利用數形結合方法求解對數函數問題

劉 舉

(吉林省長春吉大附中實驗學校)

數形結合能將數學的符號語言和圖形語言相互轉化,能讓解題者實現抽象思維與形象思維的對接,從而參透數學問題的本質.它具有靈活性、形象性、直觀性等特點,是數學解題最基本的思想方法之一.

1 判斷函數零點個數

對于與對數函數有關的函數零點問題,若難以直接求出零點,則可考慮將原問題轉化為函數圖像的交點問題,通過對數函數的圖像和其他初等函數的圖像的交點個數來判斷原函數零點的個數.

例1已知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分圖像如圖1所示,g(x)＝f(x)－log2x,則g(x)的零點個數為_________.

圖1

圖2

點評本題將一個函數的零點問題轉化為兩個函數圖像的交點問題,充分體現了函數與方程的關系,同時也為確定超越方程的根的個數問題提供了一種切實可行的方法.

2 處理有關不等式問題

對于非常規的不等式問題,一般有兩種思路:一是通過恒等變形將原不等式轉化為常規不等式,再用常規方法來解;二是當無法將原不等式轉化為常規不等式時,可借助函數圖像將原不等式轉化為兩個函數圖像之間的位置關系,從而借助圖像分析得到答案.

例2(1)已知函數f(x)＝log2(x＋1),則不等式f(x)＞|x|的解集是________;

(2)若不等式(x－1)2＜logax(a＞0,且a≠1)在x∈(1,2]內恒成立,則實數a的取值范圍為( ).

解析(1)作出函數y＝log2(x＋1)和y＝|x|的圖像,如圖3 所示,兩個函數的圖像相交于點(0,0)和(1,1),當且僅當x∈(0,1)時,y＝log2(x＋1)的圖像在y＝|x|的圖像的上方,即不等式f(x)＞|x|的解集為(0,1).

圖3

(2)若0＜a＜1,由于x∈(1,2],logax＜0,而(x－1)2≥0,故(x－1)2＜logax無解.

若a＞1,由于x∈(1,2],logax＞0,而(x－1)2≥0,令f(x)＝logax,g(x)＝(x－1)2,畫出兩個函數的圖像,如圖4所示,要想(x－1)2＜logax在x∈(1,2]內恒成立,則loga2＞1,解得a∈(1,2),故選B.

圖4

點評本題是不等式恒成立問題,解答的關鍵是將原問題轉化為二次函數與對數函數圖像的位置關系問題,進而通過函數圖像讓問題輕松獲解.

3 比較數值大小

比大小問題是高考常考題型,這類問題不僅考查函數的單調性,同時考查考生靈活應用函數圖像解決問題的能力.

例3已知函數f(x)＝－2x,若2a＝log2b＝c,則( ).

A.f(b)＜f(c)＜f(a)

B.f(a)＜f(b)＜f(c)

C.f(a)＜f(c)＜f(b)

D.f(c)＜f(b)＜f(a)

解析f(x)＝－2x在R 上單調遞減,在同一平面直角坐標系中作出y＝c,y＝2x,y＝log2x,y＝x的圖像,如圖5 所示,則a＜c＜b,故f(b)＜f(c)＜f(a),故選A.

圖5

點評由于指數函數與對數函數互為反函數,且它們的圖像關于直線y＝x對稱,于是通過在同一平面直角坐標系中畫出直線y＝c,就可得出交點的橫坐標,進而結合函數單調性比較大小.

4 求方程根的代數式值或范圍

對于求與對數函數方程根的代數式值或范圍這類問題,并不要求我們把方程的根全部求出來,而是要根據根的分布情況來求代數式的值或范圍,因此這類問題可以采用數形結合的方法求解.

圖6

點評本題通過作圖發現方程的根與根之間的內在聯系,即它們的分布具有對稱性或互為倒數,這是解決此類問題的突破口,所以求解這類問題應關注方程各個根之間的聯系.

以上例子說明對數函數圖像的重要性,總而言之,若遇到用常規方法無法求解與對數函數有關的方程根問題、函數零點問題、取值范圍問題、不等式問題等,則可以考慮利用數形結合方法求解.

(完)