冪函數學習要重視的幾個要點

鞏豐賢

(山東省淄博市體育運動學校)

冪函數是重要的基本初等函數之一,也是高考命題的重要考點,其中主要涉及冪函數的概念、性質、圖像以及與冪函數有關的組合函數或復合函數的性質問題.下面針對這幾個要點舉例說明,供同學們復習時參考.

1 冪函數的定義

形如f(x)＝xα的函數稱為冪函數,其中x是自變量,α∈R,人教A 版教材《數學必修第一冊》中給出了具有代表性的5個α值,即α＝1,2,3,,－1,對應的函數為,根據函數解析式求出函數的定義域,畫出函數的圖像,再研究函數的性質.據此類推,我們也可得出當α＝4,5,,－2,…時,相應的冪函數及性質.

例1下列函數為冪函數的是( ).

A.y＝3xB.y＝(x≠0)

C.y＝－x2D.y＝x0(x≠0)

解析對于選項A,自變量在指數位置,為指數函數;對于選項B,底數與指數中均含自變量,不屬于冪函數;對于選項C,y＝－x2為二次函數,不屬于冪函數;對于選項D,冪函數的指數可以為0,此時x≠0,故選D.

點評此類問題只要把握好冪函數的定義,即其中底數為自變量,指數為常數,系數為1,即可直接判斷.

2 冪函數的性質

當α取不同值時,冪函數具有不同的性質,通過對這 5個函數的性質探究,不難得出冪函數的共性:冪函數的圖像過定點(1,1),在(0,＋∞)上都有意義,當α＞0時,函數在(0,＋∞)上單調遞增;當α＜0,函數在(0,＋∞)上單調遞減.

例2已知冪函數f(x)＝,若f(a＋1)＜f(10－2a),則a的取值范圍是_________.

點評此類問題的求解要注意函數的定義域,即a＋1＞0,10－2a＞0.

例3已知函數f(x)的定義域為D,給了下列三個條件:

①?x∈D,f(x)＋f(－x)＝0;

②?x∈D,f′(x)≤0;

③?x1,x2∈D,x1＜x2,使得f(x1)＜f(x2).

試寫出一個同時滿足條件①②③的函數,則f(x)＝_____.

點評對于條件②和③,同學們可能認為其中存在矛盾.原因是錯誤地認為f′(x)≤0,則函數單調遞減,注意f′(x)≤0是函數f(x)單調遞減的必要不充分條件.

3 冪函數之間的關系

將幾個冪函數的圖像畫在同一個平面直角坐標系中,不難發現,當α＞0時,α越大,在(0,1)上,圖像離x軸越近,在(1,＋∞)上,圖像離x軸越遠.這些關系常常成為高考命題的重要視角.

例4已知使得方程f(x)－t＝0有兩個實根,則實數m的取值范圍是( ).

A.(－∞,0)∪(0,1) B.(0,1)

C.(－∞,0)∪(1,＋∞) D.(1,＋∞)

解析方程f(x)－t＝0有兩個實根,即存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個交點,進而可知函數f(x)不單調.

當m＜0時,函數f(x)的圖像如圖1所示,存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個交點,即方程f(x)－t＝0有兩個實根.

圖1

當m＞1時,函數f(x)的圖像如圖2所示,存在直線y＝t與y＝f(x)的圖像有兩個交點,即方程f(x)－t＝0有兩個實根.

圖2

綜上,m的取值范圍是(－∞,0)∪(1,＋∞),故選C.

點評y＝x2,y＝x3的公共點是(0,0),(1,1),在(0,1)上,x2＞x3;在(1,＋∞)上,x2＜x3.此類問題的求解關鍵是把握好同類函數的公共點.

4 冪函數的組合

冪函數的組合函數主要有二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)、三次函數y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)、雙曲線函數等,這些函數都是高考命題中常考的函數類型.

圖3

點評在得出函數后,部分同學可能會直接利用均值不等式得出函數的最小值為4,但檢驗會發現等號成立的條件不在函數的定義域內,故應結合函數f(t)的性質求解.

5 冪函數的復合

形如y＝f[g(x)]的函數,稱為復合函數,y＝f(t)為外函數,t＝g(x)為內函數,f(x)的定義域與g(x)的值域交集非空.將兩個函數復合在一起,往往可得到較新穎的函數.

點評本題將兩個冪函數復合在一起,通過兩邊取對數構造新函數,從而求函數的最值.

除了上述要點外,解題時還需關注冪函數與其他函數的綜合,如,…等超越函數模型,這些函數是高考命題常常涉及的背景函數,因此要熟練掌握這些函數的圖像、性質.

(完)