例談圓錐曲線離心率取值范圍的求解策略

袁繼華

【摘 要】 ?本文以近幾年的高考試題和模擬試題為例，談談離心率取值范圍的常見題型的應對策略，以供參考.

【關鍵詞】 ?離心率;圓錐曲線;不等關系

1 利用已知條件構建不等式

例1 ??已知橢圓C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的右焦點為F，上頂點為B，直線l：x－y=0與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足 MF + NF =4，且點B到直線l的距離不小于 ?2 ?2 ，則離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ?3 ?2 ?. ????（B） ???3 ?2 ，1 .

（C） ?0， ?2 ?2 ?. ???（D） ???2 ?2 ，1 .

解析 ??設E為橢圓的左焦點，連接ME，NE，則四邊形NFME為平行四邊形，

所以 NE + NF = ME + MF =2a=4，

所以a = 2，由點B（0，b）到直線l：x - y = 0的距離不小于 ?2 ?2 ，

即 ?b ??1+1 ?≥ ?2 ?2 ，所以b≥1，

所以橢圓的離心率e= c a = 1－ ?b a ???2 = 1－ b 4 ??2 ≤ 1－ 1 4 ?= ?3 ?2 ，

所以0

評注 ??本題利用左焦點E作平行四邊形NFME，把條件“ MF + NF =4轉化為 ME + MF =2a=4”，根據條件“點B到直線l的距離不小于 ?2 ?2 ”構建b的不等式，進而求解.解題時注意橢圓定義的靈活應用.

2 利用圖形中幾何量的范圍構建不等式

例2 ??已知F1 ，F2 是雙曲線C： x 2 a 2 － y 2 b 2 =1 a>0，b>0 的左，右焦點，若雙曲線上存在點P滿足PF1 ?·PF2 ?=-a 2，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ??3 ，+∞ . ???（B） ??2 ，+∞ .

（C） ?3，+∞ . ?（D） ?2，+∞ .

解析 ??由題意，取點P為右支上的點，設|PF1| =m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ，

根據雙曲線的定義知m－n=2a，

在△F1PF2中，由余弦定理可得

cos θ= m 2+n 2－4c 2 2mn ，

又因為PF 1 ??·PF 2 ??=-a 2 ，

所以mn cos θ=-a 2，

即m 2+n 2=4c 2－2a 2，

又因為m≥a+c，n≥c-a，

所以 c+a ??2 + c-a ??2 ≥4c ?2 -2a ?2 ，

得c 2≥2a 2，即e≥ ??2 ，故選 ??（B） .

評注 ??涉及焦點三角形問題時，要充分利用圓錐曲線的定義、性質、正弦定理、余弦定理以及平面向量等知識解決問題.本題根據題設，利用雙曲線的定義，余弦定理得到關于m，n的等式，關鍵是性質m≥a+c，n≥c－a的發現難度較大.

3 利用判別式構建不等式

例3 ??已知橢圓C：x 2+ y 2 b 2 =1（b＞0且b≠1）與直線l：y=x+m交于M，N兩點，B為上頂點.若 BM = BN ，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ?2 ?2 ??. ??（B） ???2 ?2 ?， 1 .

（C） ???6 ?3 ?， 1 . ??（D） ?0， ??6 ?3 ??.

解析 ??設直線 l：y=x+m與橢圓C：x 2+ y 2 b 2 =1交于M x1，y1 ，N x2，y2 兩點，

聯立 ?y=x+m，x 2+ y 2 b 2 =1，

得（b 2+1）x 2+2mx+m 2-b 2=0，

所以x1+x2=- 2m b 2+1 ，x1·x2= m 2-b 2 b 2+1 ，

Δ=（2m） ?2－4（b 2+1）（m 2-b 2）

=4b 2（b 2+1-m 2）>0，

設線段MN的中點為G，

則G － m b 2+1 ， b 2m b 2+1 ?，

因為 ?BM = BN ，所以直線BG垂直平分線段MN，所以直線BG的方程為y=－x+b，且經過G點，

可得 b 2m b 2+1 = m b 2+1 +b，

所以m= b 3+b b 2－1 ，

因為b 2+1-m 2>0，

所以b 2+1- ?b 2+b b 2-1 ???2>0，0

因為e 2=1－b 2，所以 ?6 ?3

評注 ??涉及圓錐曲線與直線位置關系的問題常常轉化為方程組解的個數問題，化簡后用一元二次方程根的判別式求出參數的取值范圍，進而求解.這道題綜合性較強，需要聯立方程組， 利用判別式構造出b與參數m的不等式，消去參數m，求出b的范圍，進而求出答案.

4 利用基本不等式構建不等式

例4 ??已知橢圓M： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 a>b>0 的左，右焦點分別是 F1 ，F2 ，P為橢圓M上任意一點，且 PF1 · PF2 的最大值的取值范圍為 ?1 2 c 2，3c 2 ?（c 2＝a 2－b 2），求橢圓的離心率的取值范圍.

解析 ??因為P是橢圓上一點，

所以 PF1 ＋ PF2 ＝2a.

所以2a＝ PF1 ＋ PF2

≥2 ?PF1 · PF2 ?，

即 PF 1 ?· PF 2 ?≥ ??PF 1 ?+ PF 2 ??2 ???2

＝ ?2a 2 ???2 ＝a 2 ，

當且僅當 PF1 ＝ PF2 時取等號.

所以 1 2 c ?2 ≤a ?2 ≤3c ?2 ，所以 1 3 ≤e ?2 ≤2，

又因為0

所以橢圓離心率e的取值范圍是 ??3 ?3 ，1 .

評注 ??涉及最值的問題時，往往考慮能否用基本不等式解決問題.本題根據橢圓的定義給出 PF1 與 PF2 的數量關系，再依據條件結合基本不等式求得最值時的取值，注意等號成立的條件.

5 利用三角函數的有界性構建不等式

例5 ??已知雙曲線 x 2 a 2 － y 2 b 2 =1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是 .

解析 ??由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|=2a，

又|PF1|=4|PF2|，

所以 PF1 = 8 3 a， PF2 = 2 3 a，

在△PF1F2中，由余弦定理

cos ∠F1PF2= ?64 9 a 2+ 4 9 a 2－4c 2 2· 8 3 a· 2 3 a = 17 8 － 9 8 e 2，

因為點P在雙曲線的右支上，

所以∠F1PF2∈ 0， ?π ??，

cos ∠F1PF2∈ -1 ， 1 ，

-1≤ 17 8 - 9 8 e ?2 <1，即1

所以雙曲線的離心率的取值范圍是 1， 5 3 ?.

評注 ??本題解法利用余弦函數的有界性，構造關于離心率的不等式，首先由雙曲線定義和余弦定理建立 cos ∠F1PF2和離心率的函數關系式，根據∠F1PF2的余弦值范圍得到答案.