非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制

張宏亮，張智旺，周小建，黃郭明

（雅礱江流域水電開發(fā)有限公司，四川省成都市 610000）

0 引言

隨著風(fēng)光新能源的大規(guī)模發(fā)展，水電在新型電力系統(tǒng)中承擔(dān)著調(diào)峰、調(diào)頻和事故備用的重要角色。水輪發(fā)電機(jī)組容量的增加、運(yùn)行過程中工況的變化，對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制品質(zhì)提出了更高的要求。而從系統(tǒng)性角度看，水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個(gè)集水力、機(jī)械、電氣為一體的系統(tǒng)，其由引水系統(tǒng)部分、水輪機(jī)部分、發(fā)電機(jī)部分、調(diào)速器和電力負(fù)荷組成。在運(yùn)行過程中這些部分相互耦合，相互影響，使其具有非最小相位、時(shí)變和非線性等特性[1]-[2]，因此水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制方法不僅要求其能準(zhǔn)確地將系統(tǒng)控制到穩(wěn)定狀態(tài)，還要求控制算法能夠滿足系統(tǒng)對速動(dòng)性、魯棒性等的要求。綜上所述，在新型電力系統(tǒng)中，考慮水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性特性，研究其先進(jìn)控制方法對提高系統(tǒng)穩(wěn)定性、電能質(zhì)量等具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，國內(nèi)外眾多學(xué)者對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制開展了重點(diǎn)研究。如凌代儉等[3]通過將比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)并聯(lián)對信號偏差進(jìn)行處理對系統(tǒng)進(jìn)行控制，這種控制方法為線性控制，目前被廣泛應(yīng)用于水電站系統(tǒng)中，具有重要的生產(chǎn)實(shí)踐價(jià)值。陳帝伊等[4]開展了水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的滑模控制研究，這類控制方法具有較強(qiáng)的魯棒性，但由于控制器自身原因，會導(dǎo)致嚴(yán)重抖振問題。Nagode Klemen 等[5]通過建立模糊集，采用相應(yīng)的模糊規(guī)則對系統(tǒng)進(jìn)行控制。這類成果雖然不需要精確的數(shù)學(xué)模型，但需要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)與豐富的生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。齊學(xué)義[6]等通過研究、模擬人類神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、功能以及傳遞、處理控制信息的機(jī)理設(shè)計(jì)控制器，這類控制方法能夠?qū)Ω叨确蔷€性系統(tǒng)進(jìn)行控制，具有一定的實(shí)用價(jià)值，但依賴于大量的數(shù)據(jù)。上述成果通過采用不同的控制方法對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制進(jìn)行了研究，但多基于線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，或者對被控對象數(shù)學(xué)模型有嚴(yán)格的要求，并且存在計(jì)算量大、控制品質(zhì)不理想等問題。

鑒于此，本文結(jié)合水電站實(shí)際情況建立六維非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，應(yīng)用魯棒預(yù)測控制理論[7]-[14]設(shè)計(jì)了基于LMI 魯棒預(yù)測控制器，并通過數(shù)學(xué)邏輯分析證明了該方法能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定的可靠性，通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證該控制方法的控制效果，進(jìn)一步討論了該控制方法的速動(dòng)性、抗干擾能力、跟蹤性能等控制品質(zhì)，研究成果為后續(xù)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制研究提供了一定的理論基礎(chǔ)。

1 水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性模型

1.1 壓力管道及水輪機(jī)模型

本文以混流式水輪機(jī)為研究對象，輸入量為轉(zhuǎn)速x和接力器行程y，水輪機(jī)和壓力管道系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)如圖1 所示[15]。

