高中數學解題中圓的性質的應用

摘 要：文章通過舉例分析應用圓的性質解決方程類問題、距離類問題、不等式問題、坐標類問題、最值類問題和向量類問題.

關鍵詞：高中數學解題;圓的性質；距離類問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0059-03

圓是一個最完美、最簡潔的幾何曲線，屬于圓錐曲線的一種.圓具有旋轉不變性，擁有無數條對稱軸，且都經過圓心，所有半徑的長度都一樣，弦、切線、圓心角等也各具特色，有著自身的特殊性質.在高中數學解題訓練中，部分試題雖然看起來同圓的關系不大，但是通過對題目信息的認真分析發現可以借助圓的豐富性質來解題，教師應指引學生根據具體題目準確、靈活地應用圓的性質，提高他們的解題能力.

1 應用圓的性質解決方程類問題

在高中數學解題教學中，與方程有關的習題難度比較大，處理此類試題時要綜合用到多方面的知識，教師可引導學生應用圓的相關性質，使其形成清晰、準確的解題思路，幫助他們順利求出題目結果[1].

例1 已知方程4-x2＝k（x-2）+3有兩個不相等的實根，那么k的取值范圍是什么？

分析 本題可以根據方程的特征構造出熟悉且簡單的方程組，再逐層分解，轉變成兩個圖形的交點問題，涉及到圓的性質，即先由數到形，再由形到數，將復雜問題變得簡單化.

解析 根據方程4-x2＝k（x-2）+3有兩個不相等的實根，能夠得到

曲線y＝4-x2和直線y＝k（x-2）+3有兩個不同的交點，其中曲線y＝4-x2表示的是半圓x2+y2＝4（y≥0），直線

y＝k（x-2）+3恒過點P（2，3），據此畫出圖1，則滿足題目條件的直線位于PA和PB之間，kPA＝512，kPB＝34，所以k的取值范圍是512＜k≤34.

2 運用圓的性質解決距離類問題

在處理高中數學求距離問題中，教師可以指導學生運用圓的性質輔助解決，通過圓的圖象能清晰、直觀地看到空間內兩個點之間的距離，以此降低題目的難度，把復雜問題簡單化，有效提高他們的解題速度[2].

例2 與點A（1，2）距離是1，與點B（3，1）距離是2的直線共有幾條？

分析 本題雖然能夠使用代數法來解答，不過較為復雜，運用圓的性質可以將原題轉變成確定兩個圓的公共切線數量問題.

解析 如圖2所示，與點A（1，2）距離是1的直線有無數條，它們是以點A為圓心，半徑為1的圓的切線；與點B（3，1）距離是2的直線同樣有無數條，它們是以點B為圓心，半徑為2的圓的切線，即所求直線是兩圓的公切線，由于|AB|＝（3-1）2+（1-2）2＝5，兩個圓的半徑之和是1+2＝3，5＜3，故兩圓是相交關系，那么這兩個圓的公切線有2條，也就是說符合題意的直線有2條.

3 采用圓的性質解決不等式問題

高中數學教師指導學生解答不等式問題時，除把握好不等式的性質以外，還要學會運用圓的相關性質進行分析，助推他們輕松突破障礙[3].

例3 已知實數x，y滿足x2+y2-4x+6y+11＝0，且不等式x-y+m＜0，那么實數m的取值范圍是什么？

分析 處理這一問題時可以從幾何視角展開分析，x2+y2+Dx+Ey+F＝0所對應的圖形就是圓，本題中的式子剛好符合這一特征，故能夠運用圓的性質來解題.

解析 根據實數x，y滿足x2+y2-4x+6y+11＝0，可以得到（x-2）2+（y+3）2＝2，則點P（x，y）在以點C（2，-3）為圓心、2為半徑的圓上，如圖3所示，根據x-y+m＜0可以得到x-y＜-m，這里只需確定x-y的最大值即可.設x-y＝a表示一組平行直線，圓心到這組平行直線的距離是|2-（-3）-a|2≤2，即為3≤a≤7，故x-y的最大值是7，則實數m的取值范圍是m＜-7.

4 使用圓的性質解決坐標類問題

在高中數學教學中，通常會有一些求坐標類的試題，這時教師可指引學生使用圓的性質進行解題，把圓的知識同坐標系的特征聯系到一起，使其精準找到解題的突破口，快速確定解題思路，增強解題自信[4].

