基于逆向思維的初中數學解題

李奎安

【摘 ?要】 ?逆向思維是通過已知條件推進的一種思維方式，將其運用于初中數學的解題教學中，不僅能激發學生的學習興趣，而且能提高學生的解題靈活性與敏捷性.因此，初中數學的解題教學中，教師需注重培養學生的逆向思維，引導學生進行逆向思考，從而有效解決相關數學問題.

【關鍵詞】 ?初中數學；逆向思維；解題策略

初中數學的解題教學中，數學思維以及思維習慣通常對解題步驟的優化以及解題正確率有著重要影響，逆向思維作為一種常見的解題思維，又稱作反向思維，是發散思維培養的一種重要形式，主要采取與慣性思維相反的方式對數學問題進行分析與推理，即突破慣性思維，在已具備的知識體系基礎上，形成深層次的理解與認知.將逆向思維運用于初中數學解題中，可有效激發出學生的邏輯思維，促進學生的思維靈活性，提高學生的思維開放性，使學生實現高效解題.

1 ?基于逆向思維解答否定性命題

例1 ?已知：△ABC的內角分別為∠A、∠B、∠C.

求證：∠A、∠B、∠C中不存在兩個角為直角.

解析 ?證明題中出現了“不是”“沒有”“不能”等詞，這是典型的否定性命題，若直接證明，就要找出所有的可能情況，并加以論證，這個證明過程十分繁瑣.而通過逆向思維的運用進行逆向推導，則能高效解答.

證明 ?假設∠A、∠B、∠C存在兩個角為直角，

設∠A＝90°，∠B＝90°，

則有∠A＋∠B＋∠C＞180°，

依據該結果，其與三角形內角和為180°的定理相矛盾.

二者存有沖突，故∠A＝90°，∠B＝90°的假設是不成立的，

即證∠A、∠B、∠C中不存在兩個角為直角.

2 ?基于逆向思維解答存在性命題

例2 ?過O點作七條直線，試證明：以O為頂點相鄰的兩條直線形成的夾角中必然有一個角是小于26°的.

解析 ?涉及“存在”等詞的試題，運用逆向思維可假設為“沒有一個”.首先，過O點作出7條直線，相鄰的兩條直線形成的夾角共14個，這些角的和是360°，并通過逆向思維，設各個角都不小于26°；其次，將這些角的度數相加求和，判斷其與360°的大小，即可證明命題.

證明 ?將O作為頂點的角中，相鄰的兩條直線形成的夾角一共有14個，若必然有一個角是小于26°，而14個角恰當形成一個周角，

假設14個角都大于26°，

那么，14個角的和大于且等于14×26°＝364°＞360°，

這和周角的度數是360°相矛盾，

即得證以O作為頂點的角中必然有一個角是小于26°的.

3 ?基于逆向思維解答“至多”“至少”的命題

例3 ?任意給出三個實數，下列不等式中，至多有兩個不等式是同時成立的：|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|.

解析 ?證明本題中出現的“至多”，學生常常無法理解，此時，可通過逆向思維，假設三個不等式均成立，則能有效證明本題.

證明 ?依據實數的性質，設實數a、b、c是數軸上的三點，如圖1中的A、B、C所示，

則存有|a|＝OA，|b|＝OB，|c|＝OC，

|b－c|＝BC，|c－a|＝AC，|a－b|＝AB，

假設三個不等式均成立，那么，|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|，

即AO＜BC，OB＜AC，OC＜AB，

且OC＝OB＋BC＞OB＋OA＝AB，

此時，OC＞AB，與假設矛盾，

故|a|＜|b－c|、|b|＜|c－a|、|c|＜|a－b|至多有兩個不等式是同時成立的.

例4 ?已知，證明：、、中至少有一個是不小于.

解析 ?存在“至少”詞匯的解題中，可通過逆向思維，將至少存在n個，假設為至多存在（n+1）個，也就是假設、、均小于即可.

證明 ?假設、、均小于，

那么①，

②，

③，

即有④，

⑤，

⑥，

式子④+式子⑥可得：⑦，

由于式子⑤與式子⑦是矛盾的，故可證原命題成立.

4 ?基于逆向思維解答幾何問題

例5 ?如圖2，△ABC中，AB⊥AD，AC＝AB，BC和AD相交于點E，且BC⊥DC，AD和DC相交于點D，證明：AC2＝AD·AE.

解析 ?在解題時，無法從已知條件中找到證明思路，教師就可以指導學生通過逆向思維加以證明.即想要證明：AC2＝AD·AE，可將其變形成，為了得到該結論，就需證明△ADC∽△ACE，依據圖2得：∠CAD與∠EAC是公共角，由此可斷定三角形相似，并證明結論.

證明 ?因為AB⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

又因為∠CED=∠BEA，所以∠D=∠B.

因為AC=AB，

所以∠BCA=∠B=∠D，

即在△ADC與△ACE中，∠ECA=∠D，∠CAD=∠EAC，△ADC∽△ACE，所以，即證AC2=AD·AE.

5 ?結語

綜上所述，初中數學的解題教學中，教師需充分認識到逆向思維的作用，并通過逆向思維在實際例題中的應用講解，讓學生形成相應的邏輯思維，以實現解題效率的提高.

參考文獻：

[1]梁玲.初中數學解題中逆向思維的應用[J].數理天地（初中版），2022（16）：51-52.

[2]龔愛峰.初中數學解題教學中逆向思維的應用[J].讀寫算，2021（28）：155-156.