多題一圖 變幻無窮

高 亢

(大慶第二十三中學)

在數學問題中,經常會出現“多題一圖”的現象,即不同的題目,在運用數形結合思想解題時會構建同一個圖形,雖然這些題目各不相同,解題思路不盡相同,但題目之間卻存在著某種必然的聯系,本文對此作些探討,供大家參考.

引例已知x1是方程x＋lgx＝3的一個根,x2是方程x＋10x＝3的一個根,則x1＋x2＝________.

解析將已知的兩個方程變形可得lgx＝3－x,10x＝3－x.令f(x)＝lgx,g(x)＝10x,h(x)＝3－x,畫出它們的圖像,如圖1 所示.記函數f(x)＝lgx與h(x)＝3－x的交點為A(x1,y1),g(x)＝10x與h(x)＝3－x的交點為B(x2,y2).由于f(x)＝lgx與g(x)＝10x互為反函數,且直線y＝3－x與直線y＝x垂直,所以A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點關于直線y＝x對稱.

圖1

點評本題將方程問題轉化為函數問題,注意到f(x)＝lgx與g(x)＝10x化為反函數,它們的圖像關于直線y＝x對稱,于是利用圖像的對稱性即可求出直線y＝－x＋3與兩個函數圖像的交點的橫坐標之和.

引例解答中的這個圖像極具代表性,筆者發現,在許多相類似的問題中都會出現.

變式1已知a＞1,方程ex＋x－a＝0與lnx＋x－a＝0的根分別為x1,x2,若則m的取值范圍為_________.

解析方程ex＋x－a＝0 的根,即y＝ex與y＝a－x圖像交點的橫坐標,方程lnx＋xa＝0的根,即y＝lnx與y＝a－x圖像交點的橫坐標.易知y＝ex與y＝lnx的圖像關于直線y＝x軸對稱,如圖2所示.y＝a－x與y＝x交點為所以x1＋x2＝a,所以

圖2

點評解答本題的關鍵是將m表示為關于a的函數,再利用圖像法,根據圖像的對稱性得到x1＋x2＝a,本變式是引例的延續.

變式2(多選題)已知函數f1(x)＝x2＋3x－5(x＞0),f2(x)＝e2x＋x－2,f3(x)＝lnx＋2x－4的零點分別為x1,x2,x3,則下列結論正確的是( ).

A.x1＜x2＜x3B.x2＋x3＝2

C.f3(x1)＜0 D.f3(x2)＝f2(x3)

圖3

點評本題雖然有二次函數“加盟”,但考查的還是兩個互為反函數的指數函數、對數函數同直線y＝2－x的交點問題,顯然本題的難度在引例的基礎上得到了加強.

圖4

點評解答本題的關鍵是挖掘

的幾何意義,將原問題轉化為求y＝ex圖像上的動點與y＝lnx圖像上的動點的最小距離,研究的依然是互為反函數的兩個函數(指數函數與對數函數)的圖像間的關系,所以還是構造與引例相似的圖像.

多題一圖,變幻無窮.由此可見,當題目中含有兩個互為反函數的指數函數與對數函數,且討論與方程的根或圖像交點的問題時,一般可采用數形結合法,都離不開引例解答中的這張圖.

(完)