巧借數學問題 演繹精彩課堂

徐小鋒

[摘? 要] 適度、適量的問題在培養學生學習能力、發展學生數學思維、培養學生數學學習興趣等方面具有重要價值. 文章以“基本不等式”第一課時為例，巧借“問題”將知識串聯起來，讓學生在解決問題的過程中深化知識理解、掌握知識本質，有效提升學生的學習品質和學習質量.

[關鍵詞] 問題;數學本質;學習品質;學習質量

在高中數學課堂教學中，為了追求學習速度和容量，部分教師延續利用“以師為主”的講授式教學模式，導致學生的課堂參與率低下. 為了改變這一現象，筆者以“基本不等式”第一課時為例，嘗試從學生已有的知識和經驗出發，通過創設有效的問題讓學生的思維“活”起來，通過合作探究讓課堂“動”起來，以此凸顯學生的主體地位，提高學生的課堂參與率，提升學生的學習能力.

分析教材內容

基本不等式是高中數學的必修內容，根據課程要求，基本不等式教學分為兩個課時，第一課時側重基本不等式的探究，要求學生了解簡單的證明過程;第二課時側重基本不等式的應用. 不過在實際教學中，大多數教師常將內容進行了壓縮，重點強調基本不等式的應用，對基本不等式的探索及證明常常一帶而過. 但由于探索及證明過程的缺失，使學生“只知其然，而不知其所以然”，造成學生的“學”缺乏深度和廣度，影響到了學生學習能力的提升. 鑒于此，筆者將第一課時的教學目標重點放在基本不等式的探究上，引導學生通過多角度探究深化知識理解，同時通過有效拓展發散學生的思維、培養學生良好的思考習慣.

教學設計理念

新課標倡導學生積極主動地探索知識，關注學生自主學習能力的提升與發展. 不過探索知識的過程離不開教師引導，教學中將教師主導和學生主體有機地結合起來不僅可以激發學生的學習興趣，還可以避免學生“誤入歧途”，有利于提高課堂教學的有效性. 在本節課教學中，筆者采取“自主、合作、探索”的教學方式，通過行之有效的問題將教學活動串聯起來，讓學生在問題的驅動下積極參與基本不等式的發展過程，體驗數學探究的樂趣. 在整個教學過程中，筆者堅持“以生為本”，使學生的主體地位得到了保證，學生的學習興趣得到了激發，學生的數學思維得到了發展，課堂氣氛積極、活躍.

教學片段

1. 借助情境，引出新知

師：對于天平大家并不陌生，在物理課和化學課上都看到過，今天老師也帶來了一架天平. 請說一說如何用它來稱物體的質量. （問題1）

生1：將物體放在天平的左托盤，砝碼放在天平的右托盤，讓天平平衡，此時砝碼的質量即為物體的質量.

師：很好，誰動手來做一做？（筆者讓學生用天平稱數學書的質量）

師：今天老師帶來的這架天平，兩臂長略有不同，用這架天平能否準確地稱物體的質量呢？（問題2）

生2：不能. 設物體的質量為M，天平的左臂長為L，砝碼的質量為M，天平的右臂長為L，根據物理學中的杠杜原理可知M·L=M·L，而L≠L，所以不能準確地稱物體的質量.

師：將物體放在左托盤稱出的質量為a，放在右托盤稱出的質量為b，那么物體的實際質量是多少呢？（問題3）

生3：. （學生不假思索地回答）

師：你們同意生3的觀點嗎？（筆者讓學生進行分組探究）

學生積極思考，利用物理學知識計算出物體的實際質量為.

師：那么能否將作為物體的實際質量呢？

生齊聲答：不能，要比較與的大小關系.

設計意圖 從學生已有的知識和經驗出發，與其他學科知識相關聯，借助天平稱物引出新知，并激發學生的探究熱情.

2. 探究大小，引出主題

師：如何判斷與的大小關系呢？（問題4）

問題給出后，筆者預留2分鐘的時間讓學生獨立思考.

生4：可以取一些特殊值進行驗證，其結果為>.

生5：當a=b時，=，所以應該是≥.

師：通過特殊值法猜想得到≥，那么猜想的結果能否作為最終的結論呢？

生齊聲答：不能.

師：如何證明≥呢？

生6：-=（a+b-2）=（-）2≥0，所以≥，當且僅當a=b時取等號.

