對一道中考幾何題的變式研究

張一檣

【摘? 要】? 在初中幾何三角形問題的學習中，題目往往側重考查基本圖形，同時條件和問題靈活多變，易成為學生學習的難點.梳理核心知識，把握基本圖形，適當變式拓展是培養(yǎng)學生思維能力的關鍵.本文以2021年杭州中考數學第21題為例，談談如何挖掘試題內涵，進行變式拓展.

【關鍵詞】? 初中數學；三角形；變式練習

1? 試題呈現

2021年杭州中考數學第21題：如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

（1）求證：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面積．

本題以三角形為背景，考查角平分線的意義，三角形內角和、外角，等腰三角形的性質和判定、解直角三角形、三角形的面積等知識，難度中等.

2? 變式探究

仔細觀察本題的圖形，不難發(fā)現本質是由一副三角板背靠背拼接而成.這對特殊三角形是初中幾何三角形問題的基本圖形.深究此題，可以拓展延伸出很多內容，本題的變式可以有以下幾個方面.

2.1? 條件不變，改變問題

變式1? 如圖2，增加線段AE和BD的交點O，不改變原題的條件，改變問題.

（1）求證：AO =BO；

（2）若AE =3，求OD∶OB的值.

證明? （1）因為AE⊥BC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

可得∠ABD =∠BAE =30°，

所以AO=BO.

解? （2）在Rt△AEB中，BE =，AB =，

在Rt△BOE中，OE =1，BO =2，

因為∠BAD =180° -∠ABC -∠C =75°，

∠ADB =∠C +∠DBC =75°，

所以∠BAD =∠ADB，AB =BD =，

所以OD∶OB =.

在原圖的基礎上繼續(xù)深究，不難發(fā)現，圖中每一個角的度數都是確定的，進而可以發(fā)現△AOD∽△CBA.因此，第二問也可以進一步加大難度，改編為思維含量更高的題型，如：求AD的長、求四邊形ODCE的面積等，充分考查相似三角形的性質和判定等知識技能.

變式2? 如圖2，不改變原題的條件，改變問題.

（1）求證：△AOD∽△CBA.

（2）若AE =3，求AD的長.

證明? （1）因為AE⊥BC，∠ABC＝60°，∠C＝45°，

可得∠EAC＝∠C =45°，

∠BAE＝90° -∠ABC=30°，

又BD平分∠ABC，

則∠ABD =∠ABC =30°，

所以∠AOD =∠ABD+∠BAE = 60°，

則∠AOD =∠ABC，

所以△AOD∽△CBA.

解? （2）由（1）可得，在Rt△AEC中，AE = EC =3，

則AC =，

在Rt△AEB中，BE =，AB =，

則BC =3+.

由變式1得，AO =BO =2，

因為△AOD∽△CBA，

所以，

得，

所以AD =.

2.2? 改變條件，深挖問題

若改變三角板疊放的方式，變背靠背為重疊放，可以產生新的情境.

變式3? 如圖3，在Rt△AEC中，∠AEC= 90°，∠ABE的角平分線BD交AE邊于點D．已知∠ABE =60°，∠C=45°．

（1）求證：AD=BD；

（2）若AE =3，求△ABC的面積．

證明? （1）由題可知，∠ABD＝∠ABE=30°，∠C＝∠EAC = 45°，

則∠BAC=∠ABE-∠C=15°，

∠BAE=∠EAC -∠BAC =30°，

所以∠BAE =∠ABD，

所以AD=BD.

解? （2）若AE＝3，則CE =3，BE =，BC =3-，

所以.

也可以去掉原題中AE這條高，使圖形變得更為簡單，考查學生做輔助線構造特殊直角三角形的能力.例如：

變式4? 如圖4，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．若AB＝3，求△ABC的面積．

分析? 當三角形的問題中出現特殊角時，應把特殊角放到直角三角形當中去尋找邊角關系，因此過點A向BC邊作垂線段，構造兩個直角三角形，解直角三角形，原題就可迎刃而解.

原題的圖形由于其固定性，因此所有的線段和角度都是確定可求的，我們也可以打開思路，讓圖形動起來，使問題變得更為靈活開放.去掉圖形，改編成如下問題：

變式5? 已知在△ABC中，AB =2，AC =，BC邊上的高AE =，求∠BAC的度數.

解? 根據題意構造圖形，如圖5.由AB =2，AC =，

AE =可知，∠BAE =30°，∠CAE =45° .

若高AE在△ABC內，則∠BAC =∠CAE +∠BAE = 75°.

若高AE在△ABC外，則∠BAC =∠CAE -∠BAE =15°.

在無圖的情況下，需要學生自行作圖嘗試進行分析.由于三角形的高不確定，這個問題有兩種情況，需要分類討論.這樣的問題，考驗學生對數據的敏感度，作圖能力和分類討論思想.也可以在學生探究出兩種情況的基礎上，進一步引導他們，圖中還有哪些量可以求？如求BC的長，求△ABC的面積等，以此拓展學生思維的深度.

3? 結語

從這道簡單的中考題里，我們通過改變問題、改變條件等方式，探究出了三角形一系列問題的廣闊天地.在八年級時，這道題的圖形可以利用三角形內角和來研究角度，在九年級則可以利用勾股定理和相似研究線段長度、周長、面積等.不論哪種問題，到最后都回歸到某一個三角形中，尤其是特殊三角形中.因此，把握基本圖形，掌握核心知識方法，鎖定三角形再展開研究，這是日常教學中我們應讓學生意識到的.

參考文獻：

[1]鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅.變式教學研究（續(xù)）[J].數學教學，2003（02）：6-10+23.

[2]祖惠泊.變式在初中數學教學中的應用研究[D].北京：首都師范大學，2004.

[3]謝全苗，劉淑珍.變式教學——研究性學習的一種模式[J].中學數學教學參考，2004（10）：4-6+9.