數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中幾何直觀的培育策略
——以小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)“比大小”為例

2023-09-25 00:43:46范宇馨徐燕剛

教育科學(xué)論壇 2023年28期

●范宇馨，徐燕剛

幾何直觀是義務(wù)教育階段學(xué)生不可或缺的能力。小學(xué)階段的知識(shí)雖然簡單且基礎(chǔ)，但以圖形表征作為解決問題的手段不可被丟棄，教師必須重視圖形直觀能力在日常教學(xué)中的有機(jī)滲透[1]。培育學(xué)生的幾何直觀，是借助學(xué)生身邊熟悉的具體事物，潛移默化地讓他們通過類比與聯(lián)想，結(jié)合新舊知識(shí)形成問題解決的培養(yǎng)策略。培育的重要性在于它是思維直觀的全過程參與，能夠激發(fā)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造性，是學(xué)生抽象化思維的基礎(chǔ)。培育學(xué)生的幾何直觀策略既能幫助學(xué)生增長知識(shí)，又能幫助學(xué)生增長智慧，還能為數(shù)學(xué)內(nèi)容生活化增加趣味性和可能性。目前，小學(xué)進(jìn)行幾何直觀的培養(yǎng)路徑仍處于探索階段。因此，準(zhǔn)確理解幾何直觀的價(jià)值和必要性，深入研究當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中幾何直觀的應(yīng)用，適當(dāng)探討幾何直觀的培育策略，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義[2]。

一、創(chuàng)設(shè)情境問題，建立直觀聯(lián)系

幾何直觀蘊(yùn)含在現(xiàn)實(shí)的情境中，它來源于現(xiàn)實(shí)，又反映出現(xiàn)實(shí)，是生活現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)化的重要表現(xiàn)之一。將生活化的現(xiàn)實(shí)問題遷移到學(xué)生的課堂中，不僅能夠激發(fā)學(xué)生探索生活現(xiàn)象，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有日常感知，還能增強(qiáng)學(xué)生潛意識(shí)層對(duì)幾何直觀的理解。

在課堂引入環(huán)節(jié)，教師可以采用生活現(xiàn)象疑問法、生活問題解決法、生活事件對(duì)比法等方式開始教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。創(chuàng)設(shè)情境化的課堂，其意義在于生活與學(xué)生息息相關(guān)，以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為切入點(diǎn)構(gòu)建知識(shí)體系，能有效搭建數(shù)學(xué)與生活的知識(shí)橋梁，有助于教師對(duì)直觀的培育。

教師在課堂授課過程中要把握好數(shù)學(xué)問題的解題思路、數(shù)學(xué)方法的具體操作、直觀圖形的結(jié)果陳述三方面的內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)所有環(huán)節(jié)都能從現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中著手，建立起科學(xué)的數(shù)學(xué)的直觀思維。

例如，在同分母分?jǐn)?shù)比大小的教學(xué)活動(dòng)中，教師可以將課堂聚焦到分蛋糕的問題上，采用現(xiàn)實(shí)情境作為趣味引入。

首先，教師出示一個(gè)完整的蛋糕圖片來引起學(xué)生注意，告知學(xué)生這個(gè)蛋糕被分成了兩份。其中一份占這個(gè)蛋糕的，而另一份占這個(gè)蛋糕的。以“這兩塊蛋糕誰大誰小”開始課堂學(xué)習(xí)。

其次，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想蛋糕的形狀，將真實(shí)的蛋糕化簡成直觀可操作的圖形。緊接著讓學(xué)生嘗試將蛋糕轉(zhuǎn)化成圓形畫在紙上，用自己的方法分一分、涂一涂再比一比。

圖1

二、組織填圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)直觀

幾何直觀的核心培育階段體現(xiàn)在課堂教學(xué)活動(dòng)中。教師通過組織有特色的填圖教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)眼觀圖中感悟圖形的直觀與形象，在動(dòng)手操作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)直觀的方法，最終完成幾何直觀在數(shù)圖符號(hào)之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)幾何直觀在操作中的培育[3]。課堂操作環(huán)節(jié)為幾何直觀的培育提供了豐富的土壤。

