關注“裂項”新動態

伏建彬 郝文華

(1.徐州高等師范學校 2.北京師范大學鹽城附屬學校)

1 問題的提出

高考評價理念由傳統的“知識立意、能力立意”轉向“能力為重、知識為基、價值引領、素養導向”,基于此,高考試題的命制風格也會隨之發生轉變.縱觀近幾年高考數學試卷,總體給人一種耳目一新的感覺,試題雖不失通性通法,但普遍立意深遠、靈活多變.命題風格的變化,也給高考備考復習帶來一定的“壓力”,傳統講練式的復習效果似乎越來越不明顯,這不僅僅體現在幾個“難題”上,“基礎題”也不再是“一成不變”的.特別是較為簡單的解答題,將數列與解三角形、基本初等函數等知識交會,在這類題上“卡殼”的同學大有人在,這不得不引起一線教師的關注.本文以數列試題中近幾年出現的“裂項求和”為例,通過幾個典型的問題,展示試題裂項的創新點,反思復習備考的實施路徑及基本策略.

2 創新體例評析

2.1 指數式裂項

例1已知Sn為數列{an}的前n項和,a1＝1,且nan－Sn＝n2－n(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式;

點評由于數列{bn}為分式結構形式,分母為相鄰兩項之積,自然想到裂項相消求和,但此過程利用到了22n＋1＝4×22n－1這一獨特性質,前面提取即可成功裂項.從以往高考試題可以看出,指數式裂項還會出現新的變化與延伸,例如,一次式與指數式的組合:

2.2 對數式裂項

例2已知數列{an}中,a1＝1,a3＝9,{an＋1－an}是公差為2的等差數列.

(1)求{an}的通項公式;

點評盡管數列{bn}不是裂項的標準結構,但因為對數運算這種獨特的變化形式,也會產生相鄰兩項差的結構,這在試題中也會偶爾出現.

2.3 三角函數式裂項

例3在1 和100 之間插入n個實數,使得這n＋2個數構成單調遞增的等比數列,將這n＋2個數的乘積記為Tn,再令an＝lgTn(n≥1).

(1)求{an}的通項公式;

(2)設bn＝tanan·tanan＋1,求數列{bn}的前n項和Sn.

解析(1)an＝n＋2(求解過程略).

(2)易知

點評本題巧妙地將裂項相消法、兩角和與差的正切公式結合在一起,看似無從下手,但若能認識到高中階段只有兩角和與差的正切公式才具有bn＝tanan·tanan＋1(“正切×正切”)的獨特結構形式,問題便可迎刃而解.

例4已知2n＋2個數排列構成以qn(qn＞1)為公比的等比數列,其中第1個數為1,第2n＋2個數為8,設an＝log2qn.

所以數列{bn}的前100項和S100＝－99.

點評對于三角函數式裂項,除了上述正切公式外,近年來,在高中數學競賽及高校強基計劃校考中還偶爾會出現利用“積化和差”“和差化積”等公式進行裂項.

2.4 階乘式裂項

例5已知數列{an}各項都為正數,且－nanan－1＋an－nan－1＝0(n≥2,n∈N*),a1＝1.

(1)求{an}的通項公式;

點評在高中階段,數列的求和方法大體分為公式法、分組求和法、并項求和法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法,具體解題過程中,往往需根據式子的結構特征來選取合適的求和方法.本題為分式結構,可先嘗試裂項,再從后往前推即可.對于階乘式裂項,除了上述結構外,還有n·n!＝(n＋1)!－n!,直接利用此裂項,可求得1!＋2·2!＋3·3!＋…＋n·n!＝(n＋1)!－1.

2.5 奇偶項裂項

例6已知數列{an}滿 足a1＝14,an＋1＝3an－4.

(1)求{an}的通項公式;

解析(1)an＝4×3n＋2(求解過程略).

(2)由題意可得

點評奇偶項裂項中間用“＋”相連,這與常規裂項不同,之所以能夠“相消”,是因為有(－1)n來進行正負號的調節,求解問題時需引起注意.

2.6 無理式裂項

例7已知正項數列{an}滿足a1＝1,且

2.7 放縮裂項

例8已知數列{an}的前n項和為Sn,a1＝2,(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式;

點評對于此類問題,求和往往伴隨著放縮,解題時需根據式子的結構特征適度放縮,構造裂項的條件,使求和的結果恰到好處,需注意放縮的起點項的選取.

2.8 其他裂項

例10意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發現有這樣一列數:1,1,2,3,5,8,…,該數列的特點是:前兩個數均為1,從第三個數起,每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列{fn}稱為斐波那契數列,化簡

點評裂項的本質屬性是“分解與組合”,此方法并非數列求和的專屬方法,學生在考試過程中之所以出現思維“卡殼”,并非學生不知道有裂項這種求和方法,而是學生不知道何時用到此方法,或不知道如何創設利用此方法的條件,這就需要豐富“分解與組合”的變形樣態和表征形式.

3 小結

隨著近年來試題靈活度的增強,學生直接套公式進行解題有時已經不起作用了,單純通過記憶幾種裂項相消的結論來處理裂項求和問題,是達不到解題效果的,而不斷總結新出現的裂項模式又無形增加了學習負擔,新題層出不窮,裂項形式也總結不完,如果再遇到新題,可能還是束手無策.教師在教學中要淡化解題技巧,減少機械性訓練,避免把教學的重心放在裂項形式的總結上,要引導學生用研究者的眼光分析問題,挖掘數學的本質,通過對數學思維的訓練來提升自己的解題素養.裂項的本質不僅僅是一種解題方法,更是一種思維方式,即通過分解、重組數列中的項,來相互抵消部分項,而達到求和的目的.在教學實踐中,教師要鼓勵學生大膽地嘗試,富有創造性地分裂、變形、配湊,而不是程序化地記憶裂項模式,應在問題解決的過程中,提升學生的創新能力,培養學生的創新意識.

(完)