簡潔 基礎 本質 創新
——賞析2023年高考數學北京卷

蔣海燕(特級教師) 甘志國(正高級教師 特級教師)

(1.北京市第十二中學 2.北京市豐臺區第二中學)

1 2023年高考數學北京卷的特色

北京卷堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題原則,堅持“有利于高校選拔人才、有利于高中數學教學、有利于考生展示才華”的命題方向.一是試題的設計緊扣課標和教材,回歸課堂、回歸學科本質,突出“簡潔、基礎、本質、創新”的北京卷特色,為中學生“減負”創建良好的教育生態,促進新高考與新課程、新課標和新教材的協調聯動.二是試題的設計深入淺出,設問層層遞進,形式靈活多元,比如,第20題(用導數研究函數的性質)通過三層設問環環相扣,又依次遞進,對能力素養要求連續升級,通過“多問把關”“多題把關”,將難度設置在對學生思維層級的考查上,對引導教學起到積極作用.

北京卷共21 道試題,其中基礎題13 道,共74分,題量約占62%,分值約占49%;中檔題4道(分別是第14,18,19,20題),共48分,題量約占19%,分值約占32%;較難題4道(分別是第9,10,15,21題),共28分,題量約占19%,分值約占19%.基礎題較多,且絕大部分是“不動筆墨、一望而解”的.筆者認為,這些都是正確的導向:高中數學教學應當回歸基礎、回歸本原.早年的高考壓軸題多是求不出來通項公式的遞推數列問題,而現在通常不再把求不出來通項公式的遞推數列問題作為壓軸題了,這些正是回歸基礎、回歸本原的體現,并且與“高考選拔”不矛盾.

2 對部分試題的分析

2.1 一題多解

例1(第3題)已知向量a,b滿足a＋b＝(2,3),a－b＝(－2,1),則|a|2－|b|2＝( ).

A.－2 B.－1 C.0 D.1

解析方法1把所給兩個向量等式分別相加、相減,可求得向量a＝(0,2),b＝(2,1),所以|a|2－|b|2＝(02＋22)－(22＋12)＝－1,故選B.

方法2|a|2－|b|2＝a2－b2＝(a＋b)·(ab)＝2×(－2)＋3×1＝－1,故選B.

例2(第7題)在△ABC中,若(a＋c)(sinAsinC)＝b(sinA－sinB),則C＝( ).

解析方法1(角化邊)由題設及正弦定理,可得

(a＋c)(a－c)＝b(a－b),c2＝a2＋b2－ab.再由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC,則C＝,故選B.

方法2(邊化角)由題設及正弦定理,可得

2.2 部分創新題的解法

例3(第9題)坡屋頂是我國傳統建筑造型之一,蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓,展現造型之美.如圖1所示,某坡屋頂可視為一個五面體,其中兩個面是全等的等腰梯形,兩個面是全等的等腰三角形.若AB＝25m,BC＝10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為,則該五面體的所有棱長之和為( ).

圖1

A.102m B.112m

C.117m D.125m

解析如圖1 所示,由面ABFE和面DCFE是全等的等腰梯形,可得AB∥EF∥DC,EA＝ED＝FC＝FB.

如圖2 所示,過點F作FG⊥平面ABCD于G,設棱BC的中點是H,連接GH,FH.由題設及等腰三角形的“三線合一”,可得BC⊥FH,進而可得BC⊥GH.再由題設,可得

圖2

再過點F作FI⊥AB于I,連接GI,可得AB⊥GI.再由題設,可得

又 ∠FIG＝ ∠FHG,所 以 Rt △FIG≌Rt△FHG,故GI＝GH,FI＝FH.連接GB,可得BG是∠ABC的角平分線,連接GC,同理可得CG是∠BCD的平分線.

由AB∥DC,得∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝90°,所以∠BGC＝90°.再由GH⊥BC,H是棱BC的中點,可得GI＝GH＝HB.

由FI＝FH,可得Rt△FIB≌Rt△FHB,所以GI＝GH＝HB＝BI,因而四邊形BHGI是邊長為5的正方形,∠ABC＝90°.

同理,可得四邊形ABCD的四個角均是直角,所以四邊形ABCD是矩形.

綜上,五面體所有棱長之和為2AB＋EF＋2BC＋4FB＝2×25＋15＋2×10＋4×8＝117m,故選C.

點評該題及2005年全國Ⅰ卷理科第4題(即文科第5題),1999年高考全國卷文科、理科第10題、2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽一試第9題、第一屆(1983年)美國數學邀請賽試題第11題都是與芻甍體積有關的問題.

例4(第10 題)已知數列{an}滿 足an＋1＝(an－6)3＋6(n∈N*),則( ).

A.當a1＝3 時,{an}為遞減數列,且存在常數M≤0,使得an＞M恒成立

B.當a1＝5 時,{an}為遞增數列,且存在常數M≤6,使得an＜M恒成立

C.當a1＝7 時,{an}為遞減數列,且存在常數M＞6,使得an＞M恒成立

D.當a1＝9 時,{an}為遞增數列,且存在常數M＞0,使得an＜M恒成立

綜上,選B.