首先，有趣的填圖活動(dòng)能讓學(xué)生觀察到可視化的圖片。學(xué)生通過眼睛看的過程，就是圖形直觀在腦海中的反應(yīng)過程。

其次，填圖活動(dòng)的重點(diǎn)在于一個(gè)“填”字，學(xué)生在“填”的活動(dòng)中會(huì)觸碰到真實(shí)具體的圖片，動(dòng)手“填圖”的過程就是幾何直觀的表現(xiàn)過程。

最后，組織填圖活動(dòng)的最終目的是解決圖形所表達(dá)的數(shù)學(xué)問題，數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化思想也是培養(yǎng)幾何直觀的重要途徑，學(xué)生通過感受直觀圖形與抽象數(shù)字之間的轉(zhuǎn)化，在今后解決抽象符號(hào)問題時(shí)才能更快回憶起直觀作圖法，從而簡化復(fù)雜問題以形象直觀達(dá)到解決問題的目的。

教師可以組織課堂體驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)圖形直觀，從而培育學(xué)生的幾何直觀。例如，教師先請(qǐng)學(xué)生抬頭看白板上的蛋糕圖片，通過眼睛看的方式促使學(xué)生回憶自己分蛋糕的場景，激發(fā)學(xué)生對(duì)分蛋糕問題的興趣。隨后，教師請(qǐng)學(xué)生闡述能夠解決問題的辦法，在學(xué)生發(fā)言的過程中，教師可以示意學(xué)生到黑板前用畫一畫的方式呈現(xiàn)具體的解題思路。最后，教師組織學(xué)生分小組進(jìn)行填圖活動(dòng)，將蛋糕畫成圓形或方形，并讓學(xué)生操作紙片對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行填涂，進(jìn)而比較涂色部分面積的大小，得出與與的比較結(jié)果（見圖2）。組織填圖活動(dòng)這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生對(duì)數(shù)與圖進(jìn)行觀察聯(lián)想，引導(dǎo)他們感受數(shù)與圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得幾何直觀能巧妙融入數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化過程中。

圖2

教師使用上述策略進(jìn)行課堂活動(dòng)的組織與探究，不僅能夠提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，而且能讓學(xué)生將抽象符號(hào)用可視化的圖形呈現(xiàn)出來，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，促使學(xué)生的思維從具象到抽象進(jìn)行過渡。

三、報(bào)告數(shù)圖發(fā)現(xiàn)，總結(jié)直觀要點(diǎn)

幾何直觀可以滲透在學(xué)生的報(bào)告活動(dòng)中，使得學(xué)生對(duì)直觀的把握更加具體和凝練。學(xué)生經(jīng)過填圖活動(dòng)，找到了數(shù)圖轉(zhuǎn)化解決問題的方法。教師承接填圖活動(dòng)組織學(xué)生開展課堂匯報(bào)，讓學(xué)生在報(bào)告中獲取數(shù)圖發(fā)現(xiàn)，領(lǐng)會(huì)直觀要點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)幾何直觀在報(bào)告中的培育。幾何直觀的培育可以從匯報(bào)內(nèi)容中的問題發(fā)現(xiàn)、解題方法和最終結(jié)果三個(gè)方面著手。

這三個(gè)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)在于數(shù)圖解題的方法與過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生將匯報(bào)的內(nèi)容聚焦于幾何直觀的數(shù)圖發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生總結(jié)直觀要點(diǎn)。報(bào)告有助于促進(jìn)學(xué)生語言上對(duì)圖形的具體闡釋，有助于學(xué)生體會(huì)圖形操作的直觀感受，有助于學(xué)生對(duì)于幾何圖形的形象理解，有助于學(xué)生頭腦中對(duì)幾何直觀的發(fā)現(xiàn)，這些感悟和體會(huì)都是幾何直觀的潛在表現(xiàn)。