圖1 水輪機(jī)與引水系統(tǒng)方框圖Figure 1 The block diagram of the and pipeline system

消除內(nèi)部反饋得：

當(dāng)輸入信號為接力器行程時(shí)，水輪機(jī)和壓力管道傳遞函數(shù)為：

式中：ey——水輪機(jī)力矩對導(dǎo)葉開度的傳遞系數(shù)；

eqh——水輪機(jī)流量對水頭的傳遞系數(shù)；

Gh(s)——水擊模型傳遞函數(shù)為：

式（3）中Tr為水擊波相長，且。對式（3）進(jìn)行泰勒展開，本文研究彈性水擊情況，故水機(jī)模型為

將式（4）代入式（2）中，可得水輪機(jī)與引水系統(tǒng)導(dǎo)葉開度y對轉(zhuǎn)矩增量mt的傳遞函數(shù)為

將式（5）寫為狀態(tài)空間方程

并且

其中，x1，x2和x3為狀態(tài)變量，

1.2 發(fā)電機(jī)模型

本文采用二階非線性發(fā)電機(jī)模型[16]。

式中：δ——發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角度；

ω——轉(zhuǎn)速相對偏差值；

Tab——機(jī)組慣性時(shí)間常數(shù)；

D——阻尼系數(shù)；

ω0——ω0=2πf0；

f0——頻率，通常f0=50Hz。

在發(fā)電機(jī)阻尼中考慮轉(zhuǎn)速變化對力矩的影響，電磁力矩與電磁功率相等有me=Pe。發(fā)電機(jī)端的電磁功率可表示為：

且

式中：Eq′ ——q軸暫態(tài)電勢；

Vs——無窮大母線電壓；

x′d——d軸暫態(tài)電抗；

xq——q軸同步電抗；

xT、xL——變壓器短路電抗和輸電線路電抗。

1.3 液壓隨動(dòng)系統(tǒng)模型

液壓隨動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可表示為式（11）[17]。

式中：Ty——接力器時(shí)間常數(shù)；

y——導(dǎo)葉開度。

1.4 非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型

綜合式（1）～式（11）可得出水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)六維非線性模型表述如下：

其中，u1，u2是預(yù)測控制器，本文中水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)分別為ω0=314，D=0.5，Eq′ =1.35，dx′Σ=1.15，qxΣ=1.474，Ty=0.1，Vs=1.0，eq h=0.5，ey=1.0，e=0.7，Tr=1.0，hw=2.0，r=0，a0=24，a1=24，a2=3，b0=24，b1=33.6，b2=3，b3=-1.4。

2 非線性系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制

2.1 系統(tǒng)模型

被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可用狀態(tài)空間模型式（13）表示

式中：x(k)，u(k)，y(k)——被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出量；

A(k)，B(k)，C(k)——相應(yīng)的系數(shù)矩陣。

定義系統(tǒng)的不確定性：

Co指由其中元素形成的凸包，[Ai，Bi] 是Ω的所有頂點(diǎn)，則稱Ω為凸多面體。即存在標(biāo)量λi≥0，使得對?k＞0，有：

2.2 基于LMI 的魯棒預(yù)測控制律

考慮時(shí)變不確定系統(tǒng)（13），其魯棒預(yù)測控制問題可以表示為在采樣時(shí)刻k，將預(yù)測控制算法的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為minmax 優(yōu)化問題，即在不確定集的最不理想情況下求解預(yù)測控制律，使得預(yù)測性能指標(biāo)最小，即

其中J(k)為無窮時(shí)域預(yù)測控制器性能指標(biāo)：

式（18）中，Q1，R為給定的權(quán)值矩陣，x（k+i|k）和u（k+i|k）分別表示在k時(shí)刻被控系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)值和系統(tǒng)預(yù)測輸入值。該問題即尋找最優(yōu)控制律：

求解出最優(yōu)控制律后，將其第一項(xiàng)作為被控系統(tǒng)（15）的輸入。在下一時(shí)刻，重新進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，不斷重復(fù)直至系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)[18]。

利用LMI 對上述式（17）優(yōu)化問題進(jìn)行求解，令V(x)=x TPx，P=PT> 0，且對滿足魯棒不等式：

那么有：

由式（21）可以得出在k時(shí)刻，求解原魯棒預(yù)測控制律問題即可轉(zhuǎn)換為求解函數(shù)V[x(k|k)]的最小值。

為證明上述魯棒預(yù)測控制律可解，且該控制律能夠使系統(tǒng)（13）達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，引入Schur 補(bǔ)引理，并對以下定理一、定理二進(jìn)行證明。

