淺論庫侖定律與扭秤實驗中的類比遷移

紀育昕 翁雨燕

摘? ?要：通過分析庫侖借鑒萬有引力定律建立庫侖定律的例證，解剖萬有引力定律與庫侖定律在抽象“點”模型的一致性，比較庫侖扭秤與卡文迪許扭秤、萬有引力與庫侖力的同異，討論類比在其中的遷移應用。

關鍵詞：類比；庫侖定律；扭秤實驗

類比是根據兩類事物間一些相似或相同的特性，進而將其中一個對象的已知屬性推演到另一個對象的方法。通過把握不同事物深層次的相似之處，合理利用類比，無疑是一個促進遷移的有效途徑。縱觀人類物理歷史中，不乏根據類比推理提煉出科學假說，進而進行理論突破的例子。文章擇取了萬有引力定律與庫侖定律的主要建立步驟，從闡述庫侖通過類比比較提出了庫侖定律的具體實例、剖析在抽象質點模型上構成了兩者類比成立條件的主要因素、論述庫侖扭秤與卡文迪許扭秤之間的類比比較三個方面，從全方位闡述了類比比較在該過程的遷移應用；通過剖析萬有引力和庫侖力之間的具體差別，以實現對二者的清楚明晰。

1? 基于類比法的新發現

萬有引力定律確立，基于天文學、力學、數學的不斷發展。在16世紀，丹麥第谷在天文研究中，留下了精確的觀測數據；開普勒在分析第谷對天體的觀測成果時，給出了天體運動三大定律；胡克則提出了引力反比距離的平方的猜測等；1687年，牛頓踏在巨人的肩膀上，在《自然哲學的數學原理》中正式給出了萬有引力定律，將其內容表述為任何兩個質點都存在通過其連心線方向上的相互吸引的力，且引力大小與它們質量的乘積成正比與它們距離的平方成反比[ 1 ]。

18世紀，庫侖在研究電作用力的過程中，類比了萬有引力的規律，對靜電力做出猜測，套用了萬有引力的大小與兩物體的質量成正比的關系，認為兩電荷間作用力與兩電荷的電量也成正比關系。這個關系是庫侖在經典的“扭秤實驗”前就已經提出的，離開這一前提，實驗根本無法開展，因為當時并沒有電量的描述。同樣，庫侖類比了萬有引力定律中關于力的大小與距離的平方成反比的描述，提出“兩個帶有同種電荷的小球之間的排斥力與這兩球中心之間的距離的平方成反比”的猜想，并在之后借助實驗進行定量探究，證實了這一結論，實現了由推論，到猜想，最后變為實驗定律的轉化。

在庫侖的猜想中，將萬有引力定律中規律的引入是啟發性的，因為在定性實驗中，科學家已經發現電荷間的作用力特點，即力的大小隨電荷量增大而增大，隨距離的增大而減小，這與萬有引力表現一致；這一引入同樣也是大膽的，因為力與距離間的關系形式可能多樣，并非一定符合平方反比的規律，同時，靜電力與引力實質并不相同。在定量實驗前，這一猜想僅僅作為類比推理，在得到實驗有力的驗證后，才是真正實現了從引力定律到電學規律的遷移轉變。而從庫侖定律的建立開始，標志著電學研究開始從定性研究走向定量研究。

2? 剖析抽象“質點”“點電荷”模型的可行性

在將萬有引力與靜電荷間作用力進行類比時，可以發現其在建立理想模型時就具備了一定的共同點，就是都抽象了“質點”的物理模型來解決問題。在分析天體間引力時，對于天體運行來說，運動軌跡是大尺度，而其本身的大小與形狀都可以忽略不計，因此可以抽象成質點。而在研究帶電小球的靜電力時，由于作用距離較遠，小球大小對電場場強的影響也可以忽略不計。

在已有定律的基礎上，可以進一步分析在萬有引力定律與庫侖定律中把物體抽象為質點的可行性。

如圖1所示，一半徑為R，質量為M的均勻球殼，球心在O點，距離球心r（r＞R）的球外P點放置一質量為m的質點，此時求解均質球殼與質點間的萬有引力。

對于實心導體小球而言，在達到靜電平衡后，導體內處處沒有靜電荷，電荷分布在小球表面。如圖2，以一帶電荷量 +Q的導體小球為例，在距其圓心O距離為r的位置P點放一帶電荷量為+q的質點，此時求解導體小球與P間的靜電力。

