基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的解題策略探究
——以一道幾何最值問題的解法為例

李小蛟

(成都市樹德中學(xué),四川 成都 610091)

活動是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式,思考是數(shù)學(xué)的核心問題.如何提升學(xué)生的解題能力,重要的不是研究教師怎樣講,而是研究如何創(chuàng)設(shè)良好的問題情境,讓學(xué)生運用已有經(jīng)驗,在思考與活動中經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程.通過知識內(nèi)在的聯(lián)系將相關(guān)知識整合融通,使知識上下溝通、左右逢源,使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、整體化,以達到在頭腦中建立完整的認知結(jié)構(gòu).

1 題目呈現(xiàn)

題目已知菱形ABCD,E為AD中點,且BE=3,則菱形ABCD面積的最大值為____.

題目以平面圖形菱形為背景考查面積最值,學(xué)生在解題思考時可從平面幾何、三角函數(shù)、向量相關(guān)知識入手,對題目條件進行合理轉(zhuǎn)化.學(xué)生在閱讀完題目條件后能瞬間聯(lián)想到相關(guān)知識點,看似起點低,但真正動筆演算時卻發(fā)現(xiàn)解答的落腳點很高,在考場上臨場解答非常有難度.下面我們從學(xué)生的認知出發(fā),尋找題目條件與相關(guān)知識的內(nèi)在聯(lián)系,探究本題的解法(為了解題方便,不妨設(shè)AB=a,∠EAB=θ).

2 題目探究

探究策略1余弦定理+斜率轉(zhuǎn)化.

題目已知中線長度求面積,學(xué)生很自然地聯(lián)系到利用余弦定理將邊角轉(zhuǎn)化,通過菱形的邊長和夾角以及中線建立關(guān)系,再利用三角形面積公式將面積統(tǒng)一到角度θ.對于分式形式的三角函數(shù)最值問題可聯(lián)系到圓的參數(shù)方程(三角代換),將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題中的斜率.

評注幾何問題代數(shù)化處理是數(shù)學(xué)解題中一貫的基本思想方法,求解面積最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值,再聯(lián)系三角函數(shù)與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系,最后將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的斜率問題.

探究策略2余弦定理+輔助角公式.

同探究策略1將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值后,可采用變更主元的方法(本題將θ看成常值,將S看成變量),利用輔助角公式變形,再利用正弦函數(shù)本身的有界性求解.

評注利用三角函數(shù)的有界性是求解最值(范圍)問題最有效的一種策略,探究策略2利用三角函數(shù)自身內(nèi)在的性質(zhì)將求解問題簡單化,強化知識本身具體的屬性,重視知識本源,強化深度學(xué)習(xí)[1].

探究策略3 余弦定理+萬能公式.

同探究策略1將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值后,出現(xiàn)兩個變量(sinθ,cosθ),如何將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題是解答中最關(guān)鍵的思考點,而萬能公式是將正余弦函數(shù)統(tǒng)一到同一函數(shù)名(正切函數(shù))最有效的方法之一.

所以(SABCD)max=12.

評注三角函數(shù)的最值(范圍)問題求解是要將三角函數(shù)化為三個一“同一角度、同一函數(shù)名、一次式”進行求解.探究策略3還引導(dǎo)將非齊次的分式形式轉(zhuǎn)化為基本不等式或?qū)春瘮?shù)求解最值.

探究策略4 阿波羅尼斯圓.

將動點轉(zhuǎn)化為定性的點軌跡(或?qū)⒆兞哭D(zhuǎn)化為定量)是研究平面幾何的有效方法.基于本題中菱形所有邊長相等,點E又為邊AD的中點,于是可聯(lián)系兩線段比值為定值的阿波羅尼斯圓來解決問題.

在直線BE上取兩點M,N,使得BM=2ME,BN=2BE,取MN中點O則點A軌跡是以O(shè)為圓心,ON為半徑的圓.

所以(SABCD)max=4(S△ABE)max=12.

評注已知兩定點且動點到兩定點的距離之比為定值,根據(jù)初中平面幾何知識可以輕松地得出阿波羅尼斯圓與兩定點所在直線以及兩點的距離,快速找到阿波羅尼斯圓的圓心以及半徑.通過圓上點在運動過程中到直線距離的變化可直接觀察得到相關(guān)最值,求解快速準(zhǔn)確.

探究策略5 平行四邊形邊長與對角線數(shù)量關(guān)系.

題目中只給出平面圖形中邊的關(guān)系和長度,基于菱形的面積可只用對角線之積解決,所以可只探究菱形對角線與邊的數(shù)量關(guān)系.

因為4|AB|2=|AC|2+|BD|2,

所以|AC|2+9|BD|2=144.

當(dāng)且僅當(dāng)AC=3BD時,等號成立.

所以(SABCD)max=12.

評注平行四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和,巧妙地將本題中菱形的邊長與對角線建立等量關(guān)系,進而建立對角線的相關(guān)數(shù)量關(guān)系(|AC|2+9|BD|2=144),最后用不等式相關(guān)知識求解最值.

探究策略6線段成比例+不等式.

鑒于菱形面積可利用對角線之積求解,故可利用題目條件將對角線用相關(guān)量表示,再考慮字母的輪換對稱性,然后利用不等式相關(guān)知識求解最值.

連接BD,過點A,E分別作AD垂線,交點分別為G,F,易得|BG|∶|GF|∶|FD|=2∶1∶1.

又|BF|2+|EF|2=|BE|2,即x2+y2=9.

所以(SABCD)max=12.

評注依據(jù)本題中的對角線變化,又已知BE=3,故可以在△BEF中通過BE建立BF與EF的關(guān)系,再將菱形面積轉(zhuǎn)化到BD與AG的積,利用重要不等式x2+y2≥2xy求解最值.

探究策略7線段成比例+三角運算.

通過平行、相似找到相關(guān)量之間的關(guān)系,再利用三角函數(shù)將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量,將代數(shù)最值轉(zhuǎn)化為三角最值.

評注通過平行線分線段成比例,三角形的相似將菱形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的倍數(shù),在Rt△BEF中通過∠EBD建立關(guān)系將菱形的對角線轉(zhuǎn)化為同一角度的不同三角函數(shù)值,再利用二倍角公式求解最值.

探究策略8 海倫公式.

菱形面積的求解本質(zhì)上可分解為三角形面積求解.三角形面積如果只利用邊長求解最直接的方法即海倫公式.

設(shè)AE=x,則AB=2x.

所以SABCD=4S△ABE

所以(SABCD)max=12.

數(shù)學(xué)是一個整體,不同的數(shù)學(xué)知識之間存在著緊密的、重要的聯(lián)系.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時,應(yīng)當(dāng)能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系[2].但是,由于知識在教材中的呈現(xiàn)是相對獨立的,教學(xué)又是以課時為單位設(shè)計學(xué)習(xí)內(nèi)容,加上學(xué)生受到認知發(fā)展的限制,在沒有引領(lǐng)的情況下,往往不容易發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián).因此在解題教學(xué)中,教師應(yīng)利用適當(dāng)?shù)男问胶头椒◤臄?shù)學(xué)的邏輯上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中不斷地探索,進而展示數(shù)學(xué)知識的整體性與數(shù)學(xué)方法的一般性.