利用“賦值驗證法”巧解函數導數中的含參問題

王新建

【摘 要】 ?利用導數研究函數中含參問題是高考的熱點更是難點.本文由2019年浙江高考第22題的解答中得到啟示，談“賦值驗證法”在求解函數導數中含參問題的應用.

【關鍵詞】 ?賦值；驗證；導數；含參問題

1 問題與解答

問題 ??（2019浙江高考22題第二問）已知實數a≠0，設函數f（x）=a ln x+ 1+x ，

x>0.對任意x∈ ?1 ?e ?2 ，+∞ 均有f（x）≤ ?x ?2a ，求a的取值范圍.

解 ??由f（1）≤ 1 2a ，得0

當0

令t= 1 a ，則t≥2 2 ，

設g（t）=t 2 x －2t 1+x －2 ln x，t≥2 2 ，

則g（t）= x ?t－ 1+ 1 x ????2－ 1+x ?x ?－2 ln x，

接下來分x≥ 1 7 和 1 ?e ?2 ≤x≤ 1 7 兩種情況進行驗證.

從而證得當0

本題的解題策略是：先找問題成立的一個必要條件，即f（1）≤ 1 2a ，得到a的范圍0

再驗證這個范圍就是所求a的范圍，即充分性成立.這種由必要性開路，充分性證明收尾的方法，我們稱之為“賦值驗證法”.下面談談“賦值驗證法”在幾類含參問題中的應用.

2 賦值驗證法的應用

賦值驗證法的關鍵是取何值為特殊值進行賦值，難點是求出參數的范圍后，如何進一步“驗證”.

2.1 賦值驗證法第一重應用

利用區間端點賦值，求出參數范圍范圍，進一步求解.

例1 ??若函數f（x）=ax 3－3x+1對任意x∈［－1，1］時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 ??第一步：賦值.

因為對任意x∈［－1，1］，不等式f（x）≥0恒成立，

所以對于特殊的x=－1和x=1，不等式f（x）≥0必成立，

則 ?f（－1）≥0，f（1）≥0，

f（－1）=－a+3+1≥0，f（1）=a－3+1≥0，

2≤a≤4.

第二步：驗證.

當2≤a≤4時，有方程f′（x）=3ax 2－3=0，得x=± ?1 a ?∈［－1，1］，

當x∈ －1，－ ?1 a ??時，f′（x）≥0，

即f（x）在 －1，－ ?1 a ??上單調遞增；

當x∈ － ?1 a ?， ?1 a ??時，f′（x）≤0，

即f（x）在 － ?1 a ?， ?1 a ??上單調遞減；

當x∈ ??1 a ?，1 時，f′（x）≥0，即f（x）在 ??1 a ?，1 上單調遞增.

所以f（x） ?min ?= min ?f（－1），f ??1 a

= min ?－a+4，－2 ?1 a ?+1 ≥0，

解之得a=4.

綜上所述，實數a的取值范圍為a=4.

小結 ??對于不等式f（x）≥0對任意x∈［m，n］恒成立.若端點處函數值f（m），f（n）

包含參數，則可以根據恒成立條件，不等式在端點處也成立，得不等式組 ?f（m）≥0，f（n）≥0，

求出參數范圍，達到縮小參數范圍的目的.同理可研究不等式f（x）≤0對任意x∈［m，n］恒成立問題.

2.2 賦值驗證法第二重應用

函數在區間端點處恒成立，利用一階導數求參數范圍.

例2 ??設函數f（x）=（1－x 2） e ?x，若對任意x∈［0，+∞），f（x）≤ax+1恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 ??第一步：賦值.

令g（x）=f（x）－ax－1=（1－x 2） e ?x－ax－1，易知g（0）=0，

因為對任意x∈［0，+∞），g（x）≤0恒成立，

所以在x=0右側極小區間內g（x）的圖象必須向下，即切線的斜率小于等于零，

所以g′（0）=1－a≤0.

第二步：驗證.

當a≥1時，g′（x）=（1－2x－x 2） e ?x－a，且g″（x）=（－1－4x－x 2） e ?x，

當x≥0時，g″（x）<0，所以導函數g′（x）在［0，+∞）上單調遞減，

又因為g′（x） ?max ?=g′（0）=1－a<0，所以函數g（x）在［0，+∞）上單調遞減，

所以g（x） ?max ?=g（0）=0.

綜上所述，實數a的取值范圍為a≥1.

小結 ??對于不等式f（x）≥0對任意x∈［m，n］恒成立.若端點處函數值f（m）=0或f（n）=0，則可利用一階導數值f′（m）≥0或f′（n）≤0求參數得范圍，達到縮小參數范圍目的.同理可研究不等式f（x）≤0對任意x∈［m，n］恒成立問題.

2.3 賦值驗證法第三重應用

函數在區間端點處的函數值和一階導數值均為零，利用二階導數求參數范圍.

例3 ??已知函數f（x）=x－ ln （x+1），g（x）= e ?x－x－1，若對任意x≥0，不等式kf（x）≤g（x）恒成立，求實數k的取值范圍.

解析 ??第一步：賦值.

