換元探究指對數復合函數含參恒成立問題

紀明亮

【摘 要】 ?本文從換元角度探究指對數復合函數不等式恒成立問題，先將問題中變量部分變形，使含變量的部分具有相同的結構形式，并作為整體進行換元，簡化函數不等式，再構造關于所換元的函數求其最值確定參數范圍.

【關鍵詞】 ?指對數復合函數；恒成立；換元；最值

換元法是高中數學中的重要思想方法，其內.涵是引入新的變量代替原來的某些變量，巧妙設元將問題簡化.指對數復合函數含參恒成立問題中函數形式復雜，若其中變量可通過變形化為結構相同，是否能將其看作整體進行換元簡化函數形式？換元之后再如何求解？下面具體實例展開探究.

1 換元構造函數

例1 ??已知函數f（x）=ax ln x－x e ?x+ax 2+x.若 ??x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，求實數a 的值.

解 ??因為 ??x∈（0，+∞），f（x）=ax 2－x 2 e ?x+x+ax ln x≤0恒成立，

所以 ??x∈（0，+∞），x e ?x－ax－1－a ln x≥0恒成立，

則 ??x∈（0，+∞）， e ?x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0恒成立.

設t=x+ ln x，x∈（0，+∞），

則t∈ R ，則 ??t∈ R ， e ?t－at－1≥0恒成立.

設g（t）= e ?t－at－1，t∈ R ，

則g（t） ?min ?≥0.

因為g′（t）= e ?t－a，

所以，當a≤0時，g′（t）= e ?t－a>0，

則g（t）在 R 上單調遞增，

則g（－1）= 1 ?e ?+a－1<0，不符合題意.

當a>0時，令g′（t）= e ?t－a>0，則t> ln a，

令g′（t）= e ?t－a<0，則t< ln a，

則g（t）在（－∞， ln a）上單調遞減，在（ ln a，+∞）上單調遞增，

則g（t） ?min ?=g（ ln a）=a－a ln a－1≥0.

設h（a）=a－a ln a－1，a∈（0，+∞），則h（a）≥0.

因為h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a，

所以，令h′（a）>0，得01，

則h（a）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

則h（a） ?max ?=h（1）=0，故h（a）≥0時，a=1.

評注 ??利用關系式x= e ??ln x 使x e ?x－ax－1－a ln x≥0中x e ?x= e ??ln x · e ?x= e ?x+ ln x ，得 e ?x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0，再設t=x+ ln x進行換元，構造函數g（t）求其最值. 需要注意的是換元之后函數不等式中變量應只有t，且要求出所換元t的范圍，它是g（t）的定義域，這樣函數g（t）才構造完成，再借助形式簡單的函數g（t）來解決恒成立問題.

變式1 ??已知函數f（x）=x（x ?1 x ?－1）－a ln x， ??x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的值.

解 ??因為 ??x∈（0，+∞），f（x）=x（x ?1 x ?－1）－a ln x≥0恒成立，

所以 ??x∈（0，+∞），

e ???ln x x ?－ a ln x x －1≥0恒成立.

設t= ?ln x x ，x∈（0，+∞），

則t′= 1－ ln x x 2 ，

令t′>0，得0

t′<0，得x> e ，

則t=x ln x在（0， e ）遞單調遞增，在（ e ，+∞）上單調遞減，

則x= e 時取最大值t max ?= 1 ?e ?，

則t∈ －∞， 1 ?e ??.

設g（t）= e ?t－at－1，t∈ －∞， 1 ?e ??，

則g（t） ?min ?≥0.

當a≤0時，

g（－1）= 1 ?e ?+a－1<0，不符合題意.

當0

令g′（t）= e ?t－a≥0，得 ln a≤t≤ 1 ?e ?，

則g（t）在（－∞， ln a）上單調遞減，在（ ln a， e ??1 ?e ??］上單調遞增，

則g（t） ?min ?=g（ ln a）=a－a ln a－1≥0.

設h（a）=a－a ln a－1，a∈（0， e ??1 ?e ??］，

h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a，

令h′（a）>0，得0

令h′（a）<0，得1

則h（a）在（0，1）上單調遞增，在（1， e ??1 ?e ??］上單調遞減，

則當a=1時，h（a）取最大值h（a） ?max ?=h（1）=0，

則h（a）≥0時，解集為（a=1）.

當a> e ??1 ?e ??時，則g′（t）= e ?t－a<0在 －∞， 1 ?e ??上恒成立，

則g（t）在 －∞， 1 ?e ??上單調遞減，

則g（t） ?min ?=g ?1 ?e ??

綜上，a=1.

評注 ??利用關系式x= e ??ln x 使x（x ?1 x ?－1）－a ln x≥0中x ?1 x ?= e ??ln x ?1 x ??= e ???ln x x ?，得 e ???ln x x ?－ a ln x x －1≥0，再設t= ?ln x x 進行換元并確定其范圍，構造函數g（t）求其最值.g（t）在 －∞， 1 ?e ??上的單調性與參數a的取值有關，所以要對參數a的取值進行分類討論.

