利用幾何畫板可視化工具突破“圓周角”教學難點

劉菁華

(福建省建甌市第四中學,福建 南平 353100)

在初中數學幾何課堂上遇到幾何知識中的動點問題時,要求初中學生具有較高的空間想象能力和思維能力.傳統的授課模式是由教師“手工”在黑板上畫出靜態的圖形進行講解,對于那些缺乏空間想象力的同學就容易產生畏難情緒進而失去學習興趣.如果在幾何課堂上運用幾何畫板進行教學,課堂情況就和傳統課堂完全不一樣了,它能夠準確、動態地表現幾何問題,讓學生在直觀演示中發現問題并探索幾何的本質.

以“圓周角”為例,談談如何利用幾何畫板可視化教學突破“圓周角”教學難點[1].《義務教育數學課程標準(2022年版)》中“圓周角”的課標要求:探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系,知道同弧(或等弧) 所對的圓周角相等.了解并證明圓周角定理及其推論:圓周角等于同弧所對圓心角的一半.本課時的教學難點如下:(1)發現同弧所對的圓心角與圓周角之間的數量關系;(2)同弧所對的圓心角只有一個,而所對的圓周角有無數多個,一條弧所對的無限多個圓周角應該按什么特征進行恰當的分類并進行圓周角定理的證明.

1 利用幾何畫板發現和驗證同弧所對的圓心角與圓周角之間的數量關系

這節課先通過復習引入,讓學生體會圓周角概念的生成過程,根據已有知識類比得到新知,同時通過呈現有關圓周角的正例和反例,讓學生對于圓周角概念的本質屬性和非本質屬性進行比較,加深對于概念的理解.學生通過找圓周角與圓心角所對的弧,發現它們之間對的是同一條弧,引發學生思考同弧所對的圓周角與圓心角之間是否還存在其它關系,進一步引導學生小組合作,經歷度量、觀察、猜想、探索圓周角與圓心角之間的位置關系和數量關系.

學生通過用量角器分別測量學案中幾組同弧所對的圓周角和圓心角的度數,發現并提出猜想:同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對的圓心角的度數的一半.

用幾何畫板繪制圖形:畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB,并標記要度量的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB以及它們的比值.

(1)固定弧AB的位置,拉動點C,使點C的位置發生變化,讓學生觀察圖像動態的變化

圖1 圓心角與圓周角關系(a)圖

學生發現當弧AB的位置不變時,即使點C的位置在變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數值以及它們的比值始終沒有變化.

(2)固定點B、C,拉動點A,使點A的位置發生變化,讓學生們觀察圖像動態的變化

圖2 圓心角與圓周角關系(b)圖

學生發現當固定點B、C,拉動點A時,弧AB發生了變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數值明顯發生了改變,但是它們的比值始終為0.5,并沒有變化.

(3)固定點A、C,拉動點B,使點B的位置發生變化,讓學生觀察圖像動態的變化.

圖3 圓心角與圓周角關系(c)圖

學生發現當固定點A、C,拉動點B時,弧AB發生了變化,弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的數值明顯發生了改變,但是它們比值始終始終為0.5,并沒有變化.

通過以上幾何畫板動畫演示,讓學生在動態變化過程中觀察變化的是圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的位置關系以及不變的是它們比值始終為0.5的數量關系,讓學生通過觀察進一步體會猜想的正確性[2].

2 利用幾何畫板進行演示,發現分類的依據以及驗證分類的正確性

雖然幾何畫板已經驗證過猜想的正確性,但是此時猜想還不能當作定理來使用,還需要利用所學知識進行嚴密的邏輯證明.弧AB所對的圓心角只有1個,弧AB所對的圓周角有無數個,因此證明圓周角定理時,不能逐一驗證無數個圓周角,學生容易理解需要對圓周角進行分類,此時教學的難點為:弧AB所對的無限多個圓周角應該按什么特征進行恰當的分類呢?可以分成幾類呢?為了突破這一難點,筆者先讓學生分組探究合作,討論出按某一特征進行恰當的分類,組長將討論結果記錄下來,派代表,分享小組的成果.然后筆者再采用幾何畫板進行幾何動畫演示,讓學生在動態變化演示過程中得出分類的依據以及驗證分類的正確性[3].

用幾何畫板繪制圖形:畫出⊙O中弧AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB,制作“動畫點C”.當鼠標點擊“動畫點”時,點C的位置就在弦AB所對的優弧上運動,讓學生觀察圖像動態的變化,找出分類的依據.

圖4 圓心O與圓周角位置關系(a)圖

學生發現隨著點C的變化,圓心O與圓周角∠AOB的位置發生了變化,又因為圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,所以圓心O與圓周角∠ACB的位置大體分為三類:

圖5 圓心O與圓周角位置關系(b)圖

幾何畫板的動態演示,使學生更容易發現和理解弧AB所對的無限多個圓周角應該按以圓心O與圓周角∠ACB的位置特征進行分類,為后續的證明提供了正確的方向.

3 利用幾何畫板極大地吸引了學生上課的注意力,并激發了學生的學習興趣

使用幾何畫板動畫演示,改變了傳統數學課堂枯燥乏味的教學氛圍,解決了靜態圖片不連續、不直觀的局限性,幾何畫板給學生帶來了非常直觀的效果和視覺的沖擊,極大地吸引了學生上課的注意力并激發了學生的學習興趣,以上兩個環節通過使用幾何畫板,使學生的專注度特別高,而且都參與到課堂的各個環節,積極討論探索新知,特別是能感到學生對后續的證明都躍躍欲試.分組討論后,學生們發現了情況①比較特殊,于是先從情況1開始證明:

圖6 圓心O與圓周角位置關系(c)圖