令h（x）=kf（x）－g（x）=（k+1）x－k ln （x+1）－ e ?x+1，易知h（0）=0，

因為對任意x∈［0，+∞），h（x）≤0恒成立，

所以在x=0右側極小區間內h（x）的圖象必須向下，即在x=0切線的斜率為小于等于零，

又因為h′（x）=（k+1）－ k x+1 － e ?x，所以h′（0）=0，

又因為在x=0右側極小區間內h′（x）≤0，

所以導函數h′（x）在x=0切線的斜率為小于等于零，

又因為h″（x）= k （x+1） ?2 － e ?x，所以h″（0）=k－1≤0.

第二步：驗證.

①當k≤0時，對任意x≥0，h″（x）= k （x+1） ?2 － e ?x<0，

所以導函數h′（x）在［0，+∞）上單調遞減，

又因為h′（0）=0，所以函數h（x）在［0，+∞）上單調遞減，

又因為h（0）=0，所以對任意x≥0，h（x）≤0，即不等式kf（x）≤g（x）恒成立.

②當0

所以函數h″（x）在［0，+∞）上單調遞減，

所以h″（x） ?max ?=h″（0）=k－1≤0，即函數h′（x）在［0，+∞）上單調遞減，

又因為h′（0）=0，所以函數h（x）在［0，+∞）上單調遞減，

又因為h（0）=0，所以對任意x≥0，h（x）≤0，即不等式kf（x）≤g（x）恒成立.

綜上所述，實數k的取值范圍為k≤1.

小結 ??對于不等式f（x）≥0對任意x∈［m，n］恒成立.若端點處函數值f（m）=f（n）=0且f′（m）=f′（n）=0，則可利用二階導數值f′（m）≥0或f′（n）≤0求參數得范圍，達到縮小參數范圍目的.同理可研究不等式f（x）≤0對任意x∈［m，n］恒成立問題.

2.4 賦值驗證法第四重應用

函數在區間端點的函數值為無限時，可以利用區間中間的特殊值點求參數的范圍.

例4 ??已知函數f（x）= 1 2 ax 2－ ln x（x>0，a∈ R ），若不等式f（x）≥ a 2 對任意x>0恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 ??第一步：賦值.

令g（x）=f（x）－ a 2 = 1 2 ax 2－ ln x－ a 2 ，我們發現g（1）=0，不等式g（x）≥0在x=1處取到等號，

所以在x=1左側極小區間內g′（x）≤0，在x=1右側極小區間內g′（x）≥0，

又因為g′（x）=ax－ 1 x 是（0，+∞）上的單調函數，

所以g′（1）=a－1=0.

第二步：驗證.

當a=1時，g（x）= 1 2 x 2－ ln x－ 1 2 ，方程g′（x）=x－ 1 x = x 2－1 x =0在（0，+∞）上的解為x=1，

當x∈（0，1）時，g′（x）<0，所以函數g（x）在（0，1）上單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，g′（x）>0，所以函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增.

所以g（x） ?max ?=g（1）=0，即對任意x>0，不等式f（x）≥ a 2 恒成立.

綜上所述，實數a的取值范圍為a=1.

例5 ??已知函數f（x）= ?ln x x+1 + 1 x ，如果對任意x>0且x≠1，不等式f（x）> ?ln x x－1 + k x 恒成立，求實數k的取值范圍.

解析 ??第一步：賦值.

不等式f（x）> ?ln x x－1 + k x ，

等價于f（x）－ ??ln x x－1 + k x

= 1 1－x 2 ?2 ln x+ （k－1）（x 2－1） x ?，

令g（x）=2 ln x+ （k－1）（x 2－1） x ，則g（0）=0，且g′（x）= （k－1）（x 2+1）+2x x 2 ，

當00，所以g（x）>0，當x>1時， 1 1－x 2 <0，所以g（x）<0，

即在x=1左側極小范圍內g（x）>0，在x=1右側極小的范圍內g（x）<0，

所以g′（1）= 2（k－1）+2 1 =k≤0.

第二步：驗證.

當k≤0時，由g′（x）= k（x 2+1）－（x－1） ?2 x 2 知，當x≠1時，g′（x）<0，h′（x）單調遞減，

因為g′（1）=0，

所以當00，可得 1 1－x 2 g（x）>0；當x>1時，g（x）<0，可得 1 1－x 2 g（x）>0.

綜上所述，當x>0且x≠1時，f（x）－ ??ln x x－1 + k x ?>0，即f（x）> ??ln x x－1 + k x ?.

對于不等式f（x）≥0對任意x∈（m，n）恒成立.若端點處函數值無限大，則可利用區間中間使得不等式等號成立的點或恒等變形后使得不等式等號成立的點求參數的范圍，達到縮小參數范圍目的.同理可研究不等式f（x）≤0對任意x∈（m，n）恒成立問題.

3 結語

運用“賦值驗證法”實質上是利用必要性求參數范圍，再驗證充分性，它的關鍵點是取何值為賦值點，難點是縮小范圍后的進一步“驗證”.運用此法能夠有效地避免復雜的分類討論，簡化計算，提高解題效率.我們面對具體問題是還要明白，賦值驗證法只是一種解題思想和策略，它不能解決所有含參問題，這就需要平時多思多想多總結，力求做到精準解題.

參考文獻：

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