半球諧振子不平衡力的推導及與駐波關系研究

劉 奎,于鑫海,段 杰,蘇定寧,趙思晗,李紹良,趙萬良

(1. 上海航天控制技術研究所,上海 201109;2. 上海慣性工程技術研究中心,上海 201109)

0 引言

半球諧振陀螺是一種新型的高精度陀螺儀,具有長壽命、高穩定性、高可靠性及斷電可長時間保持等優點,已成為國內外的研究熱點[1-3]。半球諧振陀螺的理論基礎最早可以追溯到1890年,英國科學家Bryan發現敲擊并旋轉酒杯會聽到“差拍”,表明酒杯中的駐波相對空間旋轉[4]。20世紀,美國科學家Lynch等[5]對半球諧振陀螺理論的進一步發展與性能提升做出了重要貢獻。由于在實際加工過程中諧振子存在誤差,因此,諧振子并非理想的軸對稱結構。這會導致諧振子產生不平衡質量,當諧振子做四波腹振動時將對基座產生額外的作用力,這些不平衡力使諧振子偏離理想的四波腹振動,從而對陀螺精度產生影響[6-7]。

Shatalov等[8]建立了諧振子質量與阻尼非對稱分布的動力學方程,同時采用平均法求解動力學方程。Shatalov等[9]通過引入新的變量研究振動殼體緩慢旋轉時質量不平衡的影響。Zhbanov等[6]討論了諧振子由不平衡力引起的支撐桿的線性振動,得到了半球諧振陀螺漂移與不平衡質量及偏心之間的關系式。同時,多種修調技術與方法也被提出來用于諧振子不平衡質量的去除[10-12]。

為了對諧振子不平衡質量的去除提供理論依據,并進一步提升半球諧振陀螺的精度,需要對諧振子不平衡力的計算與分析展開研究。本文首先總結了半球諧振子動力學計算時采用的基本假設,然后基于該假設計算諧振子的不平衡力,給出不平衡力的理論公式。最后通過數值計算研究不平衡力與駐波方位之間定量的關系,為分析不平衡質量對陀螺精度的影響提供參考。

1 半球諧振子動力學分析基本假設

采用球坐標系對半球諧振子的運動進行分析,諧振子上任意一點的坐標可用(r,θ,φ)描述,如圖1所示。

圖1 半球諧振子的球坐標系定義

為了對半球諧振子做動力學分析與研究,需要基于半球諧振子的結構形式建立基本的假設。目前對半球諧振子的研究主要是基于薄殼理論,該理論的基本假設主要包括:

1) 忽略垂直于中面方向正應變。

2) 中面法線在變形前后仍與中面垂直。

3) 中面不可拉伸。

此外,為了方便對諧振子的不平衡質量進行分析,這里假設不平衡質量沿諧振子周向分布。將不平衡質量沿周向展開為傅里葉級數,有:

(1)

式中:r0為諧振子的平均密度;∈n為第n階不平衡質量的相對值;φn為第n階不平衡質量的方位角。

2 半球諧振子不平衡力的計算

設球面上各點的位移為

(2)

式中:x(t),y(t)為未知函數;U(θ),V(θ),W(θ)為球殼的瑞利函數。

根據薄殼理論的基本假設,可得半球殼上各點位移應滿足方程:

(3)

式中u、v、w分別表示球殼上各點在x、y、z方向的振動位移。將坐標φ分離,并利用式(2)可得關于坐標θ的二階微分方程:

V″sin2θ-V′sinθcosθ-3V=0

(4)

同時在半球頂部有ur=uθ=uφ=0,所以可解得:

(5)

將式(5)代入式(3)可得:

(6)

以及:

(7)

最終可得球殼的瑞利函數:

(8)

由于諧振子的不平衡力主要受周向不均勻質量的影響,因此,在研究諧振子的不平衡力時一般假設諧振子的質量沿周向不均勻分布,并將其沿周向展開為傅里葉級數,如式(1)所示。

設諧振子的振動位移為

(9)

式中:φ0為駐波方位角;A為諧振子的振幅;ω為諧振頻率。

將式(9)代入式(2),并對式(2)求導可計算球坐標系下球面上各點的加速度:

(10)

為了方便計算直角坐標系下的不平衡力,將球坐標系下的加速度投影到直角坐標系。

(11)

由此可計算諧振子在做四波腹振動時的慣性力為

(12)

式中:R為諧振子半徑;a=axe1+aye2+aze3為諧振子上各點的加速度,ei(i=1,2,3)為直角坐標系下的基矢量。

將式(1)、(11)代入式(12)并積分得到諧振子在做四波腹振動時的不平衡力為

(13)

由式(13)可看出,一、三階不平衡質量會引起水平方向的不平衡力,二階不平衡質量僅會引起豎直方向的不平衡力。

3 諧振子不平衡力的計算

表1為諧振子參數的典型值。將表1中參數代入式(13)可計算出各階不平衡力的大小,如圖2～4所示。

表1 諧振子參數的典型值

圖2 一階不平衡力的計算

圖3 二階不平衡力的計算

4 諧振子不平衡力與駐波的關系

假設各階不平衡質量的角度方位均為0,計算駐波在0～2π區間內旋轉時,各階不平衡力的大小與駐波方位間的關系,如圖5～7所示。

圖5 一階不平衡力與駐波方位之間的關系

圖6 二階不平衡力與駐波方位之間的關系

5 結束語

本文研究了諧振子不平衡質量引起的不平衡力,給出了不平衡力計算的詳細推導過程。在此基礎上,通過數值仿真計算了諧振子典型值下各階不平衡力的大小,并計算了各階不平衡力與駐波方位之間的關系。研究表明,一、三階不平衡質量僅引起水平方向的不平衡力,二階不平衡質量僅引起豎直方向的不平衡力。同時,駐波方位在0～2π區間內各階不平衡力均出現2個周期。