數形結合思想在解題中的應用

王蕓

【摘? 要】? 數學是研究數量關系與空間形式的科學，數形結合思想是連結數和形的橋梁，將數的抽象性與形的直觀性相結合，使得抽象思維與形象思維相結合.本文通過對初中數學中考真題中的具體真實例題進行研究與分析，將其分為三種類型：用數解形、用形解數和數學結合，探究其在解決幾何問題、不等式問題、函數類問題和概率論問題中應用的優越性，得出一些在解題中使用數形結合思想的優點.

【關鍵詞】? 初中數學；數形結合；解題教學

初中學生的思維正處于從形象到抽象的過渡階段，對于抽象數學知識的理解仍然有些困難.數字和形狀的結合可以聯結數學知識的抽象和直觀兩個方面.初中數學中主要有兩個分支，代數與幾何，它們并不是彼此獨立的，而是緊密相關的.在解決數形結合類問題時，有時會面臨著較大計算的代數問題，這些問題單純地依靠代數法解決比較繁瑣，計算量較大且容易出現計算錯誤.但是在變成一個直觀的圖之后，使用圖形的相關性質就可以很容易地解出結果.有時我們會發現由于缺少輔助線而無法研究的幾何圖形，但是通過諸如建立坐標系的方法將其轉化為代數問題來研究就能夠輕松地解決.在教學過程中應用數形結合思想能夠提升學生的知識應用能力和數學學科核心素養.

1? 數形結合思想在中學數學解題中的應用

1.1? 以“數”化“形”

1.1.1? 利用代數法解決幾何問題[13]p11-12

例1? 如圖1，，

則S?AGC=_________

解析? 延長AG，CG分別交AB，BC于點D，E，連接DE，所作圖如下圖2所示.

在Rt ?ABC中，因為∠BAC=90 ?，AB=6，AC=4，

所以，

因為G是?ABC的重心，

所以AG=2EG，CG=2DG，

又因為D，E分別是AB，BC的重點，

所以DE∥AC，且.

設S?DGE=m，則S?ADG=S?EGC=2m，S?AGC=4m，

所以S?ADE=S?BDE=3m，則S?ABC=12m，

因為12m=12，

所以m=1，所以S?AGC=4.

解析? 這個例題是關于求解三角形的面積問題，解決問題的過程，需要用到兩個相同高度的三角形的面積之比等于兩個底部的線段的長度.雖然題目中給出的已知條件很少，但是我們可以通過題干尋找到題目的隱藏條件，即重心的性質，只要抓住這個重要的性質就可以順利地利用代數的方法進行解題，使得原本的幾何問題簡單化.這道例題如果直接求解?AGC的面積比較困難，解題步驟比較繁瑣，這時需要應用數形結合思想進行解題，嘗試選擇用代數的方法去解決問題，這樣就可以簡化書寫解題的過程.

1.1.2? 利用面積法解決幾何問題

例2? Rt?ABC中，∠ACB=90?，a，b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證：

解析? 在Rt?ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB，

所以，

從而ab=AB·h，則a?b?=AB?·h?=（a?+b?）·h?，

兩邊同時除以a?+b?，得：.

面積法的一大優點是能夠具體化和可視化抽象問題.用面積法解決數學問題既可以發展圖形感，同時可以深入理解各種問題的共同點.此外面積法還可以起到訓練學生數形結合意識的作用.這個例題要證明邊長與高之間的數量關系式，單純地從圖形上來判斷，很難知道他們之間的關系.運用面積法可以輕松地通過面積表達式找出數量關系，從而順利地求解出結果.這道例題要求證明線段之積相等，而且題目所給的條件很少，因此解題時要有發散性的思維.運用面積法進行證明，只需要兩步就可以證明出來，大大提高了解題效率.應用面積法解決幾何問題不僅可以鍛煉學生的數形結合的意識，而且能夠豐富學生的數學解題方法.

1.2? 以“形”解“數”

1.2.1? 利用圖形解決不等式問題

例3? 解不等式組，并寫出它的所有負整數解[14]p12.

解析? 解不等式，得；解不等式，得.

所以原不等式組的解集是，

這道例題不僅要求解不等式組的解集，而且要求寫出所有的負整數解.如果不利用數軸解決問題，那么很容易將負整數有所遺漏，造成解題結果不完整.這時利用數形結合思想，借助數軸解題，通過數軸來表示不等式組的解集會顯得簡單且清楚，可以清晰直接地看出所有的負整數解，不僅可以提高了解題的速度，而且可以提高了解題的正確率.

1.2.2? 利用圖形解決函數類問題

例4? 已知一次函數（k為常數，k≠0）和[14]p9

（1）求x的取值范圍；

（2）請結合圖像，直接寫出k的取值范圍.

解析? （1）

根據題意，得，

解得.

（2）-4≤k≤1且k≠0.

如圖7所示，直線恒過點D（0，2），

與直線x=1交于點C（1，k+2），

直線經過點A（3，0），B（1，-2），

過點D作DF∥AB，則直線DF的函數表達式為.

所以直線DF交直線x=1于點F（1，3）.由圖7可知，當點C在線段BF上時， 所以-2≤k+2≤3，即-4≤k≤1.又因為k≠0，所以-4≤k≤1且k≠0.

這道例題是有關一次函數的題，在解決函數類問題中，首先要想到繪制圖像，借助平面直角坐標系畫出函數的圖形進行研究分析.函數類的題目一般綜合性比較強，常常作為試卷中的壓軸題，難度較大，主要是針對學生綜合解題能力的考察.在解決問題中，利用數形結合思想，可以建立函數關系式與平面圖形之間的對應，更有利于分析題中所給出的條件.題目中給出了兩個一次函數的表達式，在解題過程中，需要在同一個坐標系中畫出兩個函數的圖像，借助圖形研究函數y1 與y2 的大小關系.在解決函數類問題的過程中應用數形結合思想，通過所畫的函數圖像的直觀性，可以快速地求解出結果，從而能夠提高學生的解題能力.

2? 結語

數形結合思想是最重要的數學思想之一，普遍應用于初中數學的教學中.本論文主要研究應用其思想在解決數學問題中的作用，以及對當前的教學應用現狀進行研究與分析，針對教學過程中存在的問題提出了一些改善現狀的措施，可以提高學生的學習興趣及更加容易接受應用數形結合思想去解題.《數學課程標準》不僅把“數學思考”作為總體目標之一提出，同時還將“雙基”改為“四基”，即基礎知識，基本技能，基本數學思想，基本活動經驗. 數學思維教學是提高學生數學思維能力的基本條件，也是養成良好思維習慣的基礎.

參考文獻：

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