從關注數學的內容到關注數學的本質

侯明珍

“玉不琢，不成器。”同樣，課不磨，不精彩。一節好課不是模仿出來的，不是演出來的，而是一步一個腳印研磨出來的。這節課在哈爾濱市道里區進修學校小學部馬金國主任和童星老師的指導下經歷了多次研討、備課、試講，其間經歷了從關注一個知識點到關注整體架構、從關注本課設計到關注大單元備課、從關注數學內容到關注數學本質與思考的過程。

一、對教學內容的琢磨

“三角形的內角和”屬于“圖形的認識與測量”主題，是人教版四年級下冊第五單元內容。四年級上學期學生已經會用量角器量角，在這一單元里還認識了三角形，知道了三角形的分類，本課是讓學生理解和探索“三角形內角和是180°”這個重要性質，數學的核心思想是分類和轉化思想。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在本課教學提示中指出“可以從特殊三角形入手，通過直觀操作，引導學生歸納出三角形的內角和，增強幾何直觀”。

二、對教學設計的琢磨

基于以上分析，我最初設計了一定的情境，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各自拿出一個角比大小，誰會贏？學生提議公平起見各自把三個內角合起來比大小，順勢揭示概念。由比大小引發學生進行小組合作探究活動：動手量一量、算一算。接著借助手中形狀大小不同的三角形，采用剪、撕、折等多種方法動手把三角形的三個內角拼成一個平角，驗證三角形內角和是180°。

接著讓學生根據長方形的內角和是360°，把長方形分成兩個相同的直角三角形，推理、驗證得出直角三角形內角和是180°。

在此基礎上，任意一個三角形沿著它的高都可以將它分成兩個直角三角形。兩個直角三角形內角的和：180°+180°=360°，一個三角形內角和：360°-90°-90°=180°。

最后是應用三角形的內角和知識解決問題，獨立完成數學書第65頁做一做和第67頁的第1.2題。

在第一次試講過程中發現情境的創設和探究問題沒有激發學生的研究興趣，相反，四年級學生大多數知道三角形的內角和是180°，已經不是零起點。我們都說“學習要從孩子該開始、想開始的地方開始”，所以這樣的教學設計沒有達到使學生產生探索研究的“真需求”。而且《義務教育數學課程標準（2022年版）》注重教學內容的結構化，建議設計要整體分析、把握教學內容，不要局限于一節課，可以是單元整體設計，也可以跨單元、跨年級甚至跨學段進行內容模塊設計，通過長期持續的教學活動，幫助學生構建支撐未來學習的數學知識體系，把握數學學科本質，學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣。所以我聯系初中研究的三角形內角和知識，從學生已知出發，對三角形、三角形的角、三角形的內角、三角形的內角和的概念深入地逐一做出了描述性解釋，使學生真正掌握三角形內角和的本質。

片段1：在黑板上畫一個三角形，問關于三角形都知道了什么，接著再在三角形中畫一條線段，請學生指一指現在這個圖形里有幾個三角形？

每個三角形的角都在哪兒？

之后讓學生辨析這個角是1號和3號三角形的角嗎？學生明確我們所說的三角形的角不但都在三角形的里面，而且是三角形兩條邊夾著的角。

順勢揭示概念三角形的內角和概念。

通過這樣扎實有效的活動，為后面的學習掃清障礙，不但進一步加深了學生對角的認識，同時使學習的指向性變得更加清晰，也體現了教師對學情的準確把握和預設。

片段2：有什么方法可以知道這三個三角形的內角和呢？學生首先想到動手量一量算一算，順勢引導學生合作探究進行活動一。從學生測量數據中發現這三個三角形的內角和大多數是180°，和三角形的大小沒有關系，即使不是也非常接近180°，真切感受到測量誤差的真實存在性。還有什么方法檢驗三角形的內角和是180°呢？老師提前給每人準備一個形狀、大小都不一樣的三角形，接下來進行活動二。

學生聯系平角的知識，用“剪拼”“撕拼”“折拼”等方法，，把三角形的內角和轉化成一個平角，驗證三角形的內角和是180°。通過操作，學生經歷了從特殊到一般，從個別到多樣的過程，又通過把三角形內角和轉化為平角的探究活動，向學生滲透“轉化”數學思想，增強幾何直觀。

但這還不夠，在這個基礎上老師又利用計算機中的幾何畫板引導學生觀察數據，發現無論三角形形狀怎樣變，但內角和180度是不變的。

片段3：出示幾何畫板中的一個三角形ABC，電腦會自動計算出每個角的度數并顯示出來，還算出它的內角和是多少度，然后拉動頂點A，三角形的形狀發生變化，數據也發生了變化，可內角和還是180°。再拉一拉觀察三個角的度數和三角形的內角和。再換頂點B頂點C拉動，重點觀察三角形的內角和。

學生很自然地發現三角形的形狀在變，三個角卻互相牽制，有的角在變大，有的角在變小，但是三角形的內角和沒有變化，任意三角形的內角和都是180°。

從第二次試講的課堂來看，學生對于任意三角形內角和是180°這一結論真正做到了在真實情境中經歷“猜測———動手實踐———得出結論”這一過程。

但是新的問題又出現了，練習題的設計始終和前面的知識不能成為一體，也就是新課標要求教學目標的設定要體現整體性，注重教學內容的結構化，或者在單元視角下，讓學生運用三角形的內角和是180°特征解決哪些問題更有效。怎樣能夠培養學生發現問題和解決問題的能力擺在眼前。經過進一步思索，聯系本單元接下來的內容多邊形的內角和，做到能夠關注知識的結構化，讓教學精準啟航。

片段4：出示一個長方形，它的內角和可以利用4個直角乘4來解決，也可以用對角線把這個長方形分成兩個三角形，三角形的內角和是180°，乘2也等于360°。

再出示不規則四邊形，它的內角和同樣可以轉化成兩個三角形來解決。五邊形、六邊形都可以推理轉化成三角形的內角和來解決，讓學生思維打開，認識一種新的數學方法“推算”。

接著回到課前研究過的三角形，根據這幾個已知角的度數求出其他角的度數并發現它們之間有什么關系。這些題目具有較強的綜合性，學生要靈活運用所學知識解題，既鞏固三角形內角和的性質，平角等相關知識，還適度拓展外角的知識，提高思維的有序性和靈活性。

歷史是根，文化是土壤，在新課標理念的引領下，在立足學生核心素養培養的今天，教師還要在課堂上傳授知識技能的過程中滲透數學史和數學文化。這節課的最后，通過一段小微課，向學生介紹了泰勒斯、帕斯卡等數學家研究驗證三角形內角和是180°的故事，以及有趣的轉筆驗證法，讓學生跨越時空了解這些偉大數學家解決問題的策略，提升自身認知，促進知識的融會貫通。

每一次磨課時領導和同事都能客觀地提出存在的問題及改進的意見，在肯定教學大框架的基礎上，摳細節，精益求精。在《黑龍江教育》同課異構活動中，老師的精彩呈現獲得了大家的認可。雖有待改進的地方，但一次次磨課的過程正體現了一名青年教師追求上進的工作態度。

好課鋒從“磨課”出，精彩緣自“苦磨”來。經過了研課磨課，上課教師能精彩演繹打磨后的課堂教學，讓每一位教師感受到了“研課”的效果、“磨課”的魅力，真正做到了在研磨中學習、成長。