Schur 補(bǔ)引理：

若矩陣不等式（22）成立：

其中S11，S22為對稱矩陣，則有如下結(jié)論成立：

定理一：對于系統(tǒng)（13），x(k|k)是其在當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)變量，若存在狀態(tài)反饋預(yù)測控制律：

則F=YQ-1，Q>0，其中Y，Q是下述LMI 不等式問題的最優(yōu)解：

滿足：

令Q=λP-1，根據(jù)Schur 引理，式（28）可轉(zhuǎn)化為滿足：

將P=λQ-1代入上式得：

根據(jù)Schur 補(bǔ)引理若式（31）成立，那么當(dāng)且僅當(dāng)式（32）成立時(shí)，即：

進(jìn)一步整理可得：

在不等式（33）兩邊分別左乘和右乘正定矩陣diag（Q，I，I，I），則：

考慮到：

因此，式（35）成立等價(jià)于下列矩陣不等式成立：

證畢，定理一得證。

定理二：上述的狀態(tài)反饋控制律能使得閉環(huán)系統(tǒng)（13）漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：要證明閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，只要證明存在關(guān)于狀態(tài)的正定Lyapunov 二次函數(shù)，隨著時(shí)間從增長而單調(diào)遞減。顯然，可建立如下Lyapunov 函數(shù)：

其中，P是由定理一所得的k時(shí)刻最優(yōu)解，由凸規(guī)劃的特性得到P是唯一的。根據(jù)定理一的證明過程及式（28）的推導(dǎo)過程可知：

因此，Lyapunov 函數(shù)（38）單調(diào)遞減，因此閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢，定理二得證。

3 數(shù)值試驗(yàn)

3.1 控制器有效性驗(yàn)證

為了更直觀的驗(yàn)證本文中魯棒預(yù)測控制方法能夠使系統(tǒng)（12）達(dá)到穩(wěn)定，本例研究水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在理想狀態(tài)下無外界干擾的情況下運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)，期望值表示穩(wěn)定狀態(tài)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)在魯棒預(yù)測控制下y 輸出響應(yīng)曲線Figure 2 The response y of the controlled system with the robust predictive controller

圖2 中，我們在1s 時(shí)給非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)加入控制信號。可以直觀看出在魯棒預(yù)測控制器的作用下系統(tǒng)在2.5s時(shí)就達(dá)到了期望值，即導(dǎo)葉開度能夠在2.5s 就達(dá)到設(shè)定開度并保持穩(wěn)定，并且系統(tǒng)超調(diào)量很小，約為0.07，同時(shí)在控制過程中系統(tǒng)振蕩次數(shù)少、振幅小。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明文中魯棒預(yù)測控制方法能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定，且從控制品質(zhì)來說該方法對非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制時(shí)具有調(diào)節(jié)時(shí)間短、動(dòng)態(tài)性能好、超調(diào)量小等較好的控制品質(zhì)。

3.2 控制器控制品質(zhì)討論

考慮系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，會不可避免地受到各類外界干擾因素影響，若控制器沒有較好的魯棒性能，將會直接影響到送入電網(wǎng)的電能質(zhì)量，甚至導(dǎo)致水電機(jī)組頻率振蕩或失穩(wěn)。為驗(yàn)證所提算法的魯棒性，我們將討論系統(tǒng)受擾動(dòng)后的輸出響應(yīng)狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)中在t=4s 時(shí)給系統(tǒng)加入一擾動(dòng)量，加入擾動(dòng)后被控系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖3 所示。

圖3 系統(tǒng)受擾動(dòng)時(shí)y 輸出響應(yīng)曲線Figure 3 The y output response of the controlled system with disturbances

