圓錐曲線中一類垂直與斜率關系的探討

高繼浩

(四川省名山中學,四川 雅安 625100)

(1)求橢圓E的方程;

(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q,試探究:在x軸上是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.

1 解法探究

視角1 利用判別式求解.

解法1 聯立直線l與橢圓的方程,消去y得(4k2+3)x2+8mkx+4m2-12=0.

因為直線l與橢圓有且只有一個公共點P,

故Δ=(8mk)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0.

化簡,得m2-4k2=3,顯然m≠0,于是

聯立x=4與y=kx+m得Q(4,4k+m).

設在x軸上存在定點M(t,0)滿足題意,則

此式對任意實數k,m(m≠0)恒成立,故t=1.所以存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

視角2 利用切線結論求解.

設在x軸上存在定點M(t,0)滿足題意,則

整理,得(t-1)(t-3-x0)=0.

此式對任意實數x0恒成立,故t=1.所以存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M[1].

整理,得(t-1)(t-3-2cosθ)=0.

此式對任意θ恒成立,故t=1,所以存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

2 拓展探究

試題第(2)問中滿足條件的點M恰好是橢圓的右焦點,將其進行拓展可得:

故FP⊥FQ[2].

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然y0≠0.

(1)若y0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然x0≠0.

3 類比探究

對雙曲線進行探究,得到:

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

(1)若y0=m,則MP⊥MQ;

命題4、命題5、命題6的證明與命題1、命題2、命題3類似,略.

對拋物線進行探究,得到:

故FP⊥FQ.

命題8 已知拋物線y2=2px(p>0)和點M(m,0)(m≠0),過拋物線上一點P(x0,y0)的切線與直線x=-m相交于點Q.

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然y0≠0.

(1)若x0=m,則過點P的切線方程為y0y=p(x+m).將x=-m代入解得yQ=0.此時直線MP的斜率不存在,直線MQ的斜率為0,故MP⊥MQ.