一道不等式證明題的多解探究

王學會

【摘 要】 ?不等式的證明有較強的綜合性，方法靈活，對學生的思維能力有較高的要求，一直是教學難點.對不等式的證明問題進行多解探究是培養學生發散思維能力、提升數學素養的良好素材.

【關鍵詞】 ?不等式;函數;換元;消元

試題呈現 ??已知正數a，b滿足a+2b=4，求證： 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

分析 ??這個問題可以將不等式的左邊看成一個二元函數，轉化為求函數的最小值問題，也可以從不等式的角度，用“作差法”證明.

解法1 ?????配湊，“1”值代換

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1 ??，

將條件a+2b=4變形為 a+1 + 2b+1 =6，

1 a+1 + 1 2b+1

= 1 6 ??1 a+1 + 1 2b+1 ???a+1 + 2b+1

= 1 6 ?2+ a+1 2b+1 + 2b+1 a+1 ?，

因為 a+1 2b+1 + 2b+1 a+1 ≥2 ???a+1 2b+1 · 2b+1 a+1

=2，

當且僅當 a+1 2b+1 = 2b+1 a+1 時取等號，

又因為a+2b=4，所以當且僅當a=2，b=1時取等號.

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1 ≥2+ 1 6 × 2+2 = 8 3 .

評析 ??上述方法從要證的結構出發，通過巧妙配湊，將已知條件a+2b=4和結論聯系起來，轉化為利用基本不等式求最值問題.

解法2 利用基本不等式

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2 ????2b+2 ?a+2 ??a+1 ?2b+1

=2 ???2ab+4b+2a+4 2ab+a+2b+1

=2 ?2ab+12 2ab+5 ?=2 1+ 7 2ab+5 ?，

當且僅當 2b+2 a+1 = a+2 2b+1 時取等號，

又因為a+2b=4，

所以當且僅當a=2，b=1時取等號，

因為a+2b=4≥2 ??2ab ，

所以ab≤2，（當且僅當a=2b時，

即a=2，b=1時取等號），

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2 ??1+ 7 2ab+5

≥2 ?1+ 7 2×2+5 ??= 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評析 ??上述解法兩次運用基本不等式求最值，要特別注意兩點：一要滿足不等式性質的傳遞性，二要使兩次等號成立的條件相同.

解法3 換元法

設2b+1=x x>1 ，a+1=y y>1 ，

由條件a+2b=4，得x+y=6，

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x+1 y + y+1 x

= x y + y x + 1 y + 1 x ，

因為 x y + y x ≥2 ???x y · y x ?=2，

當且僅當 x y = y x 即x=y時取等號，

即2b+1=a+1，即a=2，b=1時取等號.

又 1 x + 1 y = 1 6 ??1 x + 1 y ??x+y

= 1 6 ?2+ x y + y x ?≥ 2 3 ，

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x y + y x + 1 x + 1 y

≥2+ 2 3 = 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評析 ??上述通過換元法將復雜的式子簡單化，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，將問題明朗化，從而化難為易.

解法4 消元法

由條件a+2b=4得2b=4－a，

由b>0得0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a

= －2 －a 2+4a+5 +42 －a 2+4a+5

=－2+ 42 －a 2+4a+5 ，

對于－a 2+4a+5=－ a－2 ??2+9，

當a=2時取得最大值9，

－2+ 42 －a 2+4a+5 取得最小值 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

評析 ??此法通過消元將雙變量函數轉化為單變量函數，這是求函數最值的通法，也是學生最易掌握的方法.

解法5 作差法

由題意可得

2b=4－a，其中0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a ?，

因為 2a 2－8a+32 ?a+1 ?5－a ?－ 8 3 = 14 a ?2 -4a+4 ??a+1 ?5-a

= 14 a-2 ?????2 ??a+1 ?5-a ?≥0，

所以 2a ?2 -8a+32 -a ?2 +4a+5 ≥ 8 3 成立，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評析 ??此法是從不等式的角度來考慮，利用“作差”比較法，方法非常簡單易行，豁然開朗.

結語

“一題多解”是對同一個問題從不同角度、不同方位、不同層次進行思考，是培養學生思維的深度和廣度、拓寬解題思路、開闊學生視野、將知識系統化的重要路徑.不等式、方程、函數具有密不可分的關系，是數學的“三胞胎”，它們之間常常可以相互轉化，是培養學生思維靈活性、綜合性及創造能力的重要載體.

“一題一世界，一解一乾坤”，通過一題多解，“百花齊放”，另辟蹊徑的解法，能培養學生的發散思維能力，將大大提高數學解題質量和復習效率，激發學生的學習熱情和自信心，學生能更全面地看問題，更深入地理解問題，消除思維定式，避免機械刷題、機械化的訓練，減少套路.一題多解能用盡量少的題，達到較好的訓練效果，是擺脫題海戰術的重要路徑，實現減負增效的目標.

教師在教學中還要善于提出具有挑戰性的問題，充分調動學生的積極性，鼓勵學生多角度地探求問題，在比較、分析、聯想、轉化、討論、反思中不斷優化解題方法，提升解題能力，并引導學生溝通不同解法之間的相互聯系，洞察問題的深層結構，形成優化的認知結構.將零碎的知識整體化，促進知識塊或問題的整體認知.探尋規律，揭示本質，深度思考問題中所蘊含的思想方法，總結通性通法，更好地發展學生的“四基”“四能”，培養學生的核心素養.