數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在高中物理解題中的應(yīng)用探究

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在高中物理教學(xué)和解題中都有著重要的特殊作用.在物理解題中通過(guò)巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，能夠提高物理解題能力的效率，因此教師要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在物理解題中的應(yīng)用價(jià)值，采取多種途徑與策略引導(dǎo)學(xué)生積極應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法解物理難題，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的運(yùn)用策略，促進(jìn)學(xué)生物理解題能力與效率的全面提高.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)方法；高中物理；解題應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）22-0130-03

物理解題是高中生普遍反映的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提高物理解題能力和解題效率就成為物理教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，為此教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用多種途徑與方法進(jìn)行解題.其中數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在高中物理解題中有著特殊的優(yōu)勢(shì)和作用，是解決物理問(wèn)題的重要和有效方法.同時(shí)物理新課標(biāo)也強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)學(xué)工具在物理教學(xué)中的運(yùn)用，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法進(jìn)行物理解題，以此來(lái)提高物理解題能力和效率.

1 數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在物理解題中的作用

數(shù)學(xué)是物理學(xué)習(xí)的語(yǔ)言和工具.數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法不但在物理理論知識(shí)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中有著重要作用，在物理解題中更是發(fā)揮著獨(dú)特和重要的作用.

一是能夠幫助學(xué)生打牢物理解題基礎(chǔ).要提高物理解題能力，需要對(duì)物理概念、定理、規(guī)律深刻理解全面掌握，而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思想方法有助于更好地幫助學(xué)生理解物理概念、定理、規(guī)律等，能夠把物理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，降低物理問(wèn)題理解與解題難度，幫助學(xué)生打牢物理解題基礎(chǔ).

二是能夠?qū)ξ锢韱?wèn)題進(jìn)行定性定量分析與計(jì)算.數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法能夠幫助學(xué)生對(duì)一些復(fù)雜的物理問(wèn)題進(jìn)行定性或定量分析，精確計(jì)算各物理量之間的關(guān)系，理解各物理量之間的關(guān)系，使學(xué)生更好地理解物理問(wèn)題的本質(zhì)，有利于學(xué)生正確解題.

三是能夠創(chuàng)新高中物理解題思路與方法.借助數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行物理解題，能夠使學(xué)生對(duì)復(fù)雜物理問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使物理解題思維與方法更靈活、更發(fā)散、更豐富，有利于消除學(xué)生在物理解題中的思維障礙，能夠創(chuàng)新物理解題思路方法，從而有利于提高物理解題效率.

2 數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理學(xué)習(xí)和解題中的應(yīng)用非常廣泛，它涉及多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，主要包括：數(shù)軸、坐標(biāo)系、一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、向量、平面與立體幾何圖形、不等式（組）、數(shù)列、圓、概率等數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)靈活運(yùn)用運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)，就能巧妙解決物理問(wèn)題.

2.1 二次函數(shù)與不等式在物理解題中的應(yīng)用

例1 如圖1所示有一質(zhì)量是m的小鐵球系于繩子一端 ，小華握住繩子另一端，讓小鐵球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).小華握繩子的手距地面高度為d，手與小鐵球之間的繩子長(zhǎng)度是0.75d.在某次小鐵球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷開(kāi)，小鐵球飛行水平距離d后落地，已知重力加速度是g.

（1）求小鐵球在圓周最低點(diǎn)時(shí)的速度v1是多少？到地面時(shí)的速度v2是多少？

（2）求該繩子可承受的最大拉力是多少？

（3）假如在最低點(diǎn)剪斷繩子，當(dāng)繩子多長(zhǎng)時(shí)小鐵球水平平拋距離最大？最大水平平拋距離是多少？

（3）x=413r（d-r），此時(shí)可應(yīng)用數(shù)學(xué)中的基本不等ab≤a+b2（當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，即有最大值），可知當(dāng)r=d-r，即繩子長(zhǎng)為12d時(shí)水平平拋距離有最大值x=233d.在此問(wèn)中通過(guò)巧妙運(yùn)用二次函數(shù)和基本不等式公式使復(fù)雜的問(wèn)題容易解決[1].

2.2 三角函數(shù)知識(shí)在物理解題中的應(yīng)用

例2 在圖2中，一個(gè)小球從光滑的斜面頂點(diǎn)零初速下滑，斜面底邊的長(zhǎng)度x保持不變，當(dāng)斜面的傾角θ是多大時(shí)，小球從頂點(diǎn)滑到地面時(shí)間最短？

解析 利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律，很容易求出小球從頂端滑到地面所用的時(shí)間為t=4xgsin2θ，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像可知sin2θ的最大值為1，當(dāng)θ=π4時(shí)取得，即tmin=2xg.本題看似簡(jiǎn)單，但如果運(yùn)用一般方法求解，其過(guò)程比較繁瑣，通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)，使問(wèn)題得到容易解決[2].

