圓錐擺變形記之“雙線圓錐擺”

高安強

(臨沂華盛教育集團,山東 臨沂 276017)

圓錐擺[1]是高中的圓周運動的重要物理模型,圓錐擺的變形較多,例如光滑漏斗內壁圓錐擺、粗糙漏斗內壁圓錐擺、粗糙漏斗外壁圓錐擺、光滑漏斗外壁掛繩圓錐擺、雙線圓錐擺等等.很多初學者在學習圓錐擺時,因為圓錐擺及其變形內容繁多,理不清頭緒而至煩惱不已,為了解決初學者的這些困擾,下面就對圓錐擺的變形之一——雙線圓錐擺進行討論和總結.

1 雙線在兩邊

如圖1,兩繩在水平方向的分力之差充當向心力;豎直方向的分力與重力的合力等于零.

例題1 如圖1所示,在固定的豎直桿上固定水平桿,二桿垂直,把兩根輕繩初端系在水平桿的O、A兩點,兩繩的末端都系在同一個小球上,小球的質量為m,并且OA=OB=AB=l,現讓豎直桿勻速轉動,三角形OAB始終在豎直平面內,g為重力加速度,不計空氣阻力,則下列說法正確的是( ).

A．當桿轉動角速度增加時,OB繩上的拉力變大和AB繩上拉力減小

解析A:對小球受力分析,則

水平方向:

FOBcos60°-FABcos60°=mlcos60°ω2

①

豎直方向:FOBsin60°+FABsin60°=mg

②

由①②兩式解得

當桿轉動角速度ω增加時,OB繩上的拉力變大和AB繩上拉力減小,故選項A正確;

答案:A

2 一線的拉力或一線拉力豎直方向的分力等于擺球的重力

(1)如圖2(a)所示,在角速度變化的過程中,因為繩a上的拉力大小不變,大小等于mg;繩b上的拉力充當向心力.

圖2 豎直方向拉力或拉力的分力與重力平衡

(2)如圖2(b)所示,繩上的拉力大小不變,豎直方向的分力等于重力;水平分力和筒壁的支持力的合力充當向心力;當然筒壁的支持力可能等于零.

例題2如圖3所示,豎直圓桶的內壁光滑,繞中心軸做勻速圓周運動,輕繩的另一端系于圓桶上表面圓心,另一端系有一個質量為m的物體,且物塊貼著圓桶內表面隨圓桶一起轉動,輕繩與豎直方向的夾角等于60°,輕繩的長度等于2 m,物塊的質量等于1 kg,則( ).

圖3 例2題圖

A.小物塊圓周運動的向心力等于繩子水平方向的分力

B.當ω=10 rad/s時,桶對物塊的彈力等于為零

C.當ω=20 rad/s時,繩子的拉力等于20 N

D.當ω=20 rad/s時,筒壁的彈力等于390 N

答案:BC

3 雙線在一邊

雙線圓錐擺如圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)所示,三種情況下的臨界狀態都可以利用離心趨勢找出來.

圖4 雙線在一邊

(1)當轉軸不轉動時,圖4(a)、圖4(b)、圖4(c),三種情況下的小球都會緊靠在轉軸上,此時AC繩拉緊而BC繩松弛.小球不離開轉軸.

例題3如圖5(a)所示,豎直細桿下端固定在位于地面上的水平轉盤上,一質量為m的1 kg小球接上長度均為L=2 m不可伸長的兩相同的輕質細線a、b,a細線的另一端結在豎直細桿頂點A,細線b的另一端結在桿的中點B,AB長度為l=L.當桿隨水平轉盤繞豎直中心軸勻速轉動時,將帶動小球在水平面內做勻速圓周運動,如圖5(b).不計空氣阻力,重力加速度為g.則( ).

圖5 例3題目

CD:對擺球受力分析如圖5(c)所示,列方程

Facos30°+Fbcos30°=mLsin60°ω2

①

Fasin30°=Fbsin30°+mg

②

解得兩繩上的拉力等于

Fa=30 N

Fb=10 N

故CD錯.答案:A

解答雙線圓錐擺的關鍵還是對擺球受力分析清楚,建立坐標系,在建立坐標系時,要注意兩軸的方向,一定要有一個軸指向圓心,這樣求出這個軸上的合外力即為向心力,另一個軸上合外力等于零.另外需要明確兩個繩子出現和消失拉力的臨界點.