基于“數形結合”思想的小學數學深度學習的探索

江露露

【摘要】如何讓小學生理解抽象的數學概念、數學規律，“數形結合”就是他們學習數學的支架。文章通過“以形助學”“以數解形”“數形結合”的方法，促進學生深度學習。

【關鍵詞】小學數學；“數形結合”；深度學習

深度學習，已經成為課堂教學改革的主流。深度學習不但要求學生把握數學知識的本質，更要把握數學知識的結構，知道是什么和為什么。然而，在教學實踐中，許多學生對數學知識的學習只是求于表面，實際上并不知道概念的本質屬性和公式、法則的來龍去脈。那么如何在有限的時間內，讓小學生的學習更有意義呢？筆者近幾年的教學研究發現，利用“數形結合”的數學思想不僅可以幫助學生形象理解，更能促進學生思維的提升。

一、“以形助學”，讓學生深刻理解知識內涵

在教學“除數是整數的小數除法”中，筆者嘗試利用“數形結合”的方法來解釋算理。此課作為小數除法的開端課，在整個單元中有著重要的意義。對于“5.34÷3”該怎么計算，教材中通過單位轉化和小數的組成這兩種方法，將被除數轉化成整數，最后呈現豎式解法。在豎式中，學生最容易出錯的地方便是商的小數點的定位問題。對此，筆者在兩個班級分別用了兩種不同的教學方式，第一個班根據教材編排進行教學并設計了如下作業：

你能解釋一下為什么商是1.78，而不是178呢？

在這份作業中，66.7%的學生知道豎式中的“3”“21”和“24”表示的含義，46.7%的學生結合之前學習過的小數的意義和單位轉化來解釋小數除法中“商的小數點要和被除數的小數點對齊”這一道理，17.8%的學生通過估算給出了解釋。但讓人感到困惑的是，班級中還有約三分之一的學生知其然，但不知其所以然。

為此，筆者通過對教材中的例題進行適當改編和補充，在另一個班級進行了另一種教學方式：

1.出示情境：小胖、小巧、小丁丁想每人做一個手工送給小亞，現在一起買了一包5.34元的彩紙。如果3人平均攤（AA制），平均每人需要付多少元？

2.結合已有知識解決5.34÷3=（? ）。

（1）估算。

（2）小組討論：5.34÷3=（? ）。

（3）小組反饋。方法一：單位轉換；方法二：小數的組成；方法三：534÷3÷100。

（4）用小數的組成（方法二）試一試：完成課本P18。

①12.8÷8=（? ）。

12.8是（? ）個0.1，（? ）÷8=（? ），（? ）個0.1是（? ）。

②8.54÷7=（? ）。

（? ）是（? ）個（? ），（? ）÷（? ）=（? ），（? ）個（? ）是（? ）。

（5）說一說這些方法的共同點：都是將小數除法轉換成整數除法。

3.嘗試豎式計算并交流反饋：使用除數是整數的小數除法算理。

4.小結歸納除數是整數的小數除法的計算方法。

在理解豎式算理時，媒體動態演示將5個1、3個0.1、4個0.01平均分成3份（圖1）的畫面。首先，將3個1平均分成3份，每份即1個1。接著，將剩下的2個1轉換成20個0.1，與之前的3個0.1組合，即將23個0.1再次平均分成3份，每份是7個0.1。然后，將剩下的2個0.1轉換成20個0.01，并與4個0.01合并成24個0.01，每份又分得8個0.01。在具體情境中進行了三次動態的“分與合”，有效實現了豎式的意義建構。

在這一學習活動中，學生結合圖形的演示去理解小數除法的計算過程，理解除數是整數的小數除法豎式計算的關鍵。第一，當整數部分有剩余時，可以將它轉換為以0.1為計數單位的數，并將其與十分位上的數合并成幾個0.1，以此類推。第二，理解轉化思想，計算除數是整數的小數除法本質上就是將其轉換成整數除法進行計算。第三，在圖形“分與合”的過程中，構建了豎式與圖形之間的關聯，理解商的每一個數位上的數字表示的含義，商的小數點要和被除數的小數點對齊的道理。

由此可見，“以形助學”能夠把看不見、摸不著的思維過程以畫面的形式呈現出來，不但能幫助學生深刻理解，更能讓學生在學習過程中產生興趣，實現深度學習。

二、“以數解形”，讓學生深度參與知識形成過程

“以數解形”主要借助于“數”的精確性、程序性和可操作性來闡明“形”的屬性及用代數方法解決幾何問題等。

如在三年級第一學期“三角形分類”的教學中，出示以下6組小棒，哪一組的小棒可以圍成三角形？

（1）3cm、4cm、5cm（2）3cm、6cm、9cm

（3）5cm、5cm、5cm（4）4cm、4cm、9cm

（5）4cm、5cm、7cm（6）3cm、3cm、2cm

學生圍繞核心問題：“怎樣的三根小棒才能圍成三角形”展開活動。在拼擺和觀察的過程中，發現能圍成三角形的只有第（1）、第（3）、第（5）組。另外三組，因為某一根小棒長度較短，所以不具備圍成三角形的條件。接著，引發了學生的猜想和思考“只有在每組中任意兩根小棒的長度和大于第三根小棒長度的前提下，才能圍成三角形”。為了驗證猜想，學生再次聚焦這些數據，隨后例舉更多的數據進行驗證，最終歸納發現其特點。將嚴謹的“數”作為理論的有利支撐，為了讓論點更有說服力，學生再次反向驗證了另外三組不能圍成三角形的數據。最終得出結論：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。在拼擺、觀察、猜想、探究、驗證的過程，用數發現三角形三邊之間的特殊關系，進一步提高學生的數學素養。

