2022年甲卷理數客觀壓軸題的探究及啟示

王東海

(安徽省肥東縣城關中學,安徽 合肥 231600)

好的試題來之不易,它需要命題老師源于教材,又要高于教材,要注重基礎性、創新性,還要立足于考查考生的關鍵能力和數學學科核心素養.

1 真題呈現

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

分析此題中三數的數值差距極小,如采用常規的作差法、作商法比較大小,則難以奏效.觀察其結構特點,可嘗試構造函數,再輔之求導判斷其單調性進行比較大小.

2 解法探究

則f′(x)=-x+sinx,f″(x)=-1+cosx≤0.

從而f′(x)

故f(x)

即a

因為g′(x)=-xsinx<0,

則g(x)

即xcosx

所以b

綜上,c>b>a.故選A.

探求思路2這里比較大小時使用了構造法,而構造的函數不是唯一的,可以構造多種函數.

從而f′(x)

故有f(x)

即a

設g(x)=tanx-x,

所以g(x)>g(0)=0.

故tanx>x.

所以c>b.

綜上,c>b>a.

探求思路3 此題出現的幾個式子都與sinx、cosx有關,這里還可以考慮利用sinx、cosx的放縮不等式嘗試比較大小[1].

解法3 由三角函數線的知識可得放縮不等式

即a

所以c>b.

綜上,a

故選A.

評注這類放縮不等式平時都會有所涉及,只要我們能夠足夠重視,運用起來就會得心應手.

探求思路4 函數的泰勒展開式,對于比較大小往往會化繁為簡.

解法4 根據泰勒公式,知

而由泰勒公式,知

水行政立法執法工作不斷加強。完成了《大連市節約用水條例（草案）》制訂工作。開展了打擊“涉河違法行為”專項執法行動，共完成河道采砂巡查45次，立案51起，清除行洪障礙25萬m3，全市水事秩序進一步好轉。

從而a

故選A.

評注泰勒公式雖是估值計算,但對解決選填題的比較大小問題,不失為一種快速有效的方法.

3 推廣拓展

從而nsinx>nxcosx.

4 幾點啟示

4.1 背景分析

也就是說,我們可以將具有任意階導數的函數展開成一個多項式函數,而高中所學的基本初等函數在定義域內大都具有任意階導數.對于一些常見函數的泰勒展開式,在教學中要求學生盡量記住,如

此式兩邊求導,得

A.a

C.c

解析根據泰勒公式,知

由此而知,

綜上,c

A.a

C.b

故a=2ln(1+0.01)

綜上所述,b

題3設函數f(x)=ex-1-x-ax2≥0對x∈[0,+∞)恒成立,求實數a的取值范圍.

解析因為f(x)=ex-1-x-ax2≥0,

所以ex≥1+x+ax2.

當a≤0.5時,顯然函數f(x)=ex-1-x-ax2≥0對x∈[0,+∞)恒成立.

故a≤0.5.

上面這三道高考題的解法運用到了高等數學中的部分知識,事實上近年來的高考題往往有高等數學的身影,如高等數學中的泰勒級數、洛必達法則、拉格朗日中值定理、函數的凸凹性、空間解析幾何等.學生若是掌握了這部分知識可以很快給出答案.因此想考高分的同學,盡量還是要掌握一點大學的知識,筆者平時的教學也會根據學生情況進行分層教學,適當滲透一些高等數學的知識,如讓學有余力的學生記住常用函數泰勒展開式、拐點等,并教會他們如何去運用[2].

4.2 追本溯源

2022年高考數學全國甲卷第12題是一道對思維能力有較高要求的好題,但它并不是無本之源,而是與教材有著緊密的聯系,正是貫徹了高考命題源于教材、高于教材的理念.此題的通解通法是構造函數,然后判斷單調性即可.

考題是以此課本習題為藍本進行命題的.因此筆者在平時的實際教學中也非常重視對課本例習題的挖掘,尤其是對教材中的“好題”的挖掘,所謂好題,就是指蘊含豐富的數學思想、開闊的思路、廣闊的切入點的課本例習題.針對這些好題,要挖掘其中的高等數學背景,剖析背后的數學本質,感悟試題設計所蘊含的數學思想等,這樣才能為高考打好基礎.

4.3 教學感悟

4.3.1選擇素材,一題多解

從這次的高考數學來看,光靠題海戰術,靠大量刷題是行不通的,它對學生的關鍵能力和創新思維有著要求,隨著新高考的逐步落地,高考評價體系也在逐步完善,推動著高考命題由能力立意向素養導向的變革,近年來的高考全國卷在題型、情景、設問方式等方面不斷進行改革,導致新高考閱讀量和靈活度增大.高三備考復習課上,雖然教師有基本方法的小結,但學生往往無法上升到解題能力的提升,這就容易造成復習時間長、效率低、進度慢的局面.而在復習中精選素材開展“一題多解”教學則能開拓學生的解題思路,并引導學生從多種解法的對比中選出最佳解法,使學生分析問題、解決問題的能力得到提高.因此在實際教學中既要重點講解通解通法,也要適當滲透其它一些解題方法,這樣才能培養學生的發散思維.

4.3.2培養編題,重視探究