對數函數中的參數問題變式探究

胡定躍

(濟南市章丘區第五中學)

數學問題中通常用一個字母來表示參數,參數的變化制約著表達式的變換.已知表達式所代表的數學量的性質,求參數的值或取值范圍,是常見的一類問題,破解這類問題的關鍵是應用以往學過的知識,合理構造含有這個參數的等式或不等式.那么,對數函數中常見的參數問題有哪些呢? 本文從一個引例談起.

1 一個引例

引例已知f(x)＝－lg(3－ax)(a≠1)在(0,4]上是增函數,則實數a的取值范圍為( ).

解析當x∈(0,4]時,3－ax＞0恒成立,所以3－4a＞0,解得a＜,由此可得本題選A.以下分析a為何大于0.

設t＝3－ax,函數y＝lgt是增函數,所以要使f(x)在(0,4]上是增函數,則只需函數t＝3－ax是減函數,可得a＞0.

點評本題是以一次函數為內函數、對數函數為外函數的復合函數問題,已知函數的單調性以及外函數的單調性已經確定,所以只需考慮內函數的單調性和原函數本身固有的定義域即可.

2 變式探究

變式1若函數y＝loga(3－ax)在[0,4]上單調遞增,則a的取值范圍是_________.

解析顯然a＞0,且a≠1.令t＝3－ax(t＞0),則y＝logat.因為y＝loga(3－ax)在[0,4]上單調遞增,t＝3－ax在[0,4]上單調遞減,所以0＜a＜1.

點評本題參數既出現在內函數中,又出現在外函數中,看似要分別討論兩個函數的單調性,但由于對數函數底數是正數,所以內函數的單調性已經確定,因此只需考慮內函數在給定的區間上恒為正即可.

解得－8≤a≤4,所以實數a的取值范圍是[－8,4].

點評本題中的外函數的單調性已經確定,而內函數是一個含有參數的二次函數,所以解決問題的關鍵如下:一是確定二次函數的單調性,找出對稱軸的位置;二是保證該二次函數在所給出的區域內恒為正.由于本題給出的區間是開區間,所以列不等式時等號不可忽視.

綜上,選C.

點評本題給出的是分段函數,要求這個函數是R上的減函數,應保證函數的兩段都是減函數,且二次函數部分的值應大于或等于對數函數部分的值,由此可得到三個不等式所組成的不等式組.

變式4已知a＞0且a≠1,函數

滿足當x1≠x2時,恒有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,那么實數a的取值范圍是( ).

解析函 數f(x)滿足當x1≠x2時,恒 有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,即函數f(x)滿足當x1≠x2時,恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0成立,所以函數f(x)在R 上單調遞增,且2－a＞0,a＞1,(2－a)－3a＋3≤0,解得a∈,2),故選D.

點評本題是變式3 的加強版,需先根據條件確定分段函數的單調性,再利用變式3的解法得出不等式組.

當0＜a2－3＜1 時,函數y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上單調遞減,若x＞1,則

不滿足題意.

當a2－3＞1時,函數y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上單調遞增,若x＞1,則

滿足題意,此時a2＞4,解得a＞2或a＜－2.

綜上,實數a的取值范圍是

點評事實上,當對數值大于0時,真數與底數都大于1,或真數與底數都大于零且小于1.本題考查了對數函數的性質.

點評要保證對數函數的值域為R,只需保證真數能取到所有正數.而本題中的真數是一次函數或二次函數,所以必須保證真數部分包含的函數與x軸有交點.本題有兩個易錯點:一是忽視內函數可能是一次函數;二是把值域為R 當成定義域為R 來處理.

縱觀上述對數函數中的參數問題,解決問題的關鍵是先分清復合函數的內、外函數,再去確定它們的單調性或取值范圍,最后列出含有參數的等式或不等式進行求解.在求解過程中一般要用到分類討論思想,分類時需做到“不重不漏”,尤其是二次項系數出現參數時,它也可能是一次函數,此外還要看清給出的區間是開區間還是閉區間,從而確定不等式的等號是否能取到.

(完)