2.3 數(shù)列知識(shí)在物理解題中的應(yīng)用

例3 有一個(gè)小球從高度為h0=180 m處自由落下，到達(dá)地面后又多次彈起、落下，最終小球落在地面靜止.小球每次與地面碰撞其速度就減小1n（n≥2）.求小球從第一次下落到靜止所用總時(shí)間和經(jīng)過(guò)的總路程是多少？（g取10 m/s2）

解析 18 s 300 m.

在本題求解中，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式，使該題目容易解決，提高了物理解題效率，也降低了解題難度.

3 數(shù)學(xué)思想方法在高中物理解題中的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)思想方法同樣在高中物理學(xué)習(xí)和解題中的應(yīng)用非常廣泛，它主要涉及轉(zhuǎn)化思想、整體思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想、數(shù)學(xué)歸納法、極值法、圖像法、微元法、類(lèi)比法、代換法、數(shù)學(xué)模型等思想方法.合理巧妙運(yùn)用上述這些數(shù)學(xué)思想方法，有利于降低物理解題難度，拓展解題思路與方法，提高物理解題效率.舉例如下.

3.1 極限思想在物理解題中的應(yīng)用

例4 小強(qiáng)利用拖把拖水平的教室地面，拖把頭質(zhì)量是m，拖把頭與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)是μ，重力加速度為g，小強(qiáng)拖地時(shí)沿拖把桿施力且拖把桿與豎立方向夾角是θ，不考慮拖把桿質(zhì)量.如圖3所示.

（1）如果要讓拖把頭在教室地面上勻速運(yùn)動(dòng)，求需要對(duì)拖把桿施加多大的力？

（2）假如當(dāng)拖把剛好從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，其水平推力與此時(shí)教室地面對(duì)拖把的正壓力的比值是a.已知存在一個(gè)臨界角θ0，當(dāng)θ≤θ0，則不論小強(qiáng)對(duì)拖把桿施加多大的推力，都不能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求tanθ0=？

在本問(wèn)中，就是應(yīng)用了極限數(shù)學(xué)思想，抓住臨界條件得出θ與a的關(guān)系，假設(shè)當(dāng)F無(wú)限大時(shí)，就可得出臨界角的正切值[3].

3.2 數(shù)形結(jié)合思想（圖像法）在物理解題中的應(yīng)用

例5 一只野兔從地下洞的中心沿直線向外爬出，它出洞的速度v與其距離洞的中心的距離s成反比，當(dāng)野兔爬出距離洞的中心s1=1 m的P點(diǎn)位置時(shí)，其速度v1=20 cm/s，求：當(dāng)野兔到達(dá)距洞的中心s2=2 m的Q點(diǎn)位置時(shí)，其速度v2=？從P點(diǎn)到Q所用的時(shí)間t=？

解析 畫(huà)出1v-s圖像.從圖像中可直觀看出Q點(diǎn)的速度是v2=10 cm/s，而且在1 m與2 m豎線與橫軸圍成的面積就是所求的時(shí)間.圖4中陰影部分.

通過(guò)把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形或圖像，就能形象直觀地看出題意或所求結(jié)果，而且數(shù)形結(jié)合思想方法、圖像法也是物理解題的常用方法，同時(shí)本題目還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用了數(shù)學(xué)直角坐標(biāo)的知識(shí)等，有利于降低解題難度，提高解題效率[4].

3.3 逆向思維方法在物理解題中的應(yīng)用例6 如圖5所示，一個(gè)小球以初速度v0從M點(diǎn)開(kāi)始沖上光滑固定的斜面上，到達(dá)斜面最高點(diǎn)P點(diǎn)時(shí)速度剛好為0，當(dāng)小球沖到斜坡長(zhǎng)度34處的N點(diǎn)時(shí)用時(shí)為t，求當(dāng)小球從N點(diǎn)沖到P點(diǎn)所用時(shí)間t1是多少？

通過(guò)應(yīng)用逆向思維方式使解題過(guò)程變得很簡(jiǎn)單，改變了傳統(tǒng)解題思維定勢(shì)，使解題方法得到創(chuàng)新[5].

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在高中物理解題中有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)與作用，既能提高學(xué)生物理解題能力與效率，又能培養(yǎng)學(xué)生靈活的物理解題思維能力，促進(jìn)學(xué)生物理核心素養(yǎng)發(fā)展.因此需要教師和學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在物理解題中的作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法在物理解題中的應(yīng)用訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的運(yùn)用途徑與方法，才能有效解決“物理解題難”的問(wèn)題，提高學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績(jī).

參考文獻(xiàn)：

［1］王金淼.例析數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（20）：45-46.

[2] 李佳駿.數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中運(yùn)用思考探析[J].新教育時(shí)代，2019（32）：21-22.

[3] 李玉文.數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中運(yùn)用的若干思考[J].科技資訊，2020，18（21）：3.

[4] 佘東波.在高中物理教學(xué)中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法[J] 數(shù)碼設(shè)計(jì)，2017（11）：19-20.

[5] 張磊.數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理解題中運(yùn)用的思考[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2019（8）：187-188.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡(jiǎn)介：陶德泉（1979.7-），男，江蘇省蘇州人，從事高中物理教學(xué)研究.