圓錐曲線中一類垂直與斜率關(guān)系的探討

高繼浩

(四川省名山中學(xué),四川 雅安 625100)

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,試探究:在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

1 解法探究

視角1 利用判別式求解.

解法1 聯(lián)立直線l與橢圓的方程,消去y得(4k2+3)x2+8mkx+4m2-12=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,

故Δ=(8mk)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0.

化簡(jiǎn),得m2-4k2=3,顯然m≠0,于是

聯(lián)立x=4與y=kx+m得Q(4,4k+m).

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M(t,0)滿足題意,則

此式對(duì)任意實(shí)數(shù)k,m(m≠0)恒成立,故t=1.所以存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

視角2 利用切線結(jié)論求解.

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M(t,0)滿足題意,則

整理,得(t-1)(t-3-x0)=0.

此式對(duì)任意實(shí)數(shù)x0恒成立,故t=1.所以存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M[1].

整理,得(t-1)(t-3-2cosθ)=0.

此式對(duì)任意θ恒成立,故t=1,所以存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

2 拓展探究

試題第(2)問(wèn)中滿足條件的點(diǎn)M恰好是橢圓的右焦點(diǎn),將其進(jìn)行拓展可得:

故FP⊥FQ[2].

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然y0≠0.

(1)若y0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然x0≠0.

3 類比探究

對(duì)雙曲線進(jìn)行探究,得到:

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

(1)若y0=m,則MP⊥MQ;

命題4、命題5、命題6的證明與命題1、命題2、命題3類似,略.

對(duì)拋物線進(jìn)行探究,得到:

故FP⊥FQ.

命題8 已知拋物線y2=2px(p>0)和點(diǎn)M(m,0)(m≠0),過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線與直線x=-m相交于點(diǎn)Q.

(1)若x0=m,則MP⊥MQ;

證明顯然y0≠0.

(1)若x0=m,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+m).將x=-m代入解得yQ=0.此時(shí)直線MP的斜率不存在,直線MQ的斜率為0,故MP⊥MQ.