談談五點作圖法

周啟杰

【摘 要】 ?五點作圖法是作正弦型、余弦型函數簡圖的重要方法，本文通過f x =A sin ?ωx+φ 為什么可以用五點法作圖，為什么用整體換元方法處理問題，并用運算的角度解釋圖象變換，說明五點法所蘊涵的思想價值.

【關鍵詞】 ?五點作圖法；整體換元；圖象變換

五點作圖法是作正弦、余弦函數簡圖的重要方法，是在學生掌握正弦、余弦曲線圖形特征的基礎上，選擇一個周期中的五個關鍵點，確定函數圖象的基本形狀.對于函數f x =A sin ?ωx+φ ，利用五點作圖法作出其圖象的大致形狀，借助圖象直觀分析問題，往往有利于獲得解題思路，是解決函數f x =A sin ?ωx+φ 具體問題的有效方法，也是五點作圖法的價值所在.

為什么可以用五點法作f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象？

令X=ωx+φ，這樣X每取一個確定的值，通過x= X－φ ω ，都有唯一的x與之對應，于是函數y=A sin X 圖象上的點與函數f x =A sin ?ωx+φ 圖象上的點一一對應.由于ω>0，X增大時，x也相應增大，則X增大時，其對應的函數y=A sin X的圖象上的點從左向右排列，對應的f x =A sin ?ωx+φ 圖象上的點也是從左向右排列，其圖象形狀與正弦曲線類似.當X∈ 0，2 π ?時，函數y=A sin X的圖象與x∈ ?－φ ω ， 2 π －φ ω ?時f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象相對應；當X∈ 0，2 π ?時，函數y=A sin X圖象上的五個關鍵點 0，0 ， ??π ?2 ，1 ， ?π ，0 ， ?3 π ?2 ，－1 ， 2 π ，0 分別對應f x =A sin ?ωx+φ ?A>0，ω>0 ?圖象上的五個關鍵點 ?－φ ω ，0 ， ???π ?2 －φ ω ，1 ， ??π －φ ω ，0 ， ??3 π ?2 －φ ω ，－1 ， ?2 π －φ ω ，0 ，因此可用五點法作f x =A sin ?ωx+φ ?A>0，ω>0 的圖象.

為什么研究f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0 ）的性質如單調性、對稱性、最值時，往往整體換元，令X=ωx+φ，轉化為研究y=A sin X的性質？這是因為二者間的單調區間、對稱軸、對稱中心、最高（低）點、零點等從左至右是一一對應的，比如，若M是y=A sin X的一個增區間，則f x 有唯一的增區間N與之對應.求f x = sin ?－2x+ ?π ?4 ?的增區間時，令－ ?π ?2 +2k π ≤－2x+ ?π ?4 ≤ ?π ?2 +2k π （k∈ Z ），求得的結果恰恰是f x 的減區間，為什么？令 X=－2x+ ?π ?4 ，則x=－ 1 2 X+ ?π ?8 ，當X對應的點從左至右方向從最低點上升到最高點時，相應的x對應的點恰恰是從右至左方向從最低點上升到最高點，恰對應f x = sin ?－2x+ ?π ?4 ?的減區間.

我們知道，由y= sin x的圖象經過一系列變換得到函數f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象，主要有兩種途徑，一是教材給出的：先平移，后橫向伸縮（周期變化），最后縱向伸縮（振幅變化）；二是先橫向伸縮（周期變化），后平移，最后縱向伸縮（振幅變化）.前者平移 φ 個單位長度，后者平移 ?φ ω ?個單位長度.為什么？我們也可以從五點法中找到答案.

對于函數f x =A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0），令X=ωx+φ.這樣X每取一個確定的值，通過x= X－φ ω 計算x的值時，先計算X－φ，然后計算X－φ與ω的比值.第一步計算X－φ，其實質就是平移變換，在y=A sin X圖象上任取點 X，y0 ，即y0=A sin X，點 X，y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 個單位，對應的點就是 X－φ，y0 ，而點 X－φ，y0 就是函數y=A sin ?x+φ 圖象上的點.為什么水平方向的平移法則是“左加右減”？X－φ就能清楚地說明這一點.第二步計算：X－φ與ω的比值，其實質就是橫向的伸縮變換，點 X－φ，y0 的橫坐標伸長 0<ω<1 或縮短 ω>1 為原來的 1 ω 倍，對應的點就是 ?X－φ ω ，y0 ，而 ?X－φ ω ，y0 就是函數y=A sin ??ωx+φ 圖象上的點.也就是說，函數y=A sin x圖象上各點的橫坐標向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 個單位（縱坐標不變），就得到函數y=A sin ?x+φ 的圖象；函數y=A sin ?x+φ 圖象上各點的橫坐標伸長 0<ω<1 或縮短 ω>1 為原來的 1 ω 倍（縱坐標不變），就得到函數y=A sin ?ωx+φ 的圖象.

由于 X－φ ω = X ω － φ ω ，如果通過x= X ω － φ ω 計算x的值，其中 φ ω 是常數，第一步先計算 X ω ，然后再計算 ?X ω － φ ω .第一步運算的實質就是橫向的伸縮變換，在y=A sin X圖象上任取點 X，y0 ，即y0=A sin X，點 X，y0 的橫坐標伸長 0<ω<1 或縮短 ω>1 為原來的 1 ω 倍（縱坐標不變），對應的點就是 ?X ω ，y0 ，而 ?X ω ，y0 就是函數y=A sin ωx圖象上的點.第二步運算的實質就是平移變換，點 ?X ω － φ ω ，y0 就是由點 ?X ω ，y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 ?φ ω ?個單位（縱坐標不變）后對應的點，而 ?X ω － φ ω ，y0 是函數y=A sin ?ωx+φ 圖象上的點.也就是說，函數y=A sin x圖象上各點的橫坐標伸長 0<ω<1 或縮短 ω>1 為原來的 1 ω 倍（縱坐標不變），就得到函數y=A sin ωx的圖象；函數y=A sin ωx的圖象向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 ?φ ω ?個單位（縱坐標不變），就得到函數y=A sin ?ωx+φ 的圖象.

可以看出，五點作圖法與圖象變換也有內在的聯系，能從運算的角度解釋圖象變換，運算的過程對應著變換過程，能清楚地說明由函數y=A sin x圖象變換到函數y=A sin ?ωx+φ 的圖象，平移變換和橫向伸縮變換的順序不同，平移的距離也不同.

例 ??函數f x =2 sin ?ωx+φ （ω>0，－ ?π ?2 <φ< ?π ?2 ）的部分圖象如圖1所示，則φ= .

解析 ??顯然， 3 4 T= 5 π ?12 － － ?π ?3 ?，得T= π ，則ω=2.

可以利用特殊點求φ（方法略），也可以利用平移求φ.如圖2所示，易知點A的橫坐標為 ?π ?6 ，函數f x 的圖象可以看作是由函數y=2 sin 2x的圖象向右平移 ?π ?6 而得到，于是2 sin 2 x－ ?π ?6 ?=2 sin ?2x－ ?π ?3 ?，于是得φ=－ ?π ?3 .

事實上，也可以利用五點法求φ，選擇形如“～”的一個周期，把點 ?5 π ?12 ，2 看作五點作圖法中的第二個點 ???π ?2 －φ 2 ，2 ，于是 ??π ?2 －φ 2 = 5 π ?12 ，得φ=－ ?π ?3 .

體會到五點作圖法所蘊涵的思想，就可以利用五點法解決更多的問題.