一種半球諧振子性能參數(shù)辨識算法

林志輝, 周 斌, 張文明, 張 嶸

(1.清華大學 精密儀器系導航技術(shù)工程中心, 北京 100084;2.中國人民解放軍陸軍軍事交通學院 鎮(zhèn)江校區(qū),江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引言

半球諧振陀螺具有精度高,壽命長,體積小,結(jié)構(gòu)簡單等突出優(yōu)點,在武器制導、艦艇導航及飛行器導航等方面具有廣闊的應用前景[1]。

半球諧振陀螺的精度與諧振子的頻差、頻率主軸、阻尼差、阻尼主軸和品質(zhì)因數(shù)(Q)值等性能參數(shù)有關(guān)[2]。精確地辨識這些參數(shù),既是準確評價諧振子性能的關(guān)鍵,也是離子束修調(diào)工藝消除頻差和阻尼差,提升諧振子性能的前提。

李紹良等[3-4]提出了一種基于幅頻響應特性的頻差和頻率主軸辨識方法,以及一種根據(jù)振動信號包絡周期辨識頻差方法。盧寧等[5]提出了一種通過反復調(diào)整激勵位置尋找頻率主軸,并根據(jù)2個頻率主軸位置的自由振動信號相位差辨識頻差的方法。袁立山等[6]提出了一種在相隔 22.5°的兩個位置上分別進行激勵,根據(jù)自由振動過程中各自節(jié)點的振幅比值辨識頻率主軸的方法。魏振楠等[7-8]提出了一種基于包絡擬合的辨識方法,可以同時測量品質(zhì)因數(shù)、頻差和頻率主軸。這些方法在原理上忽略了阻尼差的影響,無法辨識阻尼差和阻尼主軸,而且當頻差與阻尼差的數(shù)值大小相當時,這些方法將失效。

本文通過分析基于自由振動方程和基于解調(diào)量動力學方程的2種辨識方法的不足,提出一種基于二次型變量E、H、R、S動力學方程的性能參數(shù)辨識方法,并進行了數(shù)值仿真和實驗驗證。

1 辨識算法原理

1.1 辨識方案分析

1.1.1 自由振動方程

半球諧振子的自由振動方程為

(1)

式中:τ0為平均衰減時間常數(shù);Δ(1/τ)為阻尼差;θτ為阻尼主軸;γ為角度增益系數(shù);Ω為角速度;ω0為固有頻率;Δω為頻差;θω為頻率主軸。

根據(jù)自由振動過程中x、y通道的采樣數(shù)據(jù),直接基于式(1)用最小二乘法可辨識阻尼矩陣D和剛度矩陣K,進而計算出Δω、θω、Δ(1/τ)、θτ等參數(shù)。

直接基于式(1)進行辨識存在以下缺點:

1) 數(shù)值計算誤差大。高性能諧振子阻尼矩陣的數(shù)值在10-3量級,剛度矩陣在109量級,Δω和Δ(1/τ)在10-4量級,數(shù)值量級相差大,容易引起較大的數(shù)值計算誤差。

2) 數(shù)據(jù)量和計算量大。諧振子頻率通常在3～10 kHz,采集振動數(shù)據(jù)需要較高的采樣率,而待辨識的參數(shù)量級小,辨識需要較長時間的測試數(shù)據(jù),導致數(shù)據(jù)量和計算量較大。

3) 辨識精度易受溫度變化影響。常溫下,石英玻璃的楊氏模量溫度系數(shù)約為180×10-6,溫度變化1 K,剛度矩陣的數(shù)值變化在105量級,遠大于待辨識參數(shù),易引起較大的辨識誤差。

1.1.2 解調(diào)量動力學方程

使用角頻率為ωr(接近ω0)的正弦和余弦參考信號對x,y進行同步解調(diào),得到4個解調(diào)量(xc、yc、xs、ys)。解調(diào)量與振動信號有如下關(guān)系:

(2)

采用平均法可建立解調(diào)量的動力學方程:

(3)

其中:

(4)

利用最小二乘法辨識矩陣D和W,可以計算出待辨識參數(shù)Δω、θω、Δ(1/τ)、θτ。解調(diào)量是慢變量,且D和W的數(shù)值量級相近,這種方法可以有效地降低計算量和數(shù)值計算誤差,但不足之處在于辨識精度容易受溫度變化影響。矩陣W與ω0有關(guān),溫度變化1 K,ω0數(shù)值變化量遠大于待辨識參數(shù)。

1.1.3 二次型變量E、H、R、S動力學方程

采用二次型變量E、H、R、S作為觀測變量:

(5)

對式(5)求導,并將式(3)代入計算,整理后可得:

(6)

其中:

(7)

da=4γΩ

(8)

(9)

(10)

wc=Δωcos(4θω)

(11)

ws=Δωsin(4θω)

(12)

式(7)～(12)與固有頻率ω0無關(guān),對溫度變化不敏感。本文基于此方程提出辨識算法。

1.2 辨識算法

對式(6)兩端進行積分,將微分方程轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程,得到:

(13)

其中:

(14)

(15)

(16)

(17)

