最值:打開恒成立問題的鑰匙

代成紅

(湖北省天門中學(xué))

恒成立問題是高考熱點(diǎn),也是復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn).分類討論與分離變量是解決恒成立問題最主要的方法,其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,利用最值求出參數(shù)的取值范圍.顯然最值才是解決問題的關(guān)鍵,是打開恒成立問題的鑰匙.那么,能不能繞開函數(shù)單調(diào)性的討論過程,直接由最值求解恒成立問題呢? 我們知道,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)存在最值,且最值要么在極值點(diǎn)取到,要么在端點(diǎn)處取到.因此,如果最值在極值點(diǎn)處取到,將此極值點(diǎn)代入不等式,可得到參數(shù)取值的一個范圍;如果最值在端點(diǎn)處取到,可確定端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值符號,根據(jù)端點(diǎn)處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值符號也可求得參數(shù)取值的一個范圍.將此二者聯(lián)合使用,一般可求得參數(shù)取值的準(zhǔn)確范圍,然后證明不等式在此范圍內(nèi)成立即可.為行文方便起見,本文將此方法稱為賦最值法.賦最值法由兩個環(huán)節(jié)組成,即賦值和證明,本文舉例說明此方法的應(yīng)用.

1 極值點(diǎn)處取最值

例2函數(shù)f(x)＝ex－aln(ax－a)＋a(a＞0),若f(x)＞0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,e2).

點(diǎn)評例2中f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(1,＋∞),區(qū)間兩端函數(shù)值均無意義.為了研究函數(shù)在區(qū)間兩端的變化,此時考慮端點(diǎn)處函數(shù)的極限.當(dāng)x→＋∞時,f(x)→＋∞,當(dāng)x→1＋時,f(x)→＋∞,f(x)＞0均成立.因此,f(x)的最小值一定在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)某點(diǎn)t取到.此時有即

例3已知f(x)＝ex－2＋x－2ax2＋xlnx,若對于任意x∈(0,＋∞),不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析設(shè)g(x)＝x－2－lnx(x＞0),則g(2)＝－ln2＜0,g(e2)＝e2－4＞0,

可知存在t∈(2,e2)使g(t)＝0,即t－2＝lnt,即et－2＝t.由f(t)≥0,可知et－2＋t－2at2＋tlnt≥0,即t＋t－2at2＋t(t－2)≥0,所以a≤.

點(diǎn)評例3是開區(qū)間上的恒成立問題,首先考查函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的極限,發(fā)現(xiàn)f(x)＞0滿足條件,其次假設(shè)fmin(x)在(0,＋∞)上某點(diǎn)t取到,則有即

消去a得(2－t)et－2＋tlnt＝0,即(t－2)et－2＝lnt·elnt,則t－2＝lnt,雖然求不出t的具體值,但它是存在的.結(jié)合前面的分析,將它代入f(x)≥0求得的范圍一定是參數(shù)準(zhǔn)確的取值范圍.例3表明,函數(shù)在隱零點(diǎn)處取最值,賦最值法仍然有效.

2 端點(diǎn)處取最值

例4已知函數(shù)f(x)＝ex－1＋Ax2－1,若對于任意的x≥1,有f(x)≥A成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

同理,若對于任意的x∈(m,n),f(x)＞f(n)恒成立,那么f′(n)≤0.使用此類結(jié)論判斷參數(shù)范圍,習(xí)慣上稱為端點(diǎn)效應(yīng).

(2)由于f′(m)≥0只是f(x)＞f(m)的必要條件,因此使用端點(diǎn)效應(yīng)既要證明在區(qū)間內(nèi)不等式恒成立,還要尋找矛盾區(qū)間說明在區(qū)間外不等式不能恒成立.

例5設(shè)f(x)＝ax＋cosx－1－sinx,當(dāng)x∈[0,π]時,f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.

點(diǎn)評圖像是描述函數(shù)的重要工具和語言,考查函數(shù)1,x∈[0,π]的圖像(如圖1),可以幫助我們快速判斷例5只需要使用端點(diǎn)效應(yīng)即可.例5表明,使用數(shù)形結(jié)合,可大大提高賦值的準(zhǔn)確性.

圖1

例6已知f(x)＝xeax－ex＋1,當(dāng)x＞0 時,f(x)＜0恒成立,求a的取值范圍.

點(diǎn)評例6 中f(x)＜0＝f(0),由端點(diǎn)效應(yīng)知f′(0)≤0,計算可知f′(0)＝0.由于當(dāng)x＞0 時,,可以設(shè)想必有x0＞0,使f′(x0)＜0,然而f′(x)是連續(xù)不斷的,因此應(yīng)當(dāng)存在區(qū)間(0,ε),當(dāng)x∈(0,ε)時,f′(x)≤0,再一次使用端點(diǎn)效應(yīng),有f″(0)≤0,由此得a≤.例6表明:端點(diǎn)效應(yīng)可連續(xù)使用,仔細(xì)體味例6 中“矛盾區(qū)間”(0,2ln2a)上的反證過程,可以加深對連續(xù)使用端點(diǎn)效應(yīng)的理解.

(完)