數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用

香欽源

【摘? 要】? 數(shù)形結(jié)合在數(shù)學解體中應用范圍廣，解決題型多，是解決高考題型的常用解體方法.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;應用解題

1? 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問題中的應用

例1? 若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍是（? ?）

（A）.? ?（B）.? ? （C）.? ?（D）.

分析? 由在定義區(qū)間內(nèi)，

可知函數(shù)在內(nèi)的圖象位于軸上方，

且時，（如圖1所示），

所以底數(shù)應滿足，得，選（A）.

例2? 已知函數(shù)的圖象如圖2所示，則（? ?）

（A）.? （B）.? ? （C）.? ?（D）.

分析? 依據(jù)圖象，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過了點，，，，

因此有

解得，

所以．

顯然由或，

即可解得選（A）．

例3? 求函數(shù)的圖像的基本性質(zhì)

解? 將函數(shù)變式，如圖3所示.

對稱軸是，

增減性：，隨的增大而增大，

，隨的增大而減小，

最值：當時，，頂點坐標，

2? 數(shù)形結(jié)合在方程和不等式中的應用

2.1? 數(shù)形結(jié)合在方程中的應用

例4? 求方程解的個數(shù).

解? 函數(shù)與的圖象如圖4，

即方程的解的個數(shù)，

即函數(shù)，的圖象的交點個數(shù)只有1個解.

2.2? 數(shù)形結(jié)合在不等式中的應用

例5? 解不等式 ，其中.

方法一：∵，依據(jù)題意得．

∴，

∴，

結(jié)合可知．

據(jù)此，兩邊平方得，

∴，

按照三類，，討論取解即可．

方法二：已給不等式和得，

即，

所以，當時，所給不等式的解集為；

當時，所給不等式的解集為．

方法三：作函數(shù)和的圖象，如圖5所示．

得出：當時，不等式的解集為；

當時，所給不等式的解集為．

2.3? 數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應用

例6? 設(shè)函數(shù)．

（1）證明，其中為整數(shù)；

（2）設(shè)為的一個極值點，證明 ．

證明? （1）由函數(shù)的定義，對任意整數(shù)，

有，

∴．

（2）函數(shù)在定義域R上可導，.

令， 得 ．

若，則，

這與矛盾，所以．

當時，．

由于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，

有解，的極值點一定滿足.

當時，

.

2.4? 數(shù)形結(jié)合在最值問題中的應用

例7? 已知，，且.求函數(shù) 的最值.

解? ?∵ ∴.

∴.

又∵，

∴.

∴梯形頂點坐標為，，，

設(shè)，

則，是經(jīng)過點且斜率為的直線在軸上的截距.

觀察平行線簇，易知截距取最大值，截距為最小 .

∴? ?.

2.5? 數(shù)形結(jié)合在幾何中的應用

例8? 四棱錐中，底面為矩形，

側(cè)面底面，，，．

（1）證明：；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小．

①證明? 作，垂足為，連接，

由題設(shè)知，底面，且為中點，

由知，∽，

從而，于是，

由三垂線定理知，.

②由題意，，所以⊥側(cè)面，

又側(cè)面，所以側(cè)面⊥側(cè)面.

作，垂足為，連接，則平面，

故為與平面所成的角，，

由，得，

又，因而，所以為等邊三角形，

作，垂足為，連接.

由（I）知，，又，

故平面，

，∴是二面角的平面角.

所以二面角為

參考文獻：

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