一道遞推數(shù)列通項(xiàng)的多解探究

摘 要：本文從一道求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題展開(kāi)深入研究，主要從數(shù)學(xué)歸納法、迭代法、構(gòu)造法和累加法進(jìn)行認(rèn)識(shí)和改進(jìn).

關(guān)鍵詞：通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法；迭代法；構(gòu)造法；累加法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）22-0098-03

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題在各種考試中經(jīng)常出現(xiàn).在大多數(shù)數(shù)列問(wèn)題中，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵，也是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ).此類(lèi)問(wèn)題的出題方式靈活多變，解法也多種多樣.對(duì)于既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，我們需要根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行求解.

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)的一種重要方法.通過(guò)數(shù)列的初始值和遞推公式依次計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要注意項(xiàng)的表示形式能夠反映其規(guī)律性，便于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查學(xué)生的觀察、猜想和歸納的合情推理能力.

迭代法是解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的通用方法，尤其是已知相鄰項(xiàng)的遞推關(guān)系式時(shí)十分有效，利用數(shù)列的遞推關(guān)系式依次輾轉(zhuǎn)代入，發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與序號(hào)之間的變化規(guī)律，最終轉(zhuǎn)化為第n項(xiàng)和第一項(xiàng)的關(guān)系.

構(gòu)造法就是根據(jù)題目的條件和結(jié)論，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式來(lái)解決問(wèn)題的一種方法.

利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，需要將已知的遞推關(guān)系式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危沓上乱豁?xiàng)與上一項(xiàng)的差和項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，形如an+1-an=f（n），然后等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)累加，轉(zhuǎn)化為求f（n-1）+（n-2）+…+f（1）式子的和.

本題中，p=2，q=3，a1=12，滿(mǎn)足a1-pq+1=0，所以an是等比數(shù)列，也就是這種巧合使本身錯(cuò)誤的解法得到了正確的答案.從中可以發(fā)現(xiàn)：若數(shù)列an+an+1是公比不為±1等比數(shù)列，那么數(shù)列an是否也為等比數(shù)列取決于首項(xiàng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭建華.關(guān)注生之問(wèn) 探尋教之策：以一道數(shù)列通項(xiàng)題的求法為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（2）：17-20.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡(jiǎn)介：雷譽(yù)（1991.12-），女，湖北省咸寧人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.