基于數學運算素養下的近似值運算問題

晏 鴻

(新疆烏魯木齊市新疆教育科學研究院,新疆 烏魯木齊 830049)

《普通高中數學課程標準(2020年修訂)》提出:數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括運算對象、運算法則、運算思路、運算方法、運算程序、運算結果六個關鍵指標[1].其中運算對象是條件,運算法則是規則,運算思路是方向,運算方法是工具,運算程序是藍本,運算結果是目的. 本文結合高考真題,基于數學運算素養的視角,提出解決近似值運算問題的基本思路,以供參考.

1 理解運算對象,應用運算法則

為突顯高考的核心功能,現在的高考卷有一種趨勢,便是適當增加融入德智體美勞五育背景的題目.這種題都是以真實問題為情境,然后進行合理的描述,雖然這個情境學生本身不了解或者是超出了學生的能力范圍,但題干中會直接給出獨立的結論,僅要求在這個結論基礎上進行解題.因此理解運算對象、用好獨立的運算法則尤為重要.

分析解決本題的關鍵在于能否冷靜細致讀題,正確理解題意與運算對象,將有關式子變形,建立關于α的等式,運用提供的近似計算結論求解．但由于題干較長,數學閱讀理解能力要求較高,再加上考查了近似值運算,屬于非常規考查,因此考查難度較大．

故選D.

故選D.

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解析由L=5+lgV,得

lgV=L-5=4.9-5=-0.1.

故選C.

評析這類題的解決重在不要被大段的文字所迷惑,本末倒置.要抓住運算對象,理解運算對象的數學問題本質,運用好題目中提供的運算法則.

2 探究運算思路,選擇運算方法

代數運算是解決數學問題的基本方法,是數學運算素養的外部表征,是數學能力強弱的反映.提高運算能力更需要優化思維品質,結合感性與理性,關聯已知與未知,將方向與方法融合,知識與經驗貫通,從運算思路、運算方法入手,選擇合理的解決辦法.

A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

分析本題思維難度不大,只要求出棱臺的高,利用棱臺的體積公式就可解決,如果體積公式沒記住,也可以選擇把棱臺補成棱錐的方法,此外還要把具體數字算對．

解析如圖1,由已知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9(m),增加的水量為棱臺的體積V．

圖1 2022年新高考全國Ⅰ卷理4

棱臺上底面S=140.0(km2)=140×106(m2),

下底面積S′=180.0(km2)=180×106(m2),

≈(96+18×2.65)×107

=1.437×109≈1.4×109(m3)．

故選C．

圖2 例4題圖 圖3 例4解析圖

A.I1

C.I2

解析如圖3,作正方形ABCE,F為正方形的對角線的交點,則∠AFB=90°,∠BOC<90°,∠AOB=∠COD>90°.

又AB=BC,則OA

作AG⊥BD于點G,由AB=AD,

則OB

而cos∠AOB=cos∠COD<0,

所以I3

于是I3

故選D．

評析近幾年的高考數學命題對標課程標準,創新考查思路,堅持反套路反刷題,引導中學教學改變機械死板、以練代講的模式.如例2對棱臺體積的考查,既在課程標準的內容范圍內,又回避了各種教輔資料上常考的柱、錐和球,用不常規的考題,選拔出真正理解學科知識本質的學生,有利于創新型人才的培養,讓高三幾本教輔、幾張試卷講到底失效．

3 設計運算程序,求得運算結果

數學運算表面上看是一種數學規律的變化,運算過程只需要遵循運算法則就行,但深層次理解就會發現其中包含邏輯推理的素養,是“邏輯思維與數字計算”的混合體,是演繹推理的一種形式.因此依據邏輯推理,為近似值運算設計最簡潔、最有效的運算程序,是運算成功的前提.

例5 (2014年全國Ⅱ卷·理21)已知函數f(x)=ex-e-x-2x.

(1)設g(x)=f(2x)-4bf(x),當x>0時,g(x)>0,求b的最大值;

解析(1)因為g(x)=f(2x)-4bf(x)

=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x),

所以當x>0時,

e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0.

又g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)[ex+e-x-(2b-2)],

2(ex+e-x-2)≥0.

①當b≤2時,g′(x)≥0,即x=0時等號成立. 此時g(x)在R上單調遞增.

又g(0)=0,故對任意x>0,有g(x)>0.

綜上可知,當b≤2時,對任意的x>0,有g(x)>0,故b的最大值為2.

(2)由(1)知,

所以ln2的近似值為0.693.

總之,對于近似值運算問題,還需要記住一些常見的數,例如:π≈3.141 5,ln2≈0.693 1,e≈2.718 3,sin1≈0.841 5,ln2≈1.099等,否則在近似值運算過程中就可能會找不到頭緒.作為高考題,一般都會采用臺階式命題,只要抓住題中隱含的提示,合理運用邏輯推理、數學運算等素養,問題就會迎刃而解.