學(xué)生經(jīng)過分?jǐn)?shù)大小比較的活動(dòng)探索，并采用填圖法比較出了例題中分?jǐn)?shù)的大小。此時(shí)，教師應(yīng)順勢(shì)讓學(xué)生上臺(tái)展示和匯報(bào)他們分?jǐn)?shù)比大小的發(fā)現(xiàn)與結(jié)果，學(xué)生通過匯報(bào)可以厘清幾何直觀的要點(diǎn)，還能在匯報(bào)中感受幾何直觀的發(fā)生發(fā)展。

首先，教師以填圖活動(dòng)后的圖片和內(nèi)容為基礎(chǔ)，經(jīng)過一定演變和加工，在電子白板上分別呈現(xiàn)出十以內(nèi)同分母分?jǐn)?shù)與同分子分?jǐn)?shù)的示意圖，請(qǐng)學(xué)生認(rèn)真觀察思考（見圖3）。

圖3

緊接著，教師讓同桌的學(xué)生討論并交流各自的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生使用自己的語言進(jìn)行歸納和概括。

最后，教師組織學(xué)生有序進(jìn)行匯報(bào)。匯報(bào)的第一步是讓學(xué)生陳述觀看圖形后的感受，使內(nèi)容聚焦到圖形與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系上來；匯報(bào)的第二步讓學(xué)生描述分?jǐn)?shù)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生說清楚每一個(gè)分?jǐn)?shù)上面的圖片是如何進(jìn)行填圖得出來的；匯報(bào)的第三步讓學(xué)生根據(jù)填圖好的分?jǐn)?shù)報(bào)告自己得出的結(jié)論。前兩步有關(guān)圖形的觀察與分析是第三步結(jié)論的重要媒介，學(xué)生通過觀察圖形，可以快速認(rèn)識(shí)到圖形對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的關(guān)系和規(guī)律。

通過匯報(bào)最終得出結(jié)論：同分母分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)大；同分子分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)小。

四、引導(dǎo)學(xué)生互評(píng)，激勵(lì)直觀發(fā)現(xiàn)

幾何直觀在評(píng)價(jià)表述中形象化，在評(píng)價(jià)互動(dòng)中具體化，在評(píng)價(jià)激勵(lì)中滲透。互動(dòng)評(píng)價(jià)方式是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要環(huán)節(jié)。它既能促使學(xué)生感悟直觀圖像的有用性，又能幫助學(xué)生去思考直觀方法的優(yōu)劣性，還能在互評(píng)的語言交流中滲透幾何直觀思維。采用互動(dòng)評(píng)價(jià)方式去培育學(xué)生的幾何直觀，不僅能發(fā)展學(xué)生的表述能力，還能讓學(xué)生通過表述明晰圖形與數(shù)的關(guān)系，使幾何直觀更加具體形象地融入頭腦中。激勵(lì)評(píng)價(jià)是促進(jìn)學(xué)生保持求知?jiǎng)訖C(jī)，使其喜歡上幾何直觀解題，接受幾何直觀在解題中價(jià)值的有效方式。這里，教師需要先引導(dǎo)學(xué)生陳述清楚前面活動(dòng)的發(fā)現(xiàn)；然后鼓勵(lì)學(xué)生朝向幾何直觀的方向進(jìn)行方法闡述，闡述完成后及時(shí)表揚(yáng)學(xué)生表述中提到的與幾何直觀相關(guān)的要點(diǎn)；最后教師要重復(fù)和提煉含有“直觀”“形象”等類似的關(guān)鍵詞語，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)與理解。比如，教師可以采用如下的互評(píng)方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)：

首先，讓學(xué)生以活動(dòng)為線索，用自己的語言評(píng)價(jià)課堂活動(dòng)中分?jǐn)?shù)比大小的方法。例如，教師提問學(xué)生：“本堂課使用填圖法比較分?jǐn)?shù)的大小，大家覺得這個(gè)方法好不好？ ”學(xué)生積極表述類似“將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成圖形能更直觀地比較出大小”的語言時(shí)，幾何直觀就已經(jīng)潛移默化儲(chǔ)存在了學(xué)生的腦海中。