師：很好，利用比較法驗證了結論，還有其他方法嗎？

生7：因為（-）2≥0，所以a+b≥2，故≥，當且僅當a=b時取等號.

師：很好，生7利用綜合法驗證了結論. 該結論的證明方法還有許多，但限于時間，這里我們就不再一一探究了，在日后章節里再詳細探討.

師：結合生6、生7的推理過程，思考一下，不等式≥中a，b有什么限定條件嗎？（問題5）

生8：a>0，b>0.

師：一定是a>0，b>0嗎？若它們等于0是否成立呢？

生8：哦，等于0也成立，那么限定條件就是a≥0，b≥0.

師：很好. 我們將不等式≥稱為基本不等式，其成立條件是a≥0，b≥0.

師：你們能否用文字語言表述基本不等式呢？（問題6）

生9：對于兩個正數，它們的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

設計意圖 通過問題誘發學生進行猜想，從而引出本課探究主題. 在探究中，筆者引導學生從“數”的角度出發，通過比較法和綜合法驗證結論，并總結歸納出限定條件，以此抽象概括出基本不等式.

3. 探究圖形，理解主題

師：圖1上有兩條線段，其長度分別為a，b，你能利用這兩條線段作出表示的線段嗎？（問題7）

生10：先畫一條直線，在直線上取AC=a，CB=b，線段AB的一半就是. （如圖2所示）

師：很好，還有其他方法作出更多的嗎？（學生不語）

師：聯想我們學過的圖形，看看你有什么發現？

師：很棒，能否在圓O上作出一條線段，使線段的長度為？（問題8）

（問題給出后，筆者鼓勵學生進行小組討論，幾分鐘后各小組都有所發現，筆者點名讓學生回答）

生12：如圖4所示，過點C作DE⊥AB交圓O于點D，E，由射影定理可知DC=.

師：很好，由圖4可知，DO為圓O的半徑，其長度為，DC=，DO與DC存在怎樣的數量關系呢？

生13：觀察圖4可知，DO>DC，當且僅當點C與點O重合，即a=b時，DO=DC，所以DO≥DC，即≥.

師：很好，這樣借助圖形我們進一步解釋了基本不等式. 上述我們用了三種不同的數學語言來表示基本不等式，現在你們是否理解并掌握了基本不等式呢？

生齊聲答：理解了.

（正在筆者想結束基本不等式的探索時，學生又有了其他想法）

生14：老師，還可以用其他圖形來表示基本不等式.

師：哦，還有其他圖形？你來說一說，還可以如何表示呢？

生14：利用圓的切線和割線來表示. 如圖5所示，過圓O外一點A作圓O的切線AD，切點為D，連接AO交圓O于點B，C. 設AC=a，AB=b，由圓的切割線定理可知AD2=AC·AB=ab，故AD=，AO=AC+CO=a+=. 所以在Rt△AOD中，AO>AD，即>. 當且僅當點B，C與切點D重合，則=. 綜上所述，≥.

（生14給出驗證思路后，其他學生的驗證熱情被點燃了起來，很快有學生就想到了其他驗證思路）

生15：如圖6所示，△ACB和△ADE為等腰直角三角形，設AD=DE=，AC=BC=，則S△ACB=b，S△ADE=a，S=，顯然S

師：大家真是太棒了，利用不同的圖形驗證了基本不等式，我這里也準備了一個圖形，圖7是第24屆國際數學家大會會徽，它由8個全等的直角三角形和1個小正方形構成，這個圖形中存在相等和不等的關系，請各小組探究一下，看看你們有什么發現？（筆者帶領學生繼續進行拓展）

生16：如圖8所示，根據已知可得，正方形ABCD由8個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ構成. 設PF=a，PE=b，則S>8S△EPF，也就是（a+b）2>8×ab=4ab，所以ab<

2，即<. 當a=b時，正方形MNPQ縮成了一個點，此時=. 由此，基本不等式得以驗證.

師：太棒了，用多個圖形驗證了基本不等式，數學真是太奇妙了.

設計意圖 從“形”的角度出發，通過師生交流，引導學生借助熟悉的圖形驗證基本不等式.

4. 探究變式，深化主題

師：對于基本不等式≥（a≥0，b≥0），是否可以將其轉化為其他形式呢？（問題9）

學生積極思考，給出了如下形式：

①≥?a+b≥2;

②a+b≥2?≥2?+≥2;

③≥?

2≥ab.

