求解指數函數與對數函數問題中的幾點注意

張 麗

(山東省菏澤市單縣第一中學)

指數函數和對數函數是兩類基本的初等函數,以這兩類函數為背景的函數問題是歷年高考的重點考查類型.考生在解題中常因未能準確把握函數的定義、未注意函數的定義域、考慮問題不全面、把握不準圖像的位置關系等,出現會而不對、對而不全的現象.下面舉例剖析這些問題的易錯點.

1 注意把握函數的定義

例1下列函數一定為指數函數的是( ).

A.y＝xa(a＞0,a≠1)

B.y＝(a2＋2|a|＋2)x

C.y＝2ax

D.y＝(a＋b)x

錯解對于初學者來說,可能對指數函數與對數函數的概念把握不準確,從而錯選A,C或D.

剖析錯選A 的原因是將指數函數的解析式與冪函數的解析式混淆.

對于選項C,指數函數的解析式中指數式前面的系數應為1,故選項C錯誤.

對于選項D,底數a＋b不一定大于0,且不等于1,故D 錯誤.

對于選項B,a2＋2|a|＋2＝(|a|＋1)2＋1＞1,所以y＝(a2＋2|a|＋2)x是底數大于1的指數函數.

綜上,選B.

2 注意函數的定義域

例2已知函數f(x)＝ax2－4ax＋2(a＜0),則關于x的不等式f(x)＞log2x的解集是( ).

A.(－∞,4) B.(0,1)

C.(0,4) D.(4,＋∞)

錯解函數f(x)＝ax2－4ax＋2(a＜0)的圖像為開口向下的拋物線,其對稱軸為x＝2,在y軸上的截距為2,在同一平面直角坐標系中作出函數f(x)及y＝log2x的圖像,如圖1所示,易得兩個函數圖像的交點為(4,2),由兩個函數的位置關系可知不等式f(x)＞log2x的解集為(－∞,4),故選A.

圖1

剖析對數函數的定義域要滿足其真數大于0,上述結論錯誤的原因是忽視了y＝log2x的定義域,即x∈(0,＋∞),所以不等式f(x)＞log2x的解集為(0,4),故選C.

3 注意函數的值域

例3關于x的函數y＝a4x＋2x＋1－1恰有一個零點,則實數a的取值范圍是_________.

錯解當a＝0時,y＝2x＋1－1,由2x＋1－1＝0,得x＝－1,函數有一個零點.

當a≠0時,y＝a(2x)2＋2×2x－1,令2x＝t,則y＝at2＋2t－1為關于t的二次函數,若該函數恰有一個零點,則Δ＝4＋4a＝0,解得a＝－1.

綜上,實數a的取值范圍是{0,－1}.

剖析令2x＝t,則y＝at2＋2t－1,錯解中忽視了指數函數的值域,即2x＝t＞0,因此函數y＝a4x＋2x＋1－1恰有一個零點,即二次函數y＝at2＋2t－1恰有一個正零點.

當a＞0時,二次函數y＝at2＋2t－1開口向上,在y軸上的截距為(0,－1),此時有一個正零點,符合題意.

當a＜0時,二次函數y＝at2＋2t－1的對稱軸t＝－＞ 0,欲使該二次函數有一個正零點,只需滿足Δ＝4＋4a＝0,解得a＝－1.

又a＝0滿足題意.

綜上,實數a的取值范圍是{－1}∪[0,＋∞).

4 注意運算法則的應用條件

例4已知x,y為非零常數,則下列等式正確的是( ).

錯解由同底數的指數運算法則及對數運算法則,可知選項B和D 正確.

剖析對于選項A 和C,沒有疑問,是由于錯用了指數運算法則.對于選項D,由于條件中x,y為非零常數,等式左邊的對數式的真數＞0,即x,y同號即可.若x＜0,y＜0,則等式右邊的對數式沒有意義,故選B.

5 注意對底數的討論

例5log(2x－1)(2x－1)＞0,則實數x的取值范圍是________.

錯解log(2x－1)(2x－1)＞0?log(2x－1)(2x－1)＞log(2x－1)1,所以2x－1＞1,解得x＞1,即實數x的取值范圍是(1,＋∞).

剖析指數函數與對數函數的底數大于0且不等于1,本題中的對數式的底數也含有變量x,所以應對底數的范圍進行討論.

當2x－1＞1,即x＞1時,由

6 注意函數的有界性

例6已知函數

若函數g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點,則k的取值范圍為_________.

錯解g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點,即方程f(x)－k＝0有兩個不同的實根,即直線y＝k與函數y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點.

作出函數f(x)的圖像如圖2 所示,易知當k∈(0,1)時,直 線y＝k與函數y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點.

圖2

綜上,k∈(0,1).

剖析指數函數與對數函數均有漸近線,函數y＝為其漸近線.函數f(x)的圖像如圖3所示,所以當y＝k與函數y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點,即函數g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點時,k∈,1).

圖3

7 注意復合函數的性質

例7函數f(x)＝ln(ax2＋ax＋1)的值域為R,則實數a的取值范圍為________.

錯解函數f(x)＝ln(ax2＋ax＋1)的值域為R,即不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立.

當a＝0時,不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立.

當a＞0時,欲使不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立,只需Δ＝a2－4a＜0,解得0＜a＜4.

當a＜0時,不等式ax2＋ax＋1＞0不恒成立.

綜上,a∈[0,4).

剖析本題的條件是函數f(x)的值域為R,并不是定義域是R,由對數函數的性質,可知當對數函數的真數范圍為(0,＋∞),其值域為R.真數范圍為(0,＋∞),即(0,＋∞)是函數y＝ax2＋ax＋1值域的子集,所以解得a≥4.

綜上,a∈[4,＋∞).

同學們在學習中要善于歸納總結,只有明確了這些易錯點,弄清楚錯誤的根源,才能在后續解題中有效避免類似錯誤的出現.

(完)