2022年高考三個圓錐曲線大題命題思路的同一性

摘 要：本文以《2022年高考數(shù)學全國卷試題評析》為指導(dǎo)，探究了2022年高考全國甲卷、浙江卷、北京卷三份試卷圓錐曲線大題在斜率視角下命題思路的同一性，并給出了復(fù)習建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；函數(shù)；斜率；命題思路

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0081-04

國家教育部教育考試院在《2022年高考數(shù)學全國卷試題評析》中提到：高考試卷“突出主干、重點內(nèi)容的考查”“強調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系”“強調(diào)對通性通法的深入理解和綜合運用”“試題通過設(shè)置綜合性的問題和較為復(fù)雜的情境，加強關(guān)鍵能力的考查”“加強學科核心素養(yǎng)考查，強化數(shù)學思想方法的滲透，深入考查關(guān)鍵能力，優(yōu)化試題設(shè)計，發(fā)揮數(shù)學科高考的選拔功能”［1］.其中，函數(shù)（含方程、不等式）和圓錐曲線作為高中數(shù)學的主干知識.一個命題構(gòu)想為：以圓錐曲線為載體，通過圓錐曲線中多個變量的性質(zhì)特征，將解析幾何問題最終轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)（或多變量不等式）問題.從這類構(gòu)想出發(fā)的數(shù)學命題，設(shè)置了復(fù)雜的綜合性問題，彰顯了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，要求學生在作答時，對通性通法有深入地理解，并將相關(guān)知識綜合應(yīng)用.同時，其加強了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查，強化了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、整體、類比等思想的滲透，低入口、多路徑、精準結(jié)果，也很好地發(fā)揮了數(shù)學科高考的選拔功能.因此，這類題目備受高考青睞.縱觀2022年全國高考圓錐曲線大題，筆者發(fā)現(xiàn)其中全國甲卷、浙江卷、北京卷，在圓錐曲線大題的設(shè)置上，從斜率視角出發(fā)，均體現(xiàn)了上述命題思路.

1 題目呈現(xiàn)

例1 （2022年浙江第2題）如圖1，已知橢圓方程x212+y2=1，點P（0，1），A，B是橢圓上異于P的兩點，且AB過點Q（0，12）.若直線AP，BP分別交直線l：y=12x+3于C，D兩點.求|CD|的最小值.

評注 本題是拋物線中的“蝴蝶”模型，通過坎迪定理發(fā)現(xiàn)了直線AB過定點.再通過k1，k2之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求解.其命題思路依舊是由圓錐曲線性質(zhì)知直線AB過定點E（4，0）及k1=2k2，再由函數(shù)知識解答.對于直線AB過定點，也可按常規(guī)思維如下解決：y-yB=4yA+yB（x-xB），即4x-（yA+yB）y+yAyB=0.又yAyB=-8yM·-8yN=-16，故過定點（4，0）.

2 復(fù)習建議

縱觀2022年高考數(shù)學試卷，其“選拔”功能更加明確，題目的綜合度、復(fù)雜度顯著增強，這提醒教師在復(fù)習過程中要注重主干知識、重點內(nèi)容.如本文三個例題的主干知識為函數(shù)與圓錐曲線，重點內(nèi)容為橢圓和拋物線的相關(guān)性質(zhì)、基本不等式的運用.強調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.如雙變量函數(shù)的最值問題，一種常見思路為找到兩個變量之間的關(guān)系，并轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，再結(jié)合變量的取值范圍求得.而從斜率視角下看，圓錐曲線中提供了諸多雙斜率的等量關(guān)系，正好作為函數(shù)問題的良好“導(dǎo)入”.強調(diào)對通性通法的深入理解和綜合運用.如圓錐曲線的通性通法是直曲聯(lián)立，通過韋達定理和整體代換，將相關(guān)量用含k的式子表示出來.在本文的三個例子中，不僅要熟練運用通性通法，還要將不同的k1，k2之間建立等量關(guān)系，如果對通性通法沒有相當程度的理解，把握k1，k2之間的內(nèi)在關(guān)系，就容易“迷失”解題方向.合理設(shè)置綜合性的問題，如函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)，其與數(shù)列、方程、三角、不等式、解析幾何之間都可以建立起良好的綜合關(guān)系［3］.在知識的相似、趨同、承接、對比處合理綜合，便于學生在各個知識間形成通路，促進各個知識的相互理解，構(gòu)建知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).注重學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，圓錐曲線問題是數(shù)學運算培養(yǎng)的良好模板，尤其是其提供了多個含參數(shù)的分式化簡，便于學生反復(fù)練習并對比糾錯.注重數(shù)學思想方法的滲透，在本文三個例子中，圓錐曲線和函數(shù)的結(jié)合，使得數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、整體等思想被發(fā)揮得淋漓盡致.

參考文獻：

［1］教育部教育考試院.創(chuàng)設(shè)情境 發(fā)揮育人作用 深化基礎(chǔ) 考查核心素養(yǎng)：2022年高考數(shù)學全國卷試題評析[J].中國考試，2022（07）：14-19.

［2］ 唐宜鐘.利用圓錐曲線的相似性解決一類問題

［J］.數(shù)理化解題研究，2022（31）：65-67.

［3］ 唐宜鐘.2020年高考圓錐曲線問題解決探索與備考建議［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2021（01）：3-5.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：唐宜鐘（1988.2-），男，陜西省漢中人，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.