庫侖基于電荷間作用力的定性特點，在實驗前直接類比了萬有引力定律，但也留下了庫侖定律與萬有引力定律進行類比的可行性在哪里的疑問。本文就兩者在抽象物理模型的角度對此加以闡釋說明，作為對其進行解釋的回答之一。

3? 比對扭秤實驗，體會思想與方法的交融

在從猜想走向定論的過程中，無論是通過類比推理得到的啟發性結論，還是基于理論分析得到的推論，都離不開最終的實驗，由實驗中得到的驗證性結果形成證據，來支撐結論的提出。

庫侖定律的提出離不開庫侖扭秤實驗的驗證，庫侖扭秤的結構如圖3（a）所示。除了外部的玻璃缸和上方細玻璃管，主要由懸絲，橫桿，兩個帶電金屬球（固定在絕緣支架上的球A，固定在橫桿的一端的球B），一個平衡小球（固定在橫桿的另一端）等組成。當帶有同種電荷的兩個金屬球靠近時，懸線發生偏轉，平衡時，懸絲的扭轉力矩等于此時的庫侖力力矩，即可通過懸絲扭轉的角度大小來判斷庫侖力的大小。通過控制球A與B的電荷量不變，改變兩者間的距離，得到扭轉角度與A、B間距離的平方成反比的結論，繼而得出兩電荷間斥力的大小與距離的二次方成反比的規律。

為了測量萬有引力的大小，卡文迪許類比了庫侖扭秤中將微小量放大的方法，同時也有了新的創新。由于萬有引力太過微小，為避免無關因素的干擾，實驗在單獨的房間內進行，再利用望遠鏡進行遠程觀測。卡文迪許扭秤的結構如圖3（b）[ 3 ]所示，主要由懸絲，輕質細棒，固定在細棒兩端質量均為m的小鉛球，兩個分別固定在小鉛球前方和后方的質量均為M的大鉛球（為了保持力的對稱）等構成。為了測量懸絲轉過的微小角度，懸絲上安裝了一面平面鏡，用一束光線照射平面鏡，光線反射后射在刻度尺上，當懸絲轉動時，平面鏡跟著轉動，反射光就會在刻度尺上呈現出較為明顯的偏移，測得扭轉的角度，就可以計算引力的大小。

在這兩個經典扭秤實驗中，都利用了將力的平衡轉換為力矩平衡的物理方法，也都體現了微小量放大的物理思想。在庫侖扭秤中，由于小球的帶電量較小，導致靜電力較小而難以測量，庫侖利用扭秤，通過較長的力臂，使較小的力產生了較大的力矩，從而能產生較大的轉動，繼而放大了力的作用效果；卡文迪許扭秤在此基礎上進一步發展，利用光放大，使偏角增大到可測量，最終實現微小力的測定。

4? 定律回歸二力，剖析兩者同異

在對萬有引力定律與庫侖定律進行分析的過程中，發現二者有歷史上的淵源，有相似的扭秤實驗，在表達形式上也具有鮮明的一致性。此時從定律回歸到力，利用對比的分析方式對萬有引力與庫侖力進一步進行同異比較，梳理見表1，以達到對二者更清晰、明確的理解。

物理學中理論的發展往往從已有中來，再通過合適的方式融入新領域；物理學的上升也常常體現在秉持一脈相通的科學精神，在不斷地精進中取得新的成果。從萬有引力定律到庫侖定律的提出，從庫侖扭秤到卡文迪許扭秤，都不難看出類比思維的應用。培養類比思維，提升遷移能力，對物理學習、物理發展都意義重大。

參考文獻：

［1］ 施嘯宇. 一個重大物理規律的探究過程：萬有引力定律的發現[J]. 中學生數理化（教與學），2013（1）：33.

［2］ 尹文心. 質點與球體之間萬有引力的數學證明及其應用[J]. 物理教師，2016，37（12）：62-63.

［3］ 余建剛，肖城輝. "庫侖扭秤"與"卡文迪什扭秤"實驗[J]. 物理通報，2021（7）：149-152，159.