坏闹笖?shù)函數(shù)形式;若該系數(shù)不是常數(shù),可通過(guò)變形構(gòu)造關(guān)于lnx的常見形式如y＝等.

章建躍先生曾說(shuō):“數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重思想和方法的教學(xué),這是由數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)決定的.”從教的角度看,把握好思想方法才能準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo),才能把數(shù)學(xué)教得本真而自然,教學(xué)行為才能“準(zhǔn)、精、簡(jiǎn)”,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.從學(xué)的角度看,注重思想方法才能了解知識(shí)的源頭、發(fā)展和去向,才能掌握不同內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性,做到既學(xué)到“好數(shù)學(xué)”,又學(xué)得興趣盎然.因此,我們要勤于思考、善于分析、樂(lè)于探究,才能不斷提高自己分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

(完)