“直觀想象”素養(yǎng)下的立體幾何最值問題求解策略

王芬芬

(江蘇省溧水高級中學(xué),江蘇 南京 211200)

立體幾何,其核心是“立體”問題與“幾何”問題,其本質(zhì)是平面幾何的三維化,是代數(shù)問題的幾何化.立體幾何的考查中常常涉及距離、角度、面積和體積等最值問題,此類最值問題的考查,往往與其他多個模塊的知識融合交匯,如平面幾何、函數(shù)、向量等,因此備受命題者青睞.此類問題的求解,不僅需要豐富的空間想象能力、扎實穩(wěn)定的運(yùn)算能力,還需靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等方法將動態(tài)問題靜態(tài)化、空間問題平面化、幾何問題代數(shù)化.這些等價轉(zhuǎn)化都是建立在學(xué)生對空間幾何體的精準(zhǔn)認(rèn)識、熟練認(rèn)知的基礎(chǔ)上,同時要求學(xué)生必須具備“直觀想象”素養(yǎng).

1 借助直觀想象,動態(tài)問題靜態(tài)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).正如史寧中教授所說:“數(shù)學(xué)的結(jié)論常常是‘看’出來的,不是‘證’出來的.這種‘看’依賴的就是數(shù)學(xué)直觀.直觀不是‘教’出來的,而是學(xué)生自己‘悟’出來的,這就需要經(jīng)驗積累.”教材,便是學(xué)生經(jīng)驗萌生的搖籃.新課標(biāo)新要求下的新高考,對立體幾何問題的命制充分體現(xiàn)了以各版本教材為基礎(chǔ),將核心素養(yǎng)融入試題.因此,教學(xué)時教師應(yīng)充分利用好教材中的例題和習(xí)題,深度挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,幫助學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗,切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

鏈接教材(人教A版必修二119頁練習(xí)第3題)將一個棱長為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個球體零件,則可能制作的最大零件的體積為____.

解析當(dāng)球與正方體內(nèi)切時體積最大,為36πcm3.

評析從問題表象看是一個將正方體磨制成球體、從外向內(nèi)、削棱去角的過程,問題的實質(zhì)可以看成正方體內(nèi)部有一個球,不斷膨脹后達(dá)到極限狀態(tài)——與正方體的六個面均相切,即為正方體的內(nèi)切球時不能再膨脹.這是一個借助幾何直觀,通過尋找臨界狀態(tài),將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題,即“化動為靜”的過程.

案例1已知四面體ABCD的棱長滿足AB=AC=BD=CD=2,BC=AD=1,現(xiàn)將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中,使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動,則圓錐側(cè)面積的最小值為____.

2 借助直觀想象,空間圖形平面化

空間問題平面化即降維是處理立體幾何問題的一種重要的思想方法．空間問題平面化,就是將空間的點、線、面的關(guān)系平鋪到同一平面上進(jìn)行研究,在這個平面中將已知和目標(biāo)的各個元素串聯(lián)在一起,通過研究各元素間的關(guān)系,使得空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

案例2已知某圓錐的母線長為3,底面半徑為1,則該圓錐的體積為____.設(shè)線段AB為該圓錐底面圓的一條直徑,一質(zhì)點從A出發(fā),沿著該圓錐的側(cè)面運(yùn)動,到達(dá)點B后再沿側(cè)面回到點A,則該質(zhì)點運(yùn)動路徑的最短長度為____.

評析曲面上路徑最短問題,可以借助平面上的常用結(jié)論——兩點間距離線段最短,借助幾何轉(zhuǎn)化,將曲面問題化為平面問題——化曲為平.既然有化曲為平,那折線段最短問題又怎么解決?

案例3(多選)如圖1所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,P是A1B上的一動點,則( ).

圖1 案例3圖 圖2 案例3解析圖

解析(1)求DP的最小值即求點D到線段A1B的距離,在等腰△A1BD中利用等面積即可求,選A.

(2)解決折線段和最小問題,教師可先給出如下引導(dǎo)問題:

一個質(zhì)點在長方體表面從點A出發(fā)運(yùn)動到點C1的過程中,運(yùn)動的最短路徑長度為____.

評析折面上路徑和最短問題,依然可以類比前面已經(jīng)解決了的曲面上線段最短問題的解決策略——化折為直.將折面沿交線展開平鋪,這樣折線段最短就可以轉(zhuǎn)化為直線段長度和的問題,此轉(zhuǎn)化可以將立體幾何問題化歸為平面幾何問題.

3 借助直觀想象,幾何問題代數(shù)化

代數(shù)重點研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法;幾何主要研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì).代數(shù)與幾何相輔相成,融為一體.通過轉(zhuǎn)化與化歸,我們可將立體幾何的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值,借助函數(shù)求出最值.

圖3 正四棱錐高為變量

評析該題考查的是錐體體積的取值范圍的求解問題,可以引入兩個變量,借助兩個變量之間的等量關(guān)系先消元,再通過求導(dǎo)判斷出目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性,從而求出目標(biāo)函數(shù)的值域,即將幾何問題代數(shù)化來解決立體幾何中的最值問題.

基于直觀想象的立體幾何最值問題的解決,改變了原有問題的抽象狀態(tài),將問題具體化、形象化,使學(xué)生在解決問題的過程中不再是面臨冰冷的數(shù)學(xué)符號和圖形,而是通過直觀想象加強(qiáng)了問題的可視化、可解化,使學(xué)生在問題的解決過程中推動了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的培養(yǎng).因此,立體幾何教學(xué)中,我們應(yīng)該繼續(xù)專研教材教法,重視知識的交匯,將直觀想象落到實處,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升,讓想象與推理并重,幾何與代數(shù)齊飛.