三、“數形互助”，讓學生自然分解難點

由于教師在教學時沒有凸顯“乘法分配律”與其他運算定律的本質性區別，導致學生越學越糊涂。筆者也在設想，能否借助學生的已有經驗，嘗試解釋其中的道理。基于以上思考，在教學本課時，以教材中的例題為背景，設計如下教學環節：

出示例題1：植樹節到了，果園里要種一些蘋果樹和梨樹，每行種6棵，蘋果樹種了3行，梨樹種了2行，為了讓小朋友看得更清楚，老師將這些樹用點子圖來表示。請問蘋果樹和梨樹一共有多少棵？如何列示？

1.通過點子圖驗證

（媒體呈現樹圖—點子圖）

（1）展示方法。

方法一：（3+2）×6? 方法二：3×6+2×6

=5×6? ? ? ? ? ? ? =18+12

=30（棵）? ? ? ? ? =30（棵）

（2）交流反饋。生1：先算出有一共有3+2=5行，再乘6得到總棵樹。也可以分別計算蘋果和梨的棵樹，3×6是蘋果樹的數量，2×6是梨樹的數量，最后把它們合并起來得出總棵樹。生2：如果把一棵果樹想象成一個點，那么從點子圖上看到，每一行有6個圓，一共有這樣的5行，所以一共有5個6。第二個算式則是分開計算的，紅圓有3個6，黃圓有2個6，3個6加2個6也就是5個6。

（3）小結歸納：借助點子圖，從幾個幾加幾個幾等于幾個幾的角度去分析，也能說明兩種方法解決問題都是正確的。

2.通過面積圖驗證

出示例2：我校的花園是一個長方形，原來長6米，寬3米，擴建后，長不變，寬將增加2米，擴建后的花園面積有多大？你能用兩種方法解答嗎？

（1）交流。生：（3+2）×6=6×3+6×2。

（2）思考：這兩個算式結果相等嗎，為什么？生：第一種算法，先求現在的寬，再根據長方形面積公式求出擴建后的花園面積。第二種分別求出原來花園的面積和增加部分的面積，最后求兩者之和，合并起來也是大長方形的面積。

（3）追問：如果將（3+2）×6這一算式進行展開，你們發現了什么？

（4）結合媒體在方格圖上演示。

生1：（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）。

生2：（3+3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2+2）。

生3：6個3連加就是6×3，6個2連加也就是6×2。

（5）歸納小結：乘法分配律的特征以及字母表達式。

首先，通過具體的情境，從實物圖逐漸抽象成點子圖（圖2），讓“形”對“數”的實際意義給予了合理的解釋，為后續建立乘法分配律模型埋下伏筆。其次，通過面積圖讓學生在腦海中初步感受了乘法分配律的特點，并順勢將長方形的長和寬改為字母（圖3）。最后，再次回到乘法分配律的數學模型，將面積圖與乘法意義建立聯系，感受乘法分配律的內涵。在這一教學過程中，筆者利用幾何模型和數學模型，幫助學生從不同角度發現乘法分配律的特點，難點自然化解。

四、“數形結合”，讓學生掌握學習方法

在幾何教學中，如何讓抽象的題干變得具體，這就需要學生“數形結合”，利用直觀的圖示幫助其獲得學習的路徑，找到解決問題的方法。學生在審題的過程中，逐步根據題目的信息畫出具體的圖示，讓復雜繁瑣的題目變成一幅清晰、簡單的“圖示說明書”，也讓數學學習更有趣、更直觀。

例如五年級第二學期“體積與容積” 中有這樣一題：有一個長12.5cm，寬10cm，高8cm的長方體水缸，原來水面高度為6cm，放入一個棱長為5cm的鐵塊后，現在水面高度是多少厘米？

兩位學生在草稿上給出了不同的圖示：

本題主要考察的是學生對于體積與容積的掌握情況，對于五年級的學生來說，具有一定難度。第一位同學是班上一位學習能力中等的孩子，對于此類較復雜的幾何題，她沒有直接寫算式，而是在草稿上（圖4）分別畫了鐵塊進入水缸前后的草圖。此同學根據所畫的兩幅圖，先算出了水缸中原有水的體積，再算出加入鐵塊后，水缸中物體的總體積，最后求得現在水的高度。第二位學生的草稿（圖5）與第一位同學不同的是，該學生只畫了一幅示意圖。在計算時，也并沒有算出水缸中現有物體的總體積，而是只求出了鐵塊的體積（水缸中物體增加的體積），最后根據體積公式，得出了水面上升的高度。

可以看到兩位同學雖然解題方法不同，但都是借助幾何圖形的直觀性，在頭腦中形成有關體積和容積的表象，將抽象的數學概念轉換為形象的圖形表征，以“數形結合”的方式找到了學習路徑，從而作出準確判斷。

相信教師在日常教學中經常合理使用“數形結合”，孩子們會潛移默化地感受到“數形結合”的魅力，自覺地應用到自己解決實際問題的過程中，學習的主體性、能動性、獨立性會不斷生成、發展和提升，實現主動的深度學習。

總之，深度學習是一種浸潤體驗、建構知識、反思消化的學習過程。在深度學習中，教師首先要轉變自己的教學觀念和教學行為，抓住教學內容的本質屬性，把握知識間的內在聯系，設計合理的“數形結合”教學內容，發揮學生的主體作用。只有師生的傾情投入，深度學習才能真正發生。

【參考文獻】

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀（上） [J].小學數學教師，2013（06）.

[2]張詩德，廖云，張文勇.探索“導主和諧”教育模式，培養師生發展性學力[J].北京教育學院學報，2003（02）.