點評本題涉及大學數學中的知識“判斷數列是否有界、求數列極限”,試題也體現了高中數學與大學數學的銜接.

例5(第13題)已知命題p:若α,β為第一象限角,且α＞β,則tanα＞tanβ.能說明命題p為假命題的一組α,β的值為α＝________,β＝________.

解析由題意可知α,β為第一象限角,α＞β,tanα≤tanβ,且

因而所求的所有答案是“α,β為第一象限角且(2k－1)π≤α－β≤2kπ(k∈N*)”可取

例6(第14題)我國度量衡的發展有著悠久的歷史,戰國時期就已經出現了類似于砝碼、用來測量物體質量的“環權”.已知九枚環權的質量(單位:銖)從小到大構成項數為9的數列{an},該數列的前3項成等差數列,后7 項成等比數列,且a1＝1,a5＝12,a9＝192,則a7＝____;數列{an}所有項的和為____.

①f(x)在(a－1,＋∞)上單調遞減;

②當a≥1時,f(x)存在最大值;

③設M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2＞a),則|MN|＞1;

④設P(x3,f(x3))(x3＜－a),Q(x4,f(x4))(x4≥－a).若|PQ|存在最小值,則a的取值范圍是(0，].

其中所有正確結論的序號是________.

當a≥1 時,若x＜－a,則f(x)＝x＋2＜2－a≤a;若－a≤x≤a,則當且僅當x＝0時,fmax(x)＝a;若x＞a,則f(x)＜0,所以f(x)存在最大值,故②正確.

如圖3 所示,在同一平面直角坐標系xOy中作出三條曲線Γ1:y＝x＋2,Γ2:設曲線Γ3的端點是A(0,－1),則以點A為圓心、1 為半徑的圓Γ4與兩條曲線Γ1,Γ2均相離.

圖3

當x1＜－a時,M,N兩點分別在曲線Γ1,Γ3上,結合圖3可得|MN|＞1;當－a≤x1≤a時,M,N兩點分別在曲線Γ2,Γ3上,結合圖3也可得|MN|＞1,所以③正確.

若|PQ|存在最小值,則由圖4可知點Q不會在曲線γ3上,即在曲線γ2上.作OP′⊥γ1于P′(－1,1),可設線段OP′交曲線γ2于Q′,則由圖4可知,當且僅當P,Q兩點分別與P′,Q′兩點重合時,有

圖4

綜上,正確結論的序號為②③.

例8(第20題)設函數f(x)＝x－x3eax＋b,曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y＝－x＋1.

(1)求a,b的值;

(2)設g(x)＝f′(x),求g(x)的單調區間;

(3)求f(x)的極值點個數.

點評解答第(1)問時,求得函數f(x)＝xx3eax＋b的導函數f′(x)＝1－eax＋b(ax3＋3x2),這一步求導對運算能力要求較高.

解答第(2)問時,求得導函數g′(x)＝－xe1－x·(x2－6x＋6)的兩個無理數零點為,解方程的過程也對運算能力要求較高.

解答第(3)問時,先由第(2)問的解答可作出函數g(x)(即f′(x))的大致圖像,如圖5所示,接下來需要求出f(x)的導函數f′(x)的變號零點個數,但僅由圖5不能給出其嚴謹解答,而要用到零點存在定理來解答.一般來說,考生容易想到的是先判斷f′(x)的極值符號.

圖5

3 對高中數學教學及高考復習備考的建議

關于高中數學教學及高考復習備考,筆者強調以下六點.

1)第一輪復習要夯實基礎,堅決丟掉“偏、難、怪”的教學(包括解題教學),不可“深一腳、淺一腳”,這樣會導致“學生很怕數學”.

2)教師復習備考要讓學生感到心里有底,這是高效復習和減輕學生學習負擔的重要途徑,也是必由之路.比如,對于試卷第19題,教師要盡可能地引導學生揭示其背景,提升學生的學習興趣.

3)注重主干知識、聚焦核心考點、重視高頻考點,適當加大運算能力的培養:要知道梨子的味道一定要親口嘗一嘗;這道題難不難、會不會做,一定要親自動筆認真做.

4)關注高考數學北京卷的特色試題,比如,對三道壓軸題,平時要有針對性的訓練,即使第21題也不可全然放棄,要做到分分必爭;多關注新高考中的劣構題、數學文化題、多選題等,并盡可能地做到學以致用、欣賞數學,還要盡可能地做到見多識廣,并關注三道壓軸題的變化,不可“刻舟求劍”.

5)高中數學教學要永遠做好四個關鍵詞:夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高.考生要盡可能地學習數學課本之外的方法、知識,比如,數學歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等.

6)高中基礎年級(高一、高二)的數學教學務必重視基本概念的教學,并且要重視概念的情境引入及形成過程.教師先匆忙介紹概念再用盲目刷題的“簡單粗暴概念教學”可以停止了,因為這樣的教學,學生不可能掌握概念的來龍去脈,除了會“套題型”的機械解題之外根本不會“用理解概念來解創新題目”.

(完)