變式2 ??已知函數 f（x）=x ax －x ln x－1，若 ??x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的值.

提示 ??利用關系式x= e ??ln x 使x ax －x ln x－1≥0中x ax = e ?ax ln x ，得 e ?ax ln x －x ln x－1≥0，再設t=x ln x 進行換元并確定

t∈ - 1 ?e ?，+∞ ，構造函數g（t）= e ?at -t-1.g（t） min ?=g ?1 a ?ln ?1 a ?= 1 a - 1 a ?ln ?1 a -1≥0，求得a=1.具體過程讀者可自行完成.

2 參數分離換元構造函數

例2 ??已知函數f（x）= e ?x（x－ ln x）+ax，若 ??x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

解 ??因為f（x）= e ?x（x－ ln x）+ax≥0，

所以a≥－ ?e ?x（x－ ln x） x =－ ?e ?x x ?ln ??e ?x x .

設t= ?e ?x x ，則t′= ?e ?x（x－1） x 2 ，

令t′>0，得x>1，

令t′<0，得0

則t= ?e ?x x 在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

則t= ?e ?x x 在x=1時取最小值 e ，則t∈［ e ，+∞）.

設g（t）=－t ln t，t≥ e ，則a≥g（t） ?max ?.

因為g′（t）=－ ln t－1≤－2<0在［ e ，+∞）上恒成立，

所以g（t）在［ e ，+∞）上單調遞減，

則g（t） ?max ?=g（ e ）=－ e ，

則a≥－ e ，即a∈［－ e ，+∞）.

評注 ??分離參數并利用關系式x= ln ?e ?x使a≥－ ?e ?x（x－ ln x） x 中x－ ln x= ln ?e ?x－ ln x= ln ??e ?x x ，得a≥－ ?e ?x x ?ln ??e ?x x ，再設t= ?e ?x x 進行換元并構造函數g（t）求其最值.

變式1 ??已知函數f（x）= ?ln x－x e ?x+a x ，若 ??x∈（0，+∞），f（x）≤ 2 x －1恒成立，求a的取值范圍.

解 ??因為 ??x∈（0，+∞），

f（x）= ?ln x－x e ?x+a x ≤ 2 x －1恒成立，

所以 ??x∈（0，+∞），a≤x e ?x－x－ ln x+2= e ?x+ ln x －（x+ ln x）+2恒成立.

設t=x+ ln x，x∈（0，+∞），

則t′=1+ 1 x >0，

則t=x+ ln x在（0，+∞）上單調遞增，t∈ R .

設g（t）= e ?t－t+2，t∈R，則a≤h（t） ?min ?.g′（t）= e ?t－1，

令g′（t）>0，得t>0，

令g′（t）<0，得t<0，

則g（t）在（－∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

則t=0時，g（t） ?min ?=g（0）=3，

則a≤3，即a∈（－∞，3］.

評注 ??分離參數并利用關系式x= e ??ln x 使a≤x e ?x－x－ ln x+2中x e ?x= e ?x+ ln x ，得a≤ e ?x+ ln x －（x+ ln x）+2，再設t=x+ ln x進行換元并確定其范圍，構造函數g（t）求其最值.

變式2 ??已知函數f（x）=（a－1）x－2（a－1） ln x，若 ??x∈（0，+∞），f（x）≤ ?e ?x x 2 恒成立，求實數a的取值范圍.

提示 ??利用關系式x= e ??ln x 使（a－1）x－2（a－1） ln x≤ ?e ?x x 2 中 ?e ?x x 2 = e ?x－2 ln x ，得（x－2 ln x）a≤ e ?x－2 ln x +（x－2 ln x），設t=x－2 ln x，確定t∈［2－2 ln 2，+∞），根據t>0，分離參數并構造函數g（t）求其最值.

3 結語

指對數復合函數含參不等式f（x）≥0（≤0）恒成立，其中f（x）含有 e ?x和 ln x項，先利用關系式x= e ??ln x （x>0）和x= ln ?e ?x對函數不等式中變量的部分進行變形. 若變量能轉化相同組合形式，則將其看作整體，設為變量t，并求出變量t的范圍. 第一類問題是換元構造函數g（t），使f（x）=g（t（x）），則f（x）≥0（≤0）恒成立可轉化為g（t）≥0（≤0）恒成立，則g（t） ?min ?≥0（g（t） ?max ?≤0），得到h（a）≥0（h（a）≤0）確定a的范圍. 第二類問題是換元分離參數再構造函數g（t），使f（x）≥0（≤0）恒成立a≥g（t）（≤g（t））恒成立，則a≥g（t） ?max ?（≤g（t） ?min ??）. 整個換元過程中是將 e ?x和 ln x項分配到函數t（x）和g（t）中進行分步處理，起到了降階的作用，降低了問題難度.