師：基本不等式中的a，b除了代表數字外，還能代表其他的嗎？（問題10）

生17：可以，還可以代表大于等于0的代數式.

師：你能用一些大于等于0的代數式來替換a，b嗎？替換后你能得到什么結論呢？（問題11）

生18：可以用a2，b2代替a，b，則有a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

生19：可以用，代替a，b，則有+≥2（a，b同號）.

師：非常好，這樣其他很多不等式都可以用≥（a≥0，b≥0）衍生出來，所以我們稱它為基本不等式.

設計意圖 通過有效變式深化學生對基本不等式的理解，幫助學生認識數學本質，為后續應用基本不等式解決問題奠定基礎.

5. 例題講解，應用主題

師：學習基本不等式后，看看你能否靈活應用它解決問題. （筆者用PPT給出問題）

（1）若x>0，x+的最小值為____，此時x=____.

（2）若a>0，b>0，且a+b=2，則ab的最大值為____，此時a=____，b=____.

設計意圖 借助應用進一步深化學生對基本不等式的理解，同時讓學生領悟應用基本不等式時應注意“一正、二定、三相等”.

6. 總結回顧，升華主題

師：通過本節課的學習，你有哪些收獲呢？

生20：多元探究有助于深化理解知識.

生21：應用基本不等式解決問題時，一定要注意它的應用條件.

生22：體驗了數形結合、歸納類比等思想方法的應用價值.

……

設計意圖 通過反思、歸納，幫助學生鞏固知識和技能，提高學生的認知水平，培養學生總結概括的能力.

教學思考

本節課教學以問題為主線，不僅有效吸引住了學生的注意力，而且激發了學生參與課堂活動的興趣，帶領學生在解決問題的過程中發現了基本不等式，并通過證明深化了對基本不等式本質的理解. 經歷以上探究活動，筆者有以下幾點教學感悟.

首先，問題在數學教學中的價值是不言而喻的，不過孤立的、隨機的、零散的問題對數學思維的影響往往是微乎其微的，只有將問題“串”起來，形成一條主線，才能讓學生的思維在解決系列問題的過程中變得有序，讓學生的思維得到有效拓展和提升. 因此，教師設計問題時應從整體出發，既要考慮知識結構，又要關注學生的思維發展，借助問題將知識串聯起來，通過每一個問題的解決，強化學生對知識的理解，幫助學生建構完善的認知體系，發展學生的數學思維.

例如本節課教學，筆者通過環環相扣的問題誘發學生深度思考，通過對小問題的解決實現對大問題的突破，使學生的思維發展得更有深度. 比如本節課開始通過一系列問題的探索——“天平準確時如何稱重”“天平不準確時如何稱重”“能否將作為物體的質量”，引出了新知.

其次，教師設計問題時應從學生的現有水平出發，讓學生從最近發展區逐步發展到現有發展區. 要知道，只有問題的設計符合學生的現有認知水平，才能激發學生參與的積極性，從而通過“跳一跳”過渡到更高的認知水平. 由淺入深、由易到難的問題既可以調動學生學習的積極性，又能拓展學生思維的廣度與深度，有助于學習能力的提升.

例如本節課教學，筆者首先帶領學生從熟悉的情境出發，引出基本不等式;其次引導學生證明基本不等式，從“數”的角度出發，從符號語言到文字語言再到圖形語言，通過不同語言的表征深化學生對基本不等式的理解;最后通過基本不等式的適度變形，讓學生從不同角度認識和理解基本不等式. 這既符合學生的認知發展規律，又順應學生的思維發展，有助于激發學生的數學學習興趣和學習信心. 另外，理解基本不等式的幾何意義是本節課的一個教學難點，為了突破這一難點，筆者先引導學生利用線段表示，然后引出半徑為的圓，再從現有圖形出發，讓學生尋找，最終帶領學生用圖形語言表述基本不等式. 通過解決這些具有層次性、梯度性的問題，深化學生對知識的理解.

最后，教師設計問題時應關注問題的拓展性，引導學生多角度、多層次、多方位進行思考，使學生真正把握知識本質，實現知識的融會貫通. 例如本節課教學，筆者引導學生對基本不等式進行變形，這樣既讓學生從更高的角度理解了基本不等式的本質，又為接下來應用基本不等式解決問題奠定了堅實的基礎.

總之，在數學教學中，教師應從教學實際出發，精心設計問題，進而在問題的引領下培養學生的學習能力，發展學生的數學思維，提升學生的學習品質和學習質量.