在每個采樣時刻,根據(jù)式(13)可得到4個方程。聯(lián)立這些方程,使用線性最小二乘法可計算出方程參數(shù),進而可根據(jù)方程參數(shù)計算出待辨識參數(shù):

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

對于高Q值、小頻差諧振子,式(13)中的參數(shù)很小,自由振動過程中E、H、R、S變化緩慢。如果諧振子對稱性較高,dc、ds、wc、ws?d0,自由振動過程中E、H、R、S將近似等比例衰減。以上情況使得單個位置的自由振動數(shù)據(jù)易出現(xiàn)病態(tài)方程,導致辨識精度不高。

在多個位置激勵并采集自由振動數(shù)據(jù)進行辨識,可有效地克服以上問題,提高辨識精度和速度。

2 數(shù)值仿真

2.1 辨識精度驗證

采用數(shù)值仿真驗證算法的辨識精度,具體方法為:仿真諧振子自由振動,生成4個解調(diào)量采樣數(shù)據(jù),添加檢測噪聲,并用上述算法進行辨識。仿真使用的相關(guān)參數(shù)如表1所示。由于頻差(0.628 mrad/s)在數(shù)值上小于阻尼差(0.838 mHz),阻尼差不能忽略,傳統(tǒng)辨識方法失效,無法正確辨識頻差和頻率主軸。

表1 仿真參數(shù)

仿真中,分別在圓周角θ=0°和θ=22.5°位置進行激勵,生成2組60 s自由振動數(shù)據(jù)用于辨識。統(tǒng)計100次仿真的辨識結(jié)果,如表2所示。辨識均值誤差和均方差均很小,頻差辨識均方差僅為0.73 μHz,頻率主軸辨識均方差僅為0.12°,阻尼差辨識均方差僅為4.60 μHz,阻尼主軸辨識均方差僅為0.05°。

表2 辨識結(jié)果統(tǒng)計

由表1、2可看出,即使在頻差小于阻尼差的條件下,本文提出的算法也能快速準確地辨識頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。

2.2 測試時長的影響

仿真測試總時長對兩位置法辨識精度的影響,結(jié)果如圖1所示。頻差和阻尼差的辨識均方差σ與測試時長T的關(guān)系為

圖1 測試時長對辨識均方差的影響

(23)

由圖1可知,增加測試時長可有效地提高辨識精度。測試時長增加10倍,辨識精度提高約20倍。

2.3 激勵位置數(shù)的影響

在總時長120 s不變的情況下,仿真研究激勵位置數(shù)對辨識精度的影響。仿真中,激勵位置在θ=0°～22.5°均勻分布。仿真得到的辨識誤差均方差與位置數(shù)的關(guān)系如圖 2所示。兩位置法的頻差辨識精度比單位置法提高了54倍,頻率主軸辨識精度提升了41倍,阻尼差辨識精度提升了36倍,阻尼主軸辨識精度提升了45倍。隨著位置數(shù)繼續(xù)增加,辨識精度持續(xù)下降,原因是單次自由振動時長變短。

由圖2可看出,在總時長不變的情況下,兩位置法的辨識精度明顯高于單位置法。

圖2 激勵位置數(shù)對辨識均方差的影響

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺

基于清華大學自研的離子束修調(diào)系統(tǒng)(見圖3(a))驗證算法的辨識精度。修調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部采用平面叉指電極激勵和光纖干涉儀檢測方案,如圖3(b)所示。

圖3 離子束修調(diào)系統(tǒng)和激勵、檢測裝置

3.2 實驗結(jié)果

為了驗證本文算法在頻差小于阻尼差條件下的實際性能,選擇一個阻尼差較大的諧振子,用本文的算法辨識頻差和頻率主軸,并用離子束將頻差修調(diào)至最小,用兩位置法批量進行參數(shù)辨識實驗。

連續(xù)36組測試的結(jié)果如圖4所示。統(tǒng)計結(jié)果如表3所示。諧振子的頻差約0.100 mHz,阻尼差約8.154 mHz,頻差在數(shù)值上遠小于阻尼差。

表3 諧振子參數(shù)辨識結(jié)果統(tǒng)計表

圖5為單次測試數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。由圖可看出,變量E最大擬合誤差約0.99%,變量H最大擬合誤差約0.10%,變量R最大擬合誤差約0.92%,變量S最大擬合誤差約0.59%。參數(shù)辨識結(jié)果較好地擬合了實測數(shù)據(jù)。

圖5 實測數(shù)據(jù)與辨識結(jié)果對比

理論上,變量H是頻率為Δω的衰減振蕩曲線,但實測數(shù)據(jù)在400 s內(nèi)沒有表現(xiàn)出周期性,說明頻差遠小于2.5 mHz,進一步印證了參數(shù)辨識結(jié)果的正確性。

綜上所述,即使在頻差小于阻尼差的條件下,本文提出的辨識算法也能快速準確地辨識頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)算法不能辨識阻尼差和阻尼主軸,且頻差和頻率主軸辨識精度受阻尼差限制的問題,本文提出了一種基于變量E、H、R、S動力學方程的半球諧振子性能參數(shù)辨識算法。仿真和實驗結(jié)果表明,在頻差小于阻尼差的條件下,該算法能快速準確地辨識頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。