例4 如圖4所示，已知⊙O是以坐標原點為圓心、半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P（x，0）在x軸上運動，過點P且與OB平行的直線和⊙O有公共點，那么x的取值范圍是什么？

分析 雖然這是一道坐標類試題，但是涉及到圓的相關知識，所以要使用圓的相關性質來解題.解析 由于圓O是以坐標原點為圓心、半徑為1的圓，則∠AOB＝45°，過點P′，且與OB平行的直線與圓O相切時，假設切點是D，則OD＝DP′＝1，OP′＝2，所以0＜x≤2，同理可知，當OP和x軸的負半軸相交時，-2≤x＜0，綜上可得-2≤x≤2.

5 利用圓的性質解決最值類問題

高中數學教師在最值類解題訓練中，可以引導學生利用圓的性質輔助求解，使其根據題目具體要求找到求最大值、最小值、最長或者最短的解決方法，幫助他們掌握高中數學中求最值問題的技巧[5].

例5 求函數y＝sinx-1cosx-2的最大值與最小值.

分析 學生通過讀題往往會感覺這一題目與圓沒有關系，其實遇到這類問題時教師需提醒他們樹立“見數思義”的思想意識，使其根據題干中的函數形式聯系到直線的斜率，再結合圓的性質進行解題.

解析 如圖5所示，函數y＝sinx-1cosx-2表示的是經過點A（cosx，sinx），B（2，1）兩點的直線的斜率，其中點A（cosx，sinx）在以點O（0，0）為圓心，1為半徑的圓上，設經過點B的直線方程是y-1＝k（x-2），當它同⊙O相切時，k取得最大值或最小值，根據|-2k+1|k2+1＝1得到k＝0或k＝43，所以函數y＝sinx-1cosx-2的最大值為43，最小值為0.

6 借助圓的性質解決向量類問題

對于高中數學解題教學中的向量類試題而言，大部分學生都是初次接觸，教師可以引領他們借助圓的性質進行解題，當然要以向量的計算法則為基礎，使其能綜合運用這些知識準確、輕松地求解[6].

例6 已知向量OB＝（2，0），OC＝（2，2），CA＝（2cosx，2sinx），那么向量OA與OB夾角的取值范圍是什么？

分析 學生通過對題目內容的閱讀與思考后發現，向量OA的幾何特征是以點（2，2）為圓心、2為半徑的圓，然后借助圓的性質就能夠快速找到解題方向，從而快速解答試題.

解析 根據題意可知OA＝OC+CA＝（2cosx+2，2sinx+2），由此得到動點A的運動軌跡是以點C（2，2）為圓心、2為半徑的圓，如圖6所示，向量OA與OB夾角最大值是∠BOD，最小值是∠BOA.由于∠BOC＝π4，∠AOC＝π6，所以∠BOD＝π4+π6＝5π12，∠BOA＝π4-π6＝π12，也就是表明OA與OB夾角的取值范圍是[π12，5π12].

綜上所述，在高中數學解題活動中，圓的性質可謂是有著相當廣闊的應用空間，不僅可以用來解決幾何類問題，還有助于處理代數問題.教師應深刻意識到圓的性質的作用和優勢，且將這一思想觀念傳遞給學生，使其學會使用圓的性質解答方程、距離、不等式、坐標、最值與向量等問題，助推他們能夠創新與優化解題思路，從而提高整體解題質量.

參考文獻：

［1］ 傅樹兵.例析高中數學與“圓”有關的最值問題[J].數理化解題研究，2023（01）：44-46.

[2] 劉劍華.高中數學解題思路以及解題能力訓練方法研究[J].數理天地（高中版），2022（21）：70-72.

[3] 李莉.“圓的性質”在高中數學解題中的應用[J].數理天地（高中版），2022（18）：10-11.

[4] 楊敬守.高中數學解題方法與技巧及相關問題研究[J].成才之路，2022（17）：126-128.

[5] 朱麗強.高中數學解題技巧之“數”“形”結合策略[J].數學大世界（中旬），2020（02）：18.

[6] 袁榮昕.高中數學解題技巧與方法的學習心得[J].天天愛科學（教育前沿），2019（03）：117.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：李雪梅（1988.2-），女，安徽省亳州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.