其次，發(fā)揮評(píng)價(jià)的溝通交流機(jī)制，教師采用互評(píng)—反饋的方式激勵(lì)學(xué)生的直觀發(fā)現(xiàn)。例如，教師可以請(qǐng)同桌的兩個(gè)學(xué)生互相評(píng)價(jià)填圖法得到的結(jié)論，學(xué)生歸納總結(jié)結(jié)論，在此過程中提到“圖形方便”“畫圖形象”“圖像直觀”“分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成可見圖形”等話語時(shí)，教師要及時(shí)對(duì)這類語言進(jìn)行鼓勵(lì)和表揚(yáng)，并讓學(xué)生重復(fù)類似發(fā)言，使幾何直觀在激勵(lì)中生成發(fā)展（見圖4）。

圖4

最終，以評(píng)價(jià)帶動(dòng)課堂反思，以反思促進(jìn)幾何直觀意識(shí)生成，以意識(shí)帶動(dòng)能力發(fā)展，實(shí)現(xiàn)幾何直觀在課堂評(píng)價(jià)中的培育。

五、設(shè)真實(shí)性作業(yè)，鞏固直觀理解

作業(yè)是以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材為依據(jù)的重要教學(xué)補(bǔ)充材料。它圍繞課程的教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)數(shù)學(xué)的思想與方法，是連接學(xué)生幾何直觀與生活應(yīng)用的橋梁。

真實(shí)性的作業(yè)來源于生活，是生活現(xiàn)象的問題反應(yīng)，也是新舊知識(shí)的聯(lián)系樞紐。它與學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相關(guān)，有助于學(xué)生知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系。作業(yè)的完成需要經(jīng)歷“問題思考—方法擬定—結(jié)果檢驗(yàn)”三個(gè)環(huán)節(jié)。作業(yè)問題的呈現(xiàn)方式與學(xué)生思考問題的方式息息相關(guān)。教師呈現(xiàn)真實(shí)的生活問題，有助于學(xué)生直觀方法的使用。作業(yè)是呈現(xiàn)學(xué)生思考解題過程的重要環(huán)節(jié)。作業(yè)完成后的結(jié)果檢驗(yàn)，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與圖形關(guān)系的重要連接點(diǎn)。

在分?jǐn)?shù)的大小比較中，教師為了鞏固課堂的知識(shí)與方法，滲透幾何直觀在生活中的應(yīng)用，可以設(shè)計(jì)如下作業(yè)讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)。

題目：今天是小熊的生日，熊媽媽買了7 罐蜂蜜回家準(zhǔn)備給小熊做蜂蜜蛋糕。其中蘋果味的有3 個(gè)，草莓味的有4 個(gè)。

（1）蘋果味與草莓味的罐頭分別占全部蜂蜜罐頭的幾分之幾？

（2）熊媽媽將這七個(gè)罐頭的蜂蜜混合起來做了一個(gè)大蛋糕，將這個(gè)蛋糕分成了三份，分別占這個(gè)蛋糕的，熊媽媽想吃最小的那一份，請(qǐng)問哪一個(gè)分?jǐn)?shù)是最小的呢？

這道作業(yè)題的第一小問題目的在于讓學(xué)生知道分?jǐn)?shù)除了用一個(gè)物體表示一個(gè)整體外，還可以將多個(gè)物體看作一個(gè)整體進(jìn)行表示，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。該題在圖形直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了生活化的調(diào)整，讓學(xué)生用數(shù)罐頭的方式，理解部分與總體的分?jǐn)?shù)關(guān)系，數(shù)就是一種直觀而具體的表現(xiàn)方式，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何直觀。緊接著題目再次用分蛋糕的生活場景，讓學(xué)生比較三個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，目的在于考查學(xué)生是否掌握了填圖法進(jìn)行分?jǐn)?shù)比較。蛋糕多為圓形，因此這種場景會(huì)讓學(xué)生聯(lián)想到畫圓形圖進(jìn)行解題，學(xué)生在課堂上有填圖法解決分?jǐn)?shù)比大小的經(jīng)驗(yàn)，因此同類問題也會(huì)讓學(xué)生快速解答出思路和方法（見圖5）。

圖5