多面體外接球的一條重要性質的證明及其應用

摘 要：在高中教材中，與球有關的知識點不多，僅僅只涉及到球的簡單性質、表面積和體積，而高考中，球通常會與棱錐、棱柱進行組合，主要考查棱錐、棱柱的外接球問題.因此我們有必要學習清楚棱錐、棱柱與它們的外接球的關系.本文從“有一個側面垂直于底面的棱錐與它的外接球的關系”說起，給大家介紹解決此類問題的速解方法.

關鍵詞：多面體；外接球；正弦定理

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0010-04

定理 若有一個側面垂直于底面的棱錐的各頂點都在同一個球面上，設此側面三角形的外接圓半徑為r1，底面多邊形的外接圓半徑為r2，此側面與底面的公共棱長為2a，則此棱錐的外接球的半徑R=r21+r22-a2.

證明 如圖1，若側面PAB⊥底面ABC，設△PAB的外接圓的圓心為O1，半徑為r1，底面多邊形的外接圓的圓心為O2，半徑為r2，球心為O，球的半徑為R，此側面與底面的公共棱長為2a.取AB的中點為O3，連接OO1，OO2，OO3，AO.

總之，“有一個側面垂直于底面的棱錐與它的外接球的關系問題”是眾多棱錐、棱柱的外接球問題中的一種類型.此類問題有了上述公式，就不用挖空心思地去找球的球心了，從而降低了試題的難度，使學生的解題速度得以大大提高.不過要提高解題速度，一定要記熟上述公式；還必需要熟練應用正余弦定理解三角形，用正弦定理解三角形外接圓的半徑.

參考文獻：

［1］ 沈清臣.幾類特殊的多面體外接球問題[J].數理化解題研究，2020（28）：61-63.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：李勇（1976.9-），貴州省石阡人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.