由圖3 可知當(dāng)系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)運(yùn)行時(shí)，受到擾動(dòng)后會出短暫波動(dòng)，在魯棒預(yù)測控制器的調(diào)節(jié)下約1s 后便再次被控制回到穩(wěn)定狀態(tài)。這說明當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時(shí)，魯棒預(yù)測控制器能夠在極短時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)再次控制在穩(wěn)定狀態(tài)，驗(yàn)證了該控制算法具有較好的抗干擾能力。從工程實(shí)際來看當(dāng)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)受到干擾時(shí)，該控制器能夠迅速將系統(tǒng)拉回穩(wěn)定狀態(tài)，減少導(dǎo)葉的頻繁調(diào)節(jié)，從而減少導(dǎo)葉軸套磨損，提高機(jī)組設(shè)備壽命。

考慮系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，由于工況、負(fù)荷的改變需要改變水輪機(jī)導(dǎo)葉開度，這就需要控制器來調(diào)節(jié)系統(tǒng)使其從某一穩(wěn)定狀態(tài)快速過渡到另一穩(wěn)定狀態(tài)，并在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。因此下面實(shí)驗(yàn)我們將討論當(dāng)系統(tǒng)需要過渡至另一穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，魯棒預(yù)測控制算法的有效性以及控制品質(zhì)。實(shí)驗(yàn)中我們設(shè)置在4s 時(shí)系統(tǒng)從初始穩(wěn)定狀態(tài)追蹤另一穩(wěn)定狀態(tài)0.15。狀態(tài)過渡跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示。

圖4 被控系統(tǒng)狀態(tài)過渡時(shí)y 跟蹤響應(yīng)曲線Figure 4 The y status tracking response of the controlled system

由圖4 可看出當(dāng)系統(tǒng)需要從初始穩(wěn)定狀態(tài)過渡至另一狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)原穩(wěn)定狀態(tài)被打破，經(jīng)過1s 的微小振蕩后平穩(wěn)過渡到所跟蹤的狀態(tài)并快速達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。從控制品質(zhì)來看，系統(tǒng)在狀態(tài)過渡跟蹤時(shí)魯棒預(yù)測控制器具有調(diào)節(jié)時(shí)間短、超調(diào)量小、準(zhǔn)確性高等良好的控制品質(zhì)。

為比較傳統(tǒng)PID 控制與本文中魯棒預(yù)測控制算法的控制品質(zhì)，本例將通過數(shù)值仿真試驗(yàn)探討兩種控制算法的優(yōu)劣。如圖5 所示，在相同外界干擾下，采用常規(guī)PID 控制器的系統(tǒng)在多次較大振幅的振蕩后才達(dá)到穩(wěn)定，同時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)大于魯棒預(yù)測控制算法。因此，從綜合控制品質(zhì)來看，本文中魯棒預(yù)測控制方法的控制品質(zhì)要優(yōu)于傳統(tǒng)的PID 控制方法。

圖5 被控系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制與PID 控制y 輸出響應(yīng)Figure 5 The y output responses of the controlled system with robust predictive and PID controllers

4 結(jié)論

本文針對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有非最小相位性、時(shí)變性及非線性等特點(diǎn)提出了一種魯棒預(yù)測控制方法，該方法將魯棒預(yù)測控制理引入水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制，應(yīng)用LMI 不等式對魯棒預(yù)測控制律進(jìn)行求解，根據(jù)k時(shí)刻被控系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)值和系統(tǒng)實(shí)際輸出不斷優(yōu)化計(jì)算直至系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，最終得出調(diào)節(jié)系統(tǒng)最優(yōu)控制律。文中六維非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型綜合了水輪機(jī)、壓力管道系統(tǒng)、發(fā)電機(jī)系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)，能夠較準(zhǔn)確描述水電系統(tǒng)的真實(shí)情況。以該系統(tǒng)模型為例，通過分析證明了魯棒預(yù)測控制方法的穩(wěn)定性。并經(jīng)過數(shù)值試驗(yàn)對控制方法的可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證，研究結(jié)果表明魯棒預(yù)測控制方法對文中水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型控制具有較好的抗干擾能力、速動(dòng)性、跟蹤性等控制品質(zhì)，通過與傳統(tǒng)PID 控制方法對比，說明魯棒預(yù)測控制提高了六維非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的速動(dòng)性和穩(wěn)定性，具有良好的控制品質(zhì)。本文也為后續(xù)非線性水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制研究提供了一定的理論基礎(chǔ)。