巧用“三觀”妙解三角恒等變換問題
——以2022年新高考全國Ⅰ卷第18題為例

蔡雙湖

(福建省安溪第八中學,福建 泉州 362402)

解三角形問題往往與平面幾何、函數與方程、三角函數、平面向量、基本不等式等相關知識點交匯.三角恒等式變換是進一步研究三角函數圖象和性質、正弦定理和余弦定理及其應用的基礎,它是解決三角函數相關問題的必要知識和能力.全面貫徹新課標“知識交匯命題”的指導思想,是高考數學命題的一個基本考點,備受各方關注.以2022年新高考全國Ⅰ卷第18題為例,抓住常用三角函數公式的處理方法和變換方向,幫助學生進一步掌握三角恒等式變換的基本技能,積累三角恒等式轉換的基本經驗,從而提高解決問題的能力[1].

1 觀角

所以cosAcosB=sinB+sinAsinB.

所以cosAcosB-sinAsinB=sinB.

即cos(A+B)=sinB.

所以cos(π-C)=sinB.

解法2由A+B+C=π,得

解析利用兩次變角α=(α-β)+β,2α-β=(α-β)+α.

所以-π<2α-β<0.

因為tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=1,

2 觀名

整理,得3tan2α-8tanα-3=0.

3 觀結構

要熟悉三角恒等變換的各個公式的結構特征以及各種變形,像升冪、降冪,和差化積、積化和差,輔助角公式.

所以f(x)在(0,π)單調遞增.

練習5(2023年新高考全國Ⅰ卷第17題第(1)問)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB．求sinA.

解析因為A+B=3C,所以π-C=3C.

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC.

所以sinAcosC=3cosAsinC.

所以sinA=3cosA.即tanA=3.

因為sin26°

綜上所述,本文以2022年新高考全國Ⅰ卷第18題為例,抓住常用三角函數公式的處理方法和變換方向,梳理了三角恒等式變換的基本技能,積累三角恒等式轉換的基本經驗,總結了解決三角恒等變換問題的三個常見視角:觀角、觀名、觀結構.因此,在日常教學中,不僅要總結常見的結論,還要注意結論的推導,明白變化的本質,加深對數學知識的理解,實現對數學知識的建構,積累基本數學活動的經驗,達到對基本技能的掌握,增強運用數學知識解決問題的能力.