2023年新高考Ⅰ卷22題的多解與推廣

劉才華

(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué),山東 泰安 271400)

2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題,試題簡潔明快,入手容易,深入難,在重視對基礎(chǔ)知識、基本方法以及基本思想考查的同時(shí),突出了創(chuàng)新性和理性思維,對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)均有較高的要求.學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中要重視教材、回歸基礎(chǔ).另外,此試題在反套路和反機(jī)械刷題上也起到了很好的示范警示作用.

1 試題呈現(xiàn)

2 試題解析

由于曲線平移不會改變矩形的周長,我們只需證明如下命題:

思路1 利用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法和兩點(diǎn)間距離公式求出邊長,通過放縮化歸為一元不等式解答.

由PQ⊥QM,得

由(x2-x1)(x2-x3)≠0,得

(x2+x1)(x2+x3)=-1.

不妨設(shè)0

由PQ⊥QM,得

由(x2-x1)(x2-x3)≠0,得

(x2+x1)(x2+x3)=-1.

不妨設(shè)0

|x2+x3|≥|x2+x1|.

思路2 利用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法和兩點(diǎn)間距離公式求出邊長,結(jié)合不等式放縮化歸為一元函數(shù)最值問題,通過導(dǎo)數(shù)知識解答.

證法3過程同證法1,得到

思路3利用設(shè)直線方程的方法,通過弦長公式求出邊長化歸為一元不等式解答.

證法4 不妨設(shè)P,Q,M三點(diǎn)在拋物線y=x2上.設(shè)Q(t,t2),直線QM的方程為y=k(x-t)+t2,且k>0,聯(lián)立y=x2消去y,得

x2-kx+kt-t2=0.

則Δ=(k-2t)2>0,

由PQ⊥QM,同理可得

(1)當(dāng)0

(2)當(dāng)k>1時(shí),

思路4利用設(shè)直線方程的方法,通過弦長公式求出邊長化歸為分段函數(shù),結(jié)合一元不等式解答.

證法5過程同證法4,得到

思路5 利用直線的參數(shù)方程及其幾何意義,化歸為三角函數(shù)最值問題解答.

t2cos2θ+t(2x0cosθ-sinθ)=0.

由PQ⊥QM,得

故|PQ|+|QM|

令f(x)=x-x3,0

則f′(x)=1-3x2.

作進(jìn)一步地推廣,對于一般的拋物線x2=2py(p>0),我們可以得到如下命題:

命題2可以利用上述證明思路給出